CHAPITRE PREMIER

Plusieurs des principes importants de la mécanique ont déjà été étendus du mouvement absolu au mouvement relatif. Ainsi le théorème des forces vives a été appliqué à ce dernier genre de mouvement, par Coriolis d'abord, et ensuite par Sturm avec une certaine modification. Dans un mémoire antérieur, j’ai généralisé et appliqué avec les changements nécessaires, aux vitesses relatives, les principes de Carnot et de Sturm , sur les variations brusques des forces vives produites dans un système de corps , soit par des chocs , soit par l’addition ou la suppression brusque de certaines liaisons. Dans le travail actuel, je me suis occupé d’étudier, au point de vue des mouvements relatifs , deux autres principes importants de la dynamique , celui de la moindre action et celui de d’Alembert; et j’en ai déduit de nouvelles lîléthodes applicables dans des cas très-nombreux, pour

Historique

PRINCIPE DE EA MOINDRE ACTION

résoudre directement les problèmes où l’on cherche les mouvements relatifs d’un système de corps.

Je m’occuperai en premier lieu du principe de la moindre action.

11 a été présenté d’abord par Maupertuis, vers l’année 1 744 ? sous cette forme que, dans le mouvement des covps qui agissent les uns sur les autres, la somme des produits des masses par les vitesses et par les espaces parcourus , est un minimum. Il en a déduit les lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière , ainsi que celle du choc des corps dans deux mémoires, l’un à l’Académie des sciences de Paris, en 1744? et l’autre, en 1 746 , à celle de Berlin. Après lui , Euler a envisagé ce principe d’une manière plus générale et plus rigoureuse , dont il a donné la première idée à la fin de son traité des Isopérimètres , en y faisant voir que , dans les trajectoires décrites par des forces centrales , l’intégrale de la vitesse , multipliée par l’élément de la courbe , fait toujours un maximum ou un minimum.

Cette propriété , qu’ Euler n’avait reconnue que dans le mouvement des corps isolés , a été étendue depuis par Lagrange à celui des corps qui agissent les uns sur les autres d’une manière quelconque , et il en est résulté ce principe général que : dans le mouvement d’un système de corps pour lequel le principe des forces vives a lieu , si l’on fait le produit de la masse de chaque point matériel du système , de sa vitesse et de l’élément de sa trajectoire ; que l’on prenne la somme des produits semblables pour tous les mobiles, et qu’on intègre cette somme, depuis une position donnée du système jusqu’à une autre position aussi donnée, la valeur de cette intégrale sera généralement un minimum. Dans quelques cas, comme dans celui du mouvement d’un point matériel sur une surface fermée , le minimum peut être

DANS LES MOUVEMENTS RELATIFS. d

remplacé par un maximum ; tout ce qu’on démontre, c’est que la variation infiniment petite de cette intégrale est égale à zéro.

En remplaçant l’élément de la trajectoire de chaque point par sa vitesse multipliée par l’élément du temps, on voit que cette propriété peut aussi s’énoncer en disant que l’intégrale du produit de la force vive du système et de l’élément du temps, est généralement un minimum; en sorte que, dans la nature, un système de corps est transporté d’une position dans une autre, en dépensant la moindre quantité possible de force vive. Si les mobiles ne sont soumis à aucune force motrice, la force vive est constante , et c’est le temps du trajet qui est un minimum.

Lagrange a appliqué le principe de la moindre action pour résoudre plusieurs problèmes importants et difficiles de dynamique (voir le 2 e vol. des Mémoires cle V Académie de Turin , années 1760-1761). Il y a fait voir comment ce principe, combiné avec celui des forces vives et développé suivant les règles du calcul des variations , donne directement toutes les équations nécessaires pour la solution de chaque problème, et comment il naît de là une méthode également simple et générale pour traiter les questions qui concernent le mouvement des corps.

Il m’a donc paru digne d’intérêt de rechercher ce que devient le principe de la moindre action considéré dans les mouvements relatifs; mais, avant d’aborder cette questionne vais entrer dans quelques détails sur les vitesses relatives.

Supposons, dans un système en mouvement, la vitesse V de chaque point matériel décomposée d’une manière quelconque en deux autres, Vr et Vm. Les vitesses Vr sont seulement assujetties à la condition d’être

Des vitesses relatives

compatibles avec les liaisons du système au moment que l’on considère. D’ailleurs Vr et Vm peuvent être variables, non-seulement d’un point à un autre, mais encore pour chaque point, à chaque instant. On aura donc deux groupes de composantes : les unes , Vr , que j’appellerai plus particulièrement les vitesses relatives, et les autres, VTO, que j’appellerai les vitesses du mouvement moyen.

Maintenant il est évident qu’au lieu de regarder le mouvement absolu de chaque point comme dû à la vitesse Y, il revient au même de le considérer, à chaque instant , comme le résultat des déplacements infiniment petits dus séparément aux composantes Vr et Vw , et opérés isolément. Le mouvement absolu du système se trouve ainsi décomposé en deux mouvements élémentaires, correspondant, chacun, à l’un des groupes de vitesses, et qui s’obtiendraient, pour chacun, en faisant abstraction de l’autre groupe de composantes.

Pour simplifier l’étude de ces derniers mouvements , et en même temps se conformer davantage aux conditions dans lesquelles se présentent les applications, il est utile d’assujettir les composantes Vm à une condition qui est d’être compatibles avec l’hypothèse de la solidification absolue du système au moment que l’on considère. Ainsi le mouvement des vitesses Vm, qui sera appelé mouvement moyen, sera, à chaque instant, celui d’un corps solide. La figure de ce dernier pourra et devra même, généralement, varier à chaque instant, en raison des vitesses Vr; mais chaque déplacement, infiniment petit dans le mouvement moyen, sera celui d’un corps solide, et sera, par conséquent, décomposable de bien des manières en deux , l’un de translation commun à tous ces points, et l’autre de rotation.

Dans cette hypothèse , il y a un moyen bien simple

de se rendre compte du mouvement relatif , c’est-à-dire de celui qui est dû aux seules composantes Vr. Ainsi, à chaque instant, il faut supposer que, pendant que les points matériels opèrent leur déplacement infiniment petit, moyen, comme un tout solide, les axes coordonnés font corps avec eux et sont liés avec eux d’une manière invariable; puis, au contraire, ces axes deviennent indépendants des points matériels et immobiles d’une manière absolue, tandis que le système effectue les mouvements infiniment petits dus aux vitesses relatives Vr. D’après cela , comme le mouvement des axes se trouve être, continuellement, celui d’un corps solide, il en résulte que l’on devra toujours supposer ceux-ci doués d’un mouvement de translation et d’un mouvement de rotation , lesquels peuvent varier à chaque instant.

Ces préliminaires posés, je passe à la démonstration du principe de la moindre action pour les mouvements relatifs.

Conservant les notations précédentes, j’affecterai en général de l’indice r , les quantités qui se rapportent au mouvement relatif, et de l’indice m celles qui se rapportent au mouvement moyen; soient de plus m, la masse d’un point matériel quelconque, sr, la longueur de la courbe qu’il décrit dans le mouvement relatif; .rr, yr, zri ses trois coordonnées par rapport aux axes mobiles; enfin Xp Yr Z1? les trois composantes, parallèles à ces axes, de la force motrice de ce point et XM, Ym, Zm, les trois composantes, parallèles aux mêmes axes et pour le même point de la force qui serait nécessaire pour donner à ce point, s’il était libre, le mouvement moyen. Cela posé, -je cherche, entre deux positions données du système , la variation de l’intégrale

Démonstration du principe de la moindre action pour les mouvements relatifs.

S(s m Vr dsr), le signe s s’étendant à tous les points du système. Il s’agit donc de déterminer :

S$(SmVrdsr),

par rapport à toutes autres trajectoires infiniment voisines de celles qui ont lieu réellement et aboutissant aux mêmes extrémités.

Or, à cause de cette dernière circonstance et que les limites de l’intégration sont constantes, on peut faire varier sous le signe $ et remplacer la variation cherchée par

$8(£??ïV rdsr)

ou, ce qui revient au même

(1) $(S.mVr8d$r-[-2.mdsr8Vr)==$ (2.mVrodsr -f-

+ 'L.mdtY rlY r) ,

dt étant l’élément du temps.

Or,

(h\= dx\ + dy\ + dz\,

d’où

. dxr „ , , diir ^ , , dzr .

%dsr = — Mxr 4- ~~ %dyr -f- — o dzr.

r dsr dsr Jrn dsr

dSr

Donc en remplaçant Vr par puis :