CHAPITRE PREMIER
S- i.er
Equations du mouvement dans Le cas général , et intégrales premières de ces équations.
1. Un corps A parcourt d’un mouvement uniforme une ligne droite OX; un second corps, mis en mouvement par une impulsion initiale, est attiré vers lui par une force constante, donnée en fonction de la distance des deux mobiles. Proposons-nous de déterminer la trajectoire de ce second corps et les circonstances du mouvement.
Supposons qu au bout du temps t le premier corps soit arrivé au point B, fig. (i), et le second en M. Prenons trois plans coordonnés rectangulaires fixes, tels que la droite OX soit l’axe des x; les coordonnées du point M seront x,y, z. Soient x , , y,, z, , les coordonnées du même point, rapportées à trois plans parallèles aux premiers, passant par le point B; en représentant par a la vitesse du premier mobile, on aura :
x-=ot-srat-+-xl , y=y>, z = zt.
Désignons par rie rayon vecteur BM, et par R la force accélératrice dirigée de M vers B, et donnée en fonction de r, les équations du mouvement seront :
dy ,
= — Ry
dr
d°zl
= Ry
dt 2
dy, dx, n / \
x'Si-J'-ït=c
On en déduit, par l’élimination de R, les trois équations
d’z d’y d’x, d’z. dy d‘x,
V — 1 — Z — o, Z, -T- X. -ri ~ o, X, —j—
J 1 1 dt% dt dt dt
dont les intégrales premières sont respectivement
dz, dy dx, dzt (
y^~z'Tt=c' z'iiï-x'-dt=c
(c, c\ c" étant trois constantes que l’intégration a fait introduire dans ces résultats).
Multiplions chacune de ces équations par la variable qui n’y entre pas et ajoutons les trois produits, nous aurons:
cxl + c'y, -h c"z1 = o (3).
Cette équation, qui est celle d’un plan passant par l’origine des x, , nous montre que, si le point B était fixe, le mobile M ne sortirait pas d’un plan passant par le centre d’attraction; et comme le point B se meut uniformément en ligne droite, le mouvement réel du point M se composera de deux autres : l’un est celui qui aurait lieu si le point attirant était fixe, et qu’on appelle mouvement central ; l’autre est un mouvement uniforme de translation, ce que du reste on voit par les équations (î), qui sont celles que l’on a pour le mouvement d’un point attiré vers un centre fixe (x, = o, y, = o, z, = o), et par l’équation ex -j- c'y + cnz — c (oc-\~at) — o
qui représente un plan dont l’inclinaison sur les plans coordonnés est constante, et dont l’intersection avec l’axe des x est ct-\~al; la trajectoire du mobile M sera donc située sur une surface cylindrique dont les arêtes sont parallèles à l’axe des x , et qui aurait pour directrice l’orbite du mouvement central tracée dans le plan mobde.
2. Si l’on appelle ç la projection du rayon vecteur sur le plan YZ, et \j> l’angle que fait cette projection avec OY, l’équation
y. - z, dyx — cdt donne, à cause de yl = q Cos \J/, z, = q iSV«\{/
= cdt,
ce qui nous fait voir que les aires décrites par la projection du rayon vecteur sur un plan perpendiculaire à la ligne OX sont proportionnelles aux temps employés à les décrire. Cette propriété n’a pas lieu pour tout autre plan de projection fixe; car les plans parallèles à ZOY sont les seuls sur lesquels les projections sont indépendantes *du mouvement de translation.
On peut aussi s’assurer que les aires décrites par le rayon vecteur dans le plan (3) supposé fixe, ou les projections de ces aires sur un plan quelconque se mouvant parallèlement h lui-même avec la vitesse a, sont proportionnelles aux temps; ce que du reste nous verrons plus bas, équation (7).
3. Si l’on ajoute les trois équations (1), après avoir multiplié la première par 2dxy , la seconde par 2dy \ , et la troisième par 2dzt , il vient par intégration
d: r, a-f- dyt 2-+- dzt *
de
R dr h.
Si l’on élève au carré les deux membres de chacune des trois équations ( 2), et qu’on ajoute les résultats, en observant que xt 2-f- y, 2-j- z, 2=r% xldxl'i-yldyl-h z,dzl = rdr , on trouvera
dx, *-+- dy, aH- dz, ’ \ r'dr
dt
\ r'dr2
)~~dë-
En éliminant — — - entre ces deux dernières équations, on
aura enfin d’où l’on tire
ede
2fRdr)- = k
, zb rdr
dt = (6)
l/hr*-2r*fRdr-k2
relation entre le rayon vecteur et le temps.
En considérant dt comme positif, on aura le signe -+- quand r augmente, et le signe — quand r diminue. Pour reconnaître lequel des deux cas a lieu, on cherchera le maximum ou le minimum de r, que l’on obtient en égalant le radical à zéro. Pour fixer les idées, nous supposerons toujours que r augmente avec t immédiatement à partir de l’origine.
4. Représentons par a> l’angle que fait dans le plan (3) le rayon vecteur avec la ligne des nœuds, c’est-à-dire avec l’intersection de ce plan avec celai des XY, ligne dont l’équation est cxt -+-c'yt = 0; soit de plus v l’angle que fait la ligne des nœuds avec OX, et enfin i l’inclinaison du plan sur le plan des XY, on a
Cos i = — ■ = -r , tang i —
et tan^ v — r Ensuite :
x, = r Cos où Cos v — r Sin où Cos i Sin v yl — r Cos où Sin v H- r Sin v Cos i Cos v z, == r Sin ce Sin i.
En substituant ces formules dans l’équation (5), il vient
r2 daù — kdt(yj),
et si de l’équation (6) intégrée on peut facilement tirer r en fonction de /, en substituant la valeur de r2 dans l’équation
kdt
doù := —,
on aura où en fonction de t si l’intégration est possible.
Ou bien on substituera à la place de dt sa valeur tirée de (6), ce qui donne
doù = — hdr - — (8)
£ |/ hC — 2rlfRdr — k 3
On tirera de là a? en fonction de r, et comme l’équation (6) donne r en fonction de /, on pourra avoir où en fonction de t. On pourra connaître par suite xl7 yn z„ et enfin x, y, z en fonction du temps t. On pourra du reste modifier ces méthodes selon le besoin, comme on le verra plus loin.
Pour trouver la vitesse du mobile en un instant donné, on pourra se servir de l’équation (4), qui donne
v, v*— ici ^ -+- a*= -+- h
dx.
ou
vu que
v 2a — 2 /R dr -\- h
a (dx\ \3 dy ,’ dz,’
dy, ’ dz,
Les quatre constantes c, c',c", h , ou i, v, k , A, et celles qui seront introduites par l’intégration des valeurs de dl et doo , se détermineront d’après la position et la vitesse initiales du mobile.
INous allons laisser ici le cas général, pour ne nous occuper que de celui où le mouvement a lieu tout entier dans un plan passant par la droite fixe.
Examen du cas où le mouvement s’effectue dans un plan.
5. Supposons que le corps attiré M ait reçu une impulsion initiale telle que la direction de la vitesse soit dans un même plan avec OX , le mouvement aura lieu dans ce plan, que nous prendrons pour plan des coordonnées.
Soient encore B et M les positions respectives des deux mobiles après le temps /; prenons pour axe des x la droite OX, et pour axe des y la perpendiculaire qui passe par le point O , position du premier mobile, à l’origine du mouvement. Soient ensuite x ,, j. les coordonnées du point M, prises par rapport à des axes parallèles aux premiers et passant par B, r la distance MB des deux mobiles, et oo l’angle MBX, on aura
y=y=rSinu \ ^
x, =x — at — r Cos cû Les équations du mouvement sont :
dy, R JT, d’y, Ry
dt' r ’ de 7
On en tire, par des calculs analogues à ceux qu’on a déjà faits, l’équation
dy, dxt
qui, à cause des équations (a), devient
r1 doo — k dt (7);
et les deux suivantes :
dxt ’-t- dyt s
qui donnent
dt *
/dx,'-+-dytdt’
dt = -
-r^/Rrfr-f- h
l/ Ar’ — 2/RJr — k 7
Pour déterminer les constantes h et k, soient J la distance OC des deux corps à l’origine du mouvement, 6 l’angle COX, b la vitesse initiale, et y l’angle que fait la direction de cette vitesse avec l’axe des x. On aura en même temps
t — o, a — ô, r = = b Cos y ou — b Cos y
dy,
dt
b Sin
dt ' dt
l’équation (2) donne alors pour ces hypothèses
S Cos Q. b Sin y — 4 Sin ê ( b Cos y — a) — k ou k — <$ (a Sin ô — b Sin ce ) (9)
en posant, pour abréger, Q — y = oc- L’équation (4) donne pareillement
(b Cos y — «)2- h b 2 Sin 2 y -+- 2 j^R ^ — h
d’où h — a2 — 2 ab Cos y -h b 2 -f- 2 jÿR dr J (10)
L’équation (6) devient intégrable dans les hypothèses suivantes :
\.° ^R.dr= Ar2ou R = //r; 1? J\kdr — ^ ou R = 5 ° ^Rdr — ^
ou R = p-, et enfin 4° /R dr — Ara-+- -ouR = fir + — •
Introduisons ces différentes suppositions dans nos équations.
