LE MOBILE EST ATTIRÉ EN RAISON DIRECTE DE LA DISTANCE

Equations de la trajectoire ; discussion générale.

6. Lorsque la force R est proportionnelle à la distance r des deux mobiles, et de la forme R = pr, il n’est pas nécessaire de recourir aux équations (6) et (7); les équations (1) deviennent d*x. , dy,

W+l**' -°* IF-*-/*?' = °

et peuvent s’intégrer immédiatement. Elles donnent 't’i — A Cos t \ f f a — |— B Sin t 1/ fj, | y~i — Ar Cos t \F p — (-- B' Sin t [/ p i

A, B, A', B' étant les quatre constantes arbitraires. Pour les déterminer on a, d’après les suppositions précédentes,

xi ~ $ Cos 9, yt=SSin9y~ = b Cos y~a,dE- = b Sin y quand t = o- il en résulte

A = S Cos 6, B = -C7-~°; A' = tSint, B' = ^ •

K P \/fA

Les équations de la trajectoire sont donc :

x — at -+- S Cos 9. Cos t\/ /a h C°s y — « ^ 1

VP r f

y = SSin 9. Costl/p-h bJ^2. Sinll/u.

7. On peut arriver à ces équations par la méthode indiquée au n.J 4.

mais les calculs sont beaucoup plus longs. En faisant^IWr — Çla for-

mule (6) devient, après y avoir changé r2 en z :

dl =

2 \/ — k1 -\-hz — fxz

En l’intégrant, on obtient

2 1 1/ fx — f- C = arc Sin

Ifxz — h y/k'—i/j.k'

d’où l’on tire

h , \/A3— 4^Ayo . ^

- (Sin 2 1\/ fx C).

Si l’on remplace les constantes par leurs valeurs en fonction des données : k — d ( aSinô — b Sin et), h = a 2 — 2 ab Cosy ->rb2-h j uS 2

C=arcSm-^dz=L,ouS^C=lf>-h

\/h* — 4 [xk* \/ h*—\[xlt' \/ h 3 — 4^uA’

on obtient, après réductions,

h JN

r ô- ( 1 " C°s 3 1 \/ (x) -\-èaCos 2 / \/ fx -h —(b Cos ce — a Cos 9) Sin 2 ty/^x

Vf»

a ’ — 2abCosy-^-b\ 2(T

— J Cos 7t\/ ça — { — ■ (bCos et — &Cos§}SiTit\^ fxCostÿ f/..

et finalement :

Pour avoir la valeur de o en fonction de i, il faut substituer celte valeur de r 2 dans l’équation (7) :

j kdt

dix — — r

Pour cela nous poserons

tangt\/ fx — u,d'oùSint\/ jM.= — 7=== , Cos t y/ ^ ~

et dt — — y=

\Z/x(i-hu,y

et la valeur de redevient

de 0 —

-h S*. t~—, + ~= (b Cos a — a Cos 9).

1 H-h’ t'V. v Al///, du

l//ï (l + «’)r; (aJ — abCosy-+-b*)u:‘-{-clS'y/p(bCoscL — a Cos 0) w-f-cT *fx

a — ‘lab Cos y-\-b*

et celle de don :

A du

do — — ?=■

ce qui peut s écrire:

«’ — 2 abCosy-+-b

1 M-t-JV /t — —

b Cos a. — a Cos 9

2 at Co^ > -t- 6

S À fA(a Sin 6 — b Sin a.y

(a,— 2abCosy + b,y

En intégrant, il vient a — C, = arc tang i

u ( a ' — 2 ab Cos y b*) -h S' \/ y ( b Cos et — aCos ô)

cf V /u (a Sin ô — b Sin et)

Faisant t — o, co = 9, u — o, on a

. b Co s et — a Co s ô

6 — C,= arc tang

Retranchons ces deux dernières égalités l’une de l’autre, et puis réduisons les deux termes du second membre en un seul, il vient :

tang t i/ÿ ( a Sin 0 — b Sin et)

tang (o — 9) = D’où l’on tire enfin :

S' V y -H tang t V n (b Coset — a Cos 0) ’

b'V y Sin 0. Cos t V y -+* b Sin y. Sin t \/ y tang ci) J' \/y Cos B. Cos t y/ÿ -h (b Cos y — a) Sin t \/y

Si on cherche le dénominateur des expressions de Sin co et Cos co, au moyen de la formule précédente, on le trouve égal à \/ /xr2; on a donc

r Sin co = iï Sin 9 ■ Cos ty/ fx-

- hSi¥ SmlVlr

Cy-

r Cos co — ^ Cos 9 ■ Cos t\/ fx-\ ~F= — Sin t y/~fx.

Nous retrouvons donc les mêmes équations : y = $ Sin 9. Cos t y/ /x H- ^ Sin t y/jx .

x — al -h Cos 9. Cos l y/Jt H Sin t y/~jx ■

8. On peut éliminer t entre ces deux équations et obtenir l’équation de la trajectoire entre x et y seulement. Pour cela on tire de la première équation

>0 . y— S'fx SinQ. y± b Sin y y/ S'* /xSin’Q -+- b*Sin*y — /xy * ,

^ S'*/. x Sin* ü b* Sin* y

et en substituant cette expression dans la formule

on a

Sin t \/ /x = 1/ 1 — Cos't y/ /x,

Sin t /~ Ÿ ybSmy. y ^ V y S' Sin 6 y/ S'* [x Sin* 6 -4- b Sin* y — fxy‘

^ S'3 fx Sin’ô -1- i* Sin* y

ÎO

En substituant les valeurs de t, Sinl\/ Cos t\/ ^ dans l’équation qui donne x, on aura :

. " Sin S.j'dzbSiny l/ <f''/u.Sin'd-\-b'Sin'y — fxy'\ (f'/jiSinQCosO-hb'Siny Cosy — abSiny')

~ r ^ t'pSin'6 + b'Sin'y | f'y.Sin'Z-+-b' Sin'y

dz S' [a Sin 9 — b Sin a.) \/ cT '/x Sin ’fj-k-b'Sin'y — fxy'

S"[x Sin' 6 -+- b' Sin2 y

équation de la trajectoire entre x et y.

Pour avoir l’équation différentielle de la courbe, ou le coefficient d’inclinaison de sa tangente, on a

-j- — — $ X/' ix Sin 6- Sin t]/ yt, b Sin y. Cos t (/ /x ]

~ = « — S 1/ fxCosG-Sint\/ fx-\-{bCosy — a) Cost[/ /x, I

^ dy b Sin y. Cos / \/ fx — iïl/fx Sin 6. Sin tl//x

dx (b Cos y— a)Cost \/ fx — iï\/fx Cos G. Sint[/ fx~^a

On peut exprimer ^ et ^ en fonction de y seul, au moyen des valeurs de Sin i |/ /x, Cos t\/ fx, et l’on obtient ainsi : jj = zp {/è*fxSin*G b* S in* y — //y2 (18)

<S/j.(bSin a.- a Sin 9 JjK— j S 'y. Sin S CosQ-{-b Sin y (b Cos y -a) J V' ^'ySin'b+b' Sin'y- yy7

dt Sin'8 + b'Sin'y

9. Les équations précédentes nous montrent : i.° que y ne peut devenir infini si $ et b sont finis, et que la plus grande valeur de y est

*Sin*ô-+-- Sin* y, valeur pour laquelle d-— — o; 2° que x croît avec t;

3.° que les mêmes valeurs de y reviennent lorsque t croît de , car

V fJ.

alors Sin t \/ /x et Cos i \Zjn reprennent les mêmes valeurs; les valeurs de x

2 an

augmentent de %= d’une ordonnée à l’ordonnée suivante égale. La trajectoire du mobile est donc une courbe périodique, composée d’une infinité d’arcs superposables; l’abscisse d’un de ces arcs ou de la période est et le temps employé à la parcourir est quantité

indépendante de la vitesse a. Ce serait la durée d’une révolution, si le point d’attraction était fixe.

10. Le temps nécessaire au mobile pour arriver au premier point où l’ordonnée est maximum, est donné par l’équation ^ = o ou

è\/ fx. Sind.Sinty/ fji—bSiny Cost^/ /ji = o d’où tang t, \/J2 = et

oV fj. Sin 0

1 b Sin y

/. = — arc tans „ ». .•

1 V/a ° ÏV/uSinô

Le mobile arrive à l’axe desx, quand ona^ = o ou tang f^x/ p — d’où

1 b Sin y

t,= -arc tangw^t-

S'V' jaSitiQ b Sin 'v

2 VÏ.

(d’après la formule tang = — col @). Il emploie donc un temps

pour arriver du sommet de la courbe à l’axe des x. Si le temps 4

augmente encore de pour devenir

on a

b Sin

1 b Sin y

l‘ = ï%arc tanS

SV il Sin 8 = tan8 VïV p-V-Tt) — tang tt\/p, valeur qui donne

dym

encore = o, le mobile sera donc arrivé au point où y est minimum.

On voit donc que le mobile M met autant de temps pour aller du sommet de la courbe à l’axe des x , que de là vers le point le plus bas; et ce temps est égal à celui qu’il met pour aller du point le plus bas a l’axe (^es x et d’ici au sommet : c’est chaque fois le quart du temps employé à parcourir la période.

11. Pour trouver quand les deux mobiles sont à leur plus grande ou à leur plus petite distance l’un de l’autre, servons-nous des équations du n.° y. On a pour cela,

rdr y/k‘— 4 u/c* ~

dt — 2^7 Cos (2 t\/ f-C) = O

d’où 2/v/^ + C=|(2 ra-h O oui — — 2^ + 4^(2,t+1)-

Celte valeur nous montre que l’intervalle entre deux valeurs extrêmes consécutives du rayon vecteur est t = le quart du temps employé à parcourir la période entière. Les valeurs maxima et minima du rayon vecteur elles-mêmes sont données par la formule

2 h ±\/h' — ifjik'

On peut aussi voir que la distance maxima n’a pas lieu quand le mobile est au sommet de sa trajectoire; car, pour arriver à ce dernier point, le temps employé est donné par

bSiny . 2 S'y' y Sind. bSiny

•angtv'^JÏ^siiï ou

et le temps écoulé entre l’origine et le moment où la distance est maxima,

. , 2 S'y'ülb Cos a — aCosQ) , . .

est donne par tango, ty a -y-01 abCos b*’ Premier est Ce-

pendant de la vitesse a et le second en dépend.

12. Cherchons encore l’expression générale de la vitesse; elle est donnée par la formule :

dx 1 ' dl1

qui devient, en y substituant les valeurs de et de :

v*—S2 ix Sin* 1 1/ y (a2— -ab Cos y-yb^Cos* t \/ y. —2SV y (b Cos a — a Cos 0) CoslC y. Sin t[/ y, v

— 2«<f 0. Sint\/^L -y 2a [bCosy — «) Cos t (/JJ-f-a1. ' 9/

On voit que pour t=o, on a v = b, comme cela doit être. Si en général

2 Tt

/croît de ry=, v2 reprend les mêmes valeurs, ce qui nous montre que

d’une période il l’autre les circonstances du mouvement sont toutes les mêmes.

Les vitesses maxima et minima sont données par l’équation

vdv dx d*x dy d2y (dx dy \

~di ~ ~dt ~dp ~di — K* ^ + Tt ’=z°

ou axl -+- r ^ = o: cette équation n’est pas la même que celle qui

donne les maxima du rayon vecteur, ni la même que celle qui donne les maxima de l’ordonnée.

Si nous différen lions l’équation (19), nous aurons

dv US'*fj.-a,+2abCosy-b')Sint\/y.Cos t V'y+SVÿ(bCos a-aCosB)(Sin,tu'ÿ-Cos,ty/ y)^

dt ^ j — a S'V'ÿ Cos ô Cos t VJt — a (b Cos y — a) Sin t V~y )

Égalons à zéro, en posant

lang 7 t v/^ = u, Sin t y/^ = , Cos i y/^ =

il vient :

a’-(-2 abCosy— A3) w(l — u’’)— S'V'ÿ (bCosx — aCos$)[\— Gm’-I-m*)— a SVÿCosü(\~u')

— 2 a [b Cos y — « ) (m -+—«’) = 0

cTt/yû(2aCo^ô— b Coj«)m4-+-2 (2a*— ZabCosy-\-b* — «T /x.)«3-l-6 SV y ( bCosa — aCosQ )u*

-h 2 (^yu-f-aA Cor ^ — A3) w — SV y b Cos a. = 0

Si cette équation a ses 4 racines réelles, la vitesse aura deux maxima

et deux minima.

13. Simplification des équations par un changement de coordonnées. Rapportons maintenant le temps t à l’époque où le mobile M est arrivé au point le plus éloigné de l’axe des x, c’est-à-dire prenons pour ori-

. , , 1 b Sin y

ginedes temps le temps /, = — = arc tang j^= , et voyons ce que sont

à cet instant les quantités b, ,9, , y, , ce, , ê, analogues à b , 9, y, «, J. D’abord b, sera la vitesse du mobile au point où ^ — o; pour connaître

sa valeur, on fera dans la valeur de^-, équation (17),

Sin iy/ fx =

b Sin ■

et Cos ty/ =

SV y Sin 0

y/ b 3 Sin 3 y -hé' /x Sin 3 0

ce qui donne

<f V -y (b Sin et — a Sin 0)

y/ b* Sin* y-i- S* /jtSin 3 0

b , — a — rtang 9 ,

y/ b* Sin* y -t- S* [x Sin 30 La valeur de tang a (i5), donne avec les mêmes hypothèses :

b 3 Sin 3 y -t- S'* fx Sin 3 0

S* fjtSin 0 Cos ô-h(b Cos y — a) b Sin y

On aura ensuite ce, — 9,,y, — o.

Enfin la valeur de r% équation (i3), donne

r a [é 3 fj. Sin 0 -t- A Sin y {b Cos cl — a Cos 0)] 2-f- b 3 Sin 3 y ( b Sin a, — a Sin 0) a

1 [J. {S* /x Sin 0 H- b 3 Sin 3 y

Cela posé, rapportons notre courbe à d’autres axes de coordonnées, en prenant: i.°pour origine des temps, le moment où le second mobile est arrivé au sommet de la courbe; 2.0 pour axe des y la droite qui joint ce sommet au point où se trouve alors le premier mobile : cet axe fera un angle G, avec l’axe des x, de sorte qu’il faudra remplacer y par y Sin Gt , et x par x -h y Cos 9l , changer <Jen b en bt, G et ce en#,, et faire y — o.

Par ces changements les équations (12) de la trajectoire deviennent : y = Cos t \/]2 |

bt— a (20)

x — at H — ^7=— cnn i y ^ j

et en éliminant /, on obtient l’équation entre x et y sous la forme

*=harcC°sJ-iwî^

Le dernier terme de l’équation (21) a le double signe; mais il faudra

prendre le signe H- avec la première valeur de arc Cos j- dans chaque

période, et le signe — avec la seconde. En effet, si dans les e'quations (20) on suppose j = o, on a Cos t \Z~jx = o, ce qui donne dans la première

période les deux valeurs t — et t — ; et pour les valeurs du

sinus : Sin t = 1 avec la première valeur de /, et Sin t \/Ji = — 1

avec t =■ 2^- • Les deux valeurs de x correspondantes à y — o sont

donc

a TT

et X —

3 ar,

bt — a

or la première de ces deux expressions est donnée par le signe {/ , et la seconde avec le signe — .

14. Tâchons maintenant de découvrir quelles sont les différentes courbes renfermées dans les équations précédentes, selon les valeurs relatives qu’on attribue aux données du problème.

D’abord remarquons que si à la place de bl on met 2 a — b,, les signes du radical s’intervertissent, et on obtient les mêmes courbes,

changées de position et renversées. En effet (fig. 2), changeons les axes de coordonnées, en prenant pour axe des y' positifs, la droite O' Y' parallèle à OY et dirigée de l’axe des x vers le point N où l’ordonnée^ est minimum, et changeons le signe des x positifs en les comptant vers OrXr; il faudra remplacer y par — y' ei x par — x' -h 00 c’est-à-dire

par — x'-i — , l’équation (18) devient alors

an .a „ f y'\ b, — a

\/i* f \/h V /,/ Wh 1 7

Or arc Cos = tt — arc Cos'y-, changeant les signes et suppri

mant le terme — ^ commun aux deux membres, on a

équation identique avec (21). Donc, dans la discussion de celte équation, il suffira de considérer les valeurs de b, comprises entre a, et -f- 00 , ou entre a , et — 00; car les dernières valeurs de b , redonnent les mêmes courbes que les premières, seulement renversées.

15. Cherchons maintenant les coefficients différentiels — , -, — .

dy dy'

Les équations (20) donnent dx