II. Les quotients

x' iti,' •■•'3e

sont premiers entre eux, et, si V est un polynôme rendant de tels quotients premiers entre eux, il est le plus petit commun multiple des proposés {Cf. H, II).

III. On peut obtenir encore le plus petit commun multiple des polynômes (3o) en prenant celui de V,, Va, ..., polynômes remplissant la même fonction pour les sous-groupes (3i) respectivement {Cf. Ib., III).

m 13. Le plus grand commun diviseur T et le plus

petit commun m.ultiple II de deux polynômes A, B

seulement, sont liés entre eux et à ceux-ci par la

relation

rn = AB.

En nommant A', B' les quotients des divisions de A, B par leur plus grand commun diviseur F, on a A'B'r=n, puisque A'BT : A = A'BT : AT zz= B' et A'BT : B = A' sont premiers entre eux (11, II), (12, II). Et, multipliée par F, cette relation donne bien Fn = A'BT2 = A'F . B'F =^ AB.

Combinée avec les observations des n°* 11 (III) et 12 (III), cette proposition ramène la recherche du plus petit commun multiple des polynômes (3o) à celle des plus grands communs diviseurs d'une succession d'autres groupes se rattachant au proposé par un enchaînement que sa simplicité rend très visible.

14. La recherche du plus grand commun diviseur de polynômes donnés, celle aussi de leur plus petit commun multiple (13), ne seraient que des jeux, si la décomposition d'un polynôme en facteurs premiers n'était une opération des plus ardues, dès qu'il dépend de plus d'une variable et que son degré surpasse 2. Mais ici il y a surabondance dans les conditions du problème, et, ainsi qu'il arrive en pareil cas, cette circonstance le rend impossible ou bien lui donne des facilités spéciales, La solution dérive du théorème suivant, ou bien encore de celui du n° 17 (in/.), dont l'application pratique semble moins laborieuse.

Pour des polynômes OÏL, 3P^ tous deux enchevêtrés de X et sans diviseur commun déchevêtré de cette variable, soit

(32) <SO\L-f^==^^^§

( 33 ) la relation opérant entre eux V élimination de x (5).