W — — h qq — q — dt 8 ~ J dt ~ u * df
PRINCIPE DE D’ALEMBERT
Ces deux équations, jointes à celle de la surface, déterminent x, y et z en fonctions de t.
Supposons que la surface soit un plan. Dans ce cas p et q sont des constantes , et l’on n’a plus qu’à intégrer deux équations linéaires à coefficients constants.
Si le plan passe par l’axe de rotation, prenons-le pour celui des ( z , x). Alors on a y = o, q = co, et les deux équations ci-dessus deviennent :
et
<Pæ
dp
Ces deux formules sont intégrables , et l’on en tire :
et
ô e CW./'* e
ce t y étant deux constantes, et e étant la base des logarithmes népériens.
problème 7
Trouver le mouvement relatif d'un mobile , soumis à faction de la pesanteur , et obligé de se mouvoir sur une courbe assujettie à tourner avec une vitesse angulaire constante , w", autour d'un axe vertical.
Ce problème se traite tout à fait comme le précédent.
Soient
les équations de la courbe par rapport aux axes mobiles. On en tire :
En procédant suivant la méthode que j’ai indiquée , on obtient :
d*x ff2 P nX + 2/)0)
„ dy d2y ,
et cette équation, avec les deux de la courbe, donnent#, y et 2 en fonctions de t.
problème 8.
Trouver le mouvement apparent d’un corps pesant , lancé dans V espace , en tenant compte de la rotation de la terre.
Laplace a résolu , par approximation , ce problème ( Mécanique céleste , livre 10, 2e partie). Poisson aussi s’en est occupé (Journal de ï École Polytechnique , 1837). Ces deux illustres géomètres ont commencé par chercher le mouvement absolu pour passer de 14 au mouvement relatif. Ici on obtient de suite les équations différentielles qui fournissent la solution , et ces équations sont intégrables.
Prenons , en effet, pour les axes mobiles les suivants. L’axe des s sera la verticale au lieu que l’on considère, et les deux autres axes deux droites quelconques, menées parle centre de la terre perpendiculairement à OZ. On aura, en conservant toujours les mêmes notations, X = o Y = o Z + 0 = 0.
ou, à cause de (17) , en faisant XM Y, et Zt égaux à zéro
PRINCIPE DE D’ALEMBERT
Dans ces équations, <*>, w et w", sont les composantes, respectivement autour de OX, de OY et de OZ, de la vitesse angulaire de rotation de la terre, que je suppose constante.
On peut simplifier ces formules , en supposant que l’on prenne pour plan des (z, x) le méridien du lieu ; alors w' = 0. De plus , sans rien changer à l’axe des z, on peut prendre pour axes des x et des y, deux autres axes parallèles aux premiers , et situés à la surface de la terre. 41ors les x et les y ne changent pas , mais z devient étant le rayon de la terre. Les équa-
tions précédentes se transforment en conséquence en celles-ci :
— — 2to" — u"2x -f- <*>( d'z' -j- ww1' R = o
dt dt
d2y dx dz1
dt 2 dt dt K ~ lu
-JY -f- 2C0 -(- 0)"iùX — üi^z'-^g — 0)2R = 0.
dt 2 dt
Ces trois équations sont linéaires et à coefficients constants. Elles sont donc intégrables, et donneront ainsi la solution du problème.
On peut facilement tirer des formules précédentes le changement exact à faire subir au principe si important des forces vives , appliqué aux corps pesants , en raison du mouvement diurne de rotation de la terre sur son axe.
A cet effet, appelons m la masse du mobile, Vr sa vitesse apparente, p et p" ses distances respectivement aux axes des x et des z à un instant quelconque, et affectons en général de l’indice 0 les valeurs des quantités correspondantes à une époque initiale déterminée.
En multipliant respectivement les trois équations précédentes par dx, dy et dz, on obtient un résultat que
DANS LES MOUVEMENTS RELATIFS ’j’b
l’on peut intégrer, ce qui donne
- (Vr2— VV0)=»»(gr— u>8R) (z'o — V) + — <o"!(p,'ï — p’'os) + 2 2
7ÏI
-|- — o)2(p2 — pV) + mu>u>”(xoz'0 — xz) + mtow"R(^r0 — x ).
En réduisant le second membre aux quantités appréciables , on a m
— (Y% — V2ro) = m [g — to2R) (z'0 — z')+ mww"R(Æ;0 — x).
Le premier terme du second membre est celui dont on se sert ordinairement ; mais on voit que le second , à savoir mmJ'K(x0 — x) peut avoir dans certains cas une valeur très-sensible, notamment quand le mouvement horizontal du mobile, dans le méridien, est considérable par rapport à son déplacement vertical.
problème 9.
Étant donné un pendule, libre de se mouvoir dans tous les azimuts autour de son point de suspension , trouver son mouvement apparent en tenant compte de la rotation diurne de la terre.
Ce problème qui se rapporte à la belle expérience exécutée par M. Foucault peut être traité de la manière suivante :
Pour le système des axes mobiles, choisissons, comme axe des *, la verticale qui passe par le point de suspension ; comme axe des x , la perpendiculaire menée par le centre de la terre dans le méridien du lieu, et comme axe des y , une ligne perpendiculaire aux deux autres. Des trois composantes w, w et w" de la vitesse angulaire de la terre, par rapport à OX, OY et OZ, une est nulle et l’on a J = 0.
Appliquant la méthode précédente, et appelant Pi le rayon de la terre, compté de son centre au point de sus-
PRINCIPE DE d’aLEMBERT
pension du pendule, et l la longueur de celui-ci, on aura, pour déterminer son mouvement, les trois équations x*+y* + (R — zŸ = l\
- ■+-'î+iÆî
, , ,, dy\
~ dtj
d~y , , , ,lai „d& , dz ,
-dF+{u>+'*]y-wlï + *u‘dï +
i 2/ / d2, , „ ,, dtv\
+ g— -( - 9 - — + o> z -xo, co -j = °.
Supposons qu’on transporte les axes des x et des y parallèlement à eux-mêmes jusqu’au point de suspension, et qu’on compte les nouveaux z, soit les z, de haut en bas. On aura z = l\ — z\ et les équations précédentes deviendront
IK
— ^ + — COÜ)"R + CO.",' + 2to" ^ + J ly—g +
-f- 77 -j~ co2R — coV — Æco"co — 2(0 — o.
1 dr2 1 dt)
d2w , , „ , „ d# dz' . y [
~diF + (“ +w )y-2w dF-2“ rf7-+?(-^ +
■ -j- to2R — coV — Æto". 2 to — o.
CIL Cil ]
Ces trois équations déterminent x, y et z' en fonctions du temps.
Au lieu d’avoir trois équations entre trois variables, on peut n’avoir que deux équations entre deux variables. En effet, appelant 0 l’angle d’inclinaison du pendule avec la verticale et <p l’angle de son azimut avec le
plan méridien , on a
x= /sinOcoscfy = / sinOsin <p z'=. I cos 6
Si l’on n’avait égard qu’à la composante w" du mouvement de rotation de la terre autour de l’axe OZ, l’azimut du pendule semblerait tourner en sens inverse , d’un mouvement uniforme. C’est une expression de ce mouvement que l’on donne quelquefois, et en appelant Q la vitesse angulaire de la terre et y la latitude du lieu, on aw'' = û sin y, formule que l’on donne en pareil cas.
Étant donné un pendule simple , oscillant dans un plan vertical déterminé , trouver la loi de ses petites oscillations en tenant compte du mouvement de rotation diurne de la terre .
Prenons pour axe des z, la verticale qui passe par le point de suspension du pendule ; pour axe des x, une perpendiculaire à OZ menée par le centre 0 de la terre, dans le plan d’oscillation, et enfin pour axe des y , une perpendiculaire aux deux autres axes.
Appelons w,w'et w" les composantes de la vitesse angulaire de rotation de la terre, autour de OX, OY et OZ; R le rayon terrestre, compté depuis le centre de la terre jusqu’au point de suspension du pendule , et l la longueur de celui-ci. On aura, pour déterminer x et z en fonctions de t , les deux équations
ar* + (R — z)* — F
£ “H “t" 0)”8)a? — wto1 "z — 2to' OX -|-
+ [— ? — + + W,s)z — W'x + W Sz = o.
Transportons les axes des x et des y parallèlement à eux -mêmes jusqu’au point de suspension, et comptons les nouveaux z, soit les z’ , de haut et en bas. Les deux équations ci-dessus deviendront
PRINCIPE DE D’ALEMBERT
tf2 + *'2 = l\
4" (w2+ü)f2) (R — z') — ww''a:-f2w' ~
La première donne x%x + z'W = o.
On a donc, en résumé, pour déterminer x et z' les deux équations
Quant à y, on a y = o.
Ces équations sont intégrables, à l’aide d’un changement de coordonnées. En effet, appelons 6 l’angle du pendule avec la verticale. On aura
#:=/sin6; z' — l cos 6;
~dF
Supposons , comme cela se fait ordinairement , que l’arc 6 reste toujours assez petit pour qu’on puisse admettre sin e == 6, et cos 6 = i , ce qui revient à négliger les quantités de l’ordre du quarré de 0 par rapport à l’unité. Alors les relations précédentes deviennent
x = JO ;
dx ^ d6 dz'
dt dt’ dt d%x ___ /d26
de ~~ \ de~T~de)'
En faisant les substitutions on a d20
/(l + e2) ^ + [gf - (co2 +co'2)R + ((O2 - co"2)7]ô + coco,f[R - — /(i — e2)] = o.
On peut négliger ô2 devant l’unité et l devant R. De plus (co2 — o»"2) / est très- petit par rapport à (co2-f-to2) R, ou, s’il ne l’état pas, ce qui arriverait si co et co' étaient excessivement petits, il serait tout à fait négligeable devant g. On peut donc remplacer l’équation précédente par
d2Ô g — (co2 + co'2)R coto"R
de 1 z i
Multipliant par 2 d0 et intégrant on a
dtf
g — K+co'2)R
2üho"R
de 1 1 1
G étant une constante. Celle-ci se détermine facilement par la condition que si , à une des limites de l’oscillation 0 = O0 , on a à cet instant ^ = 0. Donc
at
g — ( co2 + tor2)R , , 2COCo"R ~T- - e0 + —7— C.
par suite ,
de
Si l’on veut obtenir l’angle 6t répondant à l’autre limite de l’oscillation , on aura
d’où
{ho)
g — (coa -j- co'2)R
(ei + e0) +
2coto"R
gr — (o>*+ co'*) R-
PRINCIPE DE D’ALEMBERT
(40 du
Cette formule montre que le pendule ne s’écarte pas du même angle de part et d’autre de la verticale. Il y a une très-légère différence dont la valeur absolue est 2toto"R
et ^ est dépendante de l’amplitude des oscillations. Elle atteint son maximum quand la latitude du lieu est 45° et que le plan d’oscillation se confond avec le méridien de ce lieu. Dans ce cas, la différence entre les deux angles de part et d’autre de la verticale est d’environ 12'.
Voyons maintenant, dans le cas général , quel est le plus petit des deux angles. Or, supposons que ec soit du côté des x positifs et, par conséquent, positif. On voit qu’ alors, en valeur absolue, 6i sera plus grand que 60 si w et w" sont de même signe, et que sera plus petit que ô0 si w et J' sont de signes contraires. Il en résulte que, si le lieu de l’observation est dans l’hémisphère boréal , le plus petit des deux angles sera celui dirigé plutôt vers le nord que vers le sud, et que si le pendule oscille dans l’hémisphère austral, le plus petit angle est celui dirigé plutôt vers le sud que vers le nord.
Si l’on a w — o ou u>" = 0, les deux angles deviennent rigoureusement égaux. Le premier cas se présente quand le plan d’oscillation est perpendiculaire au méridien du lieu; le second, quand le pendule est à l’équateur, quel que soit d’ailleurs son plan d’oscillation.
Il reste maintenant à déterminer la durée des oscillations. Pour cela, il faut intégrer l’équation (59). C’est ce qu’on peut faire de la manière suivante : tirons-en la valeur de dt; nous aurons
a /[ÿ — (w2+w,2)RJ62ù+2ü)ü)"R60
V 0-(co*+ u>'2)R
Afin que le temps aille constamment en croissant, nous regarderons toujours comme positif le radical qui est, en dénominateur, au-dessous de dû, et nous affecte-
rons le facteur radical
iciiv4—
— . du signe
+ ou du signe — selon que l’angle 6 ira en augmentant
ou en diminuant.
En intégrant la formule (4Q, on trouve
arc sm
oW'R
G' étant une constante. Pour la déterminer, comptons le temps à partir du moment où 6 = e0. Alors on a
arcsin
, œtof R
En discutant cette formule, on reconnaît :
i° Qu’à partir de la verticale, l’arc 60 est parcouru dans le même temps, pendant l’ascension ou la descente du pendule;
2° Que le plus petit arc 0o est parcouru dans un temps plus court que Qr
Enfin, si l’on veut avoir la durée complète de l’oscillation entre ses deux points extrêmes, cela est facile. En effet , pour obtenir le temps que le pendule a employé pour venir de la position extrême 61? il faut regarder le radical qui se trouve dans le second nombre de (42) comme positif, puisque 0 va continuellement en augmentant, et remplacer 6 par la valeur de Gj don-
8o PRINCIPE DE d’aLEMBERT
née par (4o) . On a alors , en appelant T la durée de l’oscillation ,
ou
j^arc sin ( —
=~'\Zt=
Si l’on veut avoir le temps que le pendule mettra à revenir de 60 à , le radical devient positif, et l’on a
Tï
On arrive ainsi à ce résultat particulier et important que la durée totale des oscillations du pendule est indépendante du mouvement de rotation de la terre. Ce mouvement n’influe que sur la valeur de g qu’il change en g — (w9 -f w2)R, et c’est là précisément la modification que l’on fait d’habitude subir à la pesanteur en différents points de la terre, par l’effet de la force centrifuge, développée par le mouvement de rotation. Mais, quant aux oscillations mêmes, elles sont isochrones, et leur durée n’est altérée que par le fait même de la variation de l’intensité de la pesanteur aux différentes latitudes.
Ce résultat est conforme à celui que Poisson a obtenu par une méthode particulière ( Journal de V École polytechnique, année 1837), en cherchant d’abord le mouvement absolu du système, tandis que le problème se résout directement et simplement comme cas particulier d’une méthode générale.
Parif. — Imprimé par E. Thunot et Ce, rue Racine, 26.
