I. Si ^^^S est non-nul, OK., 3l> sont premiers entre eux

II. Si ^^^^ = o, le plus grand commun diviseur 'b de ^, ^ est déchevêtré de x, les quotients ^' — ^)ê '. ^, !^= ^: ï> divisent D\L, % respectivement, en donnant

et chacun de ces polynômes égaux est le plus grand commun diviseur des proposés.

I. Si fOli, ^ avaient un diviseur commun, celui-ci serait enchevêtré de a?, puisqu'ils n'en ont aucun (jui en soit déchevêtré. Appartenant au premier membre de (32), ce diviseur en diviserait le second ^-^"^^ aussi. Or c'est impossible, puisqu'il est enciievêtré de x^ alors que '-^^,5^, non -nul, en est essentiellement déchevêtré.

II. i" Dans aucune des relations (lo), les multiplicateurs P/, Q/ n'ont un diviseur premier commun qui soit enchevêtré de x.

Si un tel diviseur existait, il diviserait ^^^P«Q/+i d'après la première formule de la paire (17), Qi+i deuxième facteur de ce produit par suite, puisqu'il n'en divise pas le premier '-^^Pt essentiellement déchevèlré de X (6). Divisant ainsi Q/ et Qt+t à la (ois, il diviserait P/^, aussi en vertu de la seconde formule de la même [)aire. Divisant simultanément P^+i, Qz+i, on trouverait semblablement qu'il divise P/4.2, Q/+25 P"''' P/+3, Q/+3, P"is ..., jusqu'à P/+,, Qy+). Or ce dernier lait est impossible, puisque Py^j est donné |)ar la M. 3

( 34) première des formules (i6), dont le second membre est essentiellement déchevêtré de x.

2° En particulier, P, Q, dans la première de ces relations, jouissent de cette propriété, ^, ^ aussi, pris égaux à ces polynômes (i8). Le plus grand commun diviseur ^ de ces derniers est donc déchevêtré de X (H).

3° L'hjpothèse ^^^# = o et la division simultanée de $, ^ par ïi réduisent la relation (82) à

(34) cf'ort =-^3î:,,

celle-ci montrant que ^' divise le produit ^'OI». Mais $'=ûÊ';lÎj est premier à ^'= ^: ïr (H, II); il divise donc ^ (10, II). Pour une cause semblable, ^ divise OÏL, et (34) conduit à (33).

4" Les quotients

.m:(OlL:^) = '^', ^:(%:û^')=<î"

étant premiers entre eux, comme nous venons de le dire, chacun des deux membres de (33) est bien le plus grand commun diviseur de OÏL, ^ (il, II).

15. Maintenant, et en supposant remplies les conditions voulues pour l'existence du plus grand commun diviseur, on peut amorcer comme il suit la gradation qui conduit à celui de deux polynômes quelconques OU, ^,

a. — OÏL, X sont enchevêtrés d'une seule variable X.

Comme ils ne peuvent avoir aucun diviseur commun déchevêtré de x, le théorème (14) leur est immédiatement applicable. Pour cause semblable, ^, ^ sont

( 35 ) premiers entre eux, et 3TL : :^= — <3L : ^Jt' est le plus grand commun diviseur cherché.

|j- — '^n, -^^ sont enchevêtrés de deux variables x, y seulement.

Soient . . .4- M<."a7'+ ... et ... + N^' x>+ . . . leurs ordinations par rapport à ic, et dy le plus grand commun diviseur de tous les coefficients ..., M''*, ..., ..., Ny, ..., enchevêtré comme ceux-ci de jy^ exclusivement (11, III), (a). Les quotients 01L:<?j, y^\ày n'ont visiblement aucun diviseur commun déchevêtré de x\ on formera donc leurs polynômes connexes ^j, ^^ puis '^'yi ^y> ensuite leur plus grand commun diviseur {î)K\dyy.^y = —{^\dy)'.% (14, II) donnant visiblement 0K:^'^. = — Jt;,:^^^ pour celui de 011, 5^.

y. — DU., y^ sont enchevêtrés de trois variables a?, y, :; seulement.

En nommant dy^^ le plus grand commun diviseur de ..., My'j, ..., ..., Nyi, ..., coefficients des ordinations de OIL, .% par rapport à x (11, III), (P), puis ^^,5, \^y^z et $^21 ^r,«7 polynômes connexes à OIL : dy^z., ^\ày^z (14, II), on aura

pour le plus grand commun diviseur de ces quotients

et 01L:^'^,z = — <D^:fJ,. pour celui de OÏL, Oï,.