W VT

dt — m'

dV'

r(te"

,,dx^

— 20) — ; |-(io2-f-0)"2)ÿ' — #"•— x"to0)=O

{(x'-xy+y"*Y

dco" dt

dy . (.dtof „dto „ „ .

2(0 — 20) -f — kr1 -Wf'— .T O) to— w' oï <0 =0

dt dt 1 dt J dt *

On voit que, dans ces six équations a?', a?" et y" entrent avec leurs dérivées du second ordre, mais que to, to, et to" n’entrent qu’au premier ordre seulement, tandis que si l’on eût traité ce problème par les méthodes or-

dinaires, même en cherchant le mouvement de m' et m" par rapport à m considéré comme fixe ( voir la Mécanique céleste de Laplace, ire partie, livre 2), on eût eu six équations entre-six inconnues entrant toutes avec leurs dérivées du second ordre.

Après qu’on a obtenu le mouvement relatif, on peut passer de là au mouvement absolu. Il faut se servir pour cela des équations (i4) qui sont linéaires et du premier ordre et détermineront les neuf angles de direction a, g, y;* a , 6', y'; a" 6", y" dont trois comme je l'ai fait déjà observer, sont suffisants pour fixer la grandeur des six autres.

Enfin le mouvement absolu de l’origine ou du corps m, s’obtiendra par des quadratures, à l’aide de X„ Y„ Z, et des neuf angles de direction.

On pourrait comme je l’ai indiqué, varier de bien des manières , le mouvement des axes mobiles. Ainsi on pourrait prendre pour plan des ( x , y) celui des trois corps; puis, pour axe des x , la ligne qui joint m à m! et pour axe des y, la ligne menée par m" perpendiculairement à l’axe des x . Dans ce cas le mouvement relatif des trois corps serait rectiligne et on aurait

On pourrait encore prendre pour plan des (x, y) celui des trois corps; placer l’origine des axes mobiles à leur centre de gravité ; choisir pour axe des x , la ligne allant du centre de gravité au corps m et pour axe des y une perpendiculaire. On aurait alors

mx -{- m'x' m"^"= o,

PRINCIPE DE D’ALE MBERÏ

Problème 4-

Deux corps dont les masses sont m et m' sont réunis par un lien rigide qui les maintient à une distance invariable, r', Vun de l’autre. Trouver le mouvement absolu de ces deux corps sous l’action de la pesanteur , en simplifiant cette recherche par la considération des mouvements relatifs.

Prenons l’axe des Z vertical. En désignant par g la pesanteur, on aura par la formule (20)

— mXox — mYdy -}- (mg — mZ) %z — m'X'ox' —

— m'Y'lÿ -|- ( m'g — — o.

Et à cause de

on a

Ss' = «Z+^(8*-Sæ')+^( Sy-Sy'). .

Ici je détermine le mouvement des axes de la manière suivante. Leur origine accompagne le corps m; l’axe des z est vertical et celui des x est l’horizontale située dans le plan vertical qui passe par m et m'. Il est clair, alors, que , dans le mouvement relatif, m est en repos et que m' se meut dans le plan des [z, x) et y décrit un cercle autour de m. De plus, le mouvement de rotation n’a lieu qu’autour deOZ. On a alors

Ces relations donnent pour la valeur de 82' :

Sz' = 8z+^(8x— Sa;'),

d’où résultent les six équations suivantes pour déterminer le mouvement relatif

— mz'X -f- xXm'g — m'H) = o

— mY — o

mg — m'g — m'H = o

— m'z'X' — x'{m'g — mil) — o

Substituant dans ces relations à X, Y, Z ; Xf Y ' et 71 leurs valeurs données par (17), et tenant compte des simplifications qui résultent de

07 = 0, y=o, z = o, y= 0, w = o, w=o, On a

— mz'X , — m'x'l, — m x 4- m'x'g = 0

1 dt^

(35) < ,dV , d*z' , , ,

z-^ — x — + *X,— xZ,+gx — u,'*xz' = o.

,du" „dx

y‘+xHT™1F=°

a?'* (4 -jz,2 = r'2.

Ces six relations sont suffisantes pour déterminer, en en fonctions du temps , a?' et s' ; puis X„ Y„ Z, et en un mot, le mouvement relatif et le mouvement des axes.

Ces équations sont intégrables. En effet à cause de la seconde, la cinquième devient :

du" 2 dx'

d’où résulte

(36) ^ coV* = C

C étant une constante

PRINCIPE DE DALEMBERT

Eliminant ensuite X, et Zt entre les quatre autres et y remplaçant <*>" par sa valeur tirée de (36) on a, pour déterminer x' et z\

, dV , d}z' G V

* ~dë~X

Pour intégrer maintenant, il suffit de changer de variables. Appelons 6' l’angle formé par la ligne m m' avec l’axe des x , de sorte que

x'=r’ cos 0' et z ’ = r' sin 6'.

En substituant, l’équation (37) devient

d26f C2 sin 6'

diF + P» ^7*6' — 0

Multipliant par 2 de' et intégrant on a

<fr*r,a c2

df- r'4 cos2ô'’

G'2 étant une seconde constante. On tire de là

. r'2cosô' d0'

dt = —

V/C'V*cos!6’ — C2

et par suite en intégrant ,

, 1 CV'2 sin 6'

t = y + — ^ arc sin — —

(38). sin 8' = 1 — s'n C' ^ ^

Y étant une troisième constante.

Connaissant 6', on a x' et z puisque x' = r' cos 6' et j z' = r' sin 6' ; puis w", par (36).

On aura ensuite X„ Yt et Zt comme conséquences des formules (35).

Pour passer de là au mouvement absolu, il n’y a plus qu’à déterminer les angles de direction des axes mobiles avec des axes fixes, dont, pour plus de simplicité, l’axe des Z, par exemple, serait vertical. Or, soit directement, soit par les formules (i4), on trouve facilement

Le problème se trouve donc, par cette méthode, résolu très-simplement.

problème 5.

Un corps m qui en entraîne deux autres m' et m" à taide de liens rigides et inextensibles , de longueurs r' et r" est lancé dans l'espace. Trouver le mouvement du système qui n est d'ailleurs soumis à aucune force.

Nous déterminerons le mouvement des axes mobiles de la manière suivante :

Leur origine accompagne le corps m , le plan des (#, y) passe constamment par les trois corps et l’axe des x est toujours mené par m'.

Gela posé , en suivant la nouvelle méthode et conservant les notations précédentes , on obtient les neuf équations :

(m-j-m' + m") X* — (w^d-ü)''2) (mV-fm'y') — m"y' -f-

+ m'VW — 2mV ^ = o.

^ u dt

PRINCIPE DE d’aLEMBERT

, „ , ndy")

+ y cou) — 2w -f- [ = o.

dt /

Zt — o.

V I > dco" „ d#'

Y ^ -j- x — — — p x co co -4- 2 co ■ - o. rfÆ dt

, , ,dlù' , „ , tfa?'

‘ dt ^ dt

[aw+Yt~ K + w"!) y" + œ" ï + æV“ +

+2“irj +

+ y" (Ç- + X. - K + *n oo" -y" ~ + ÿ’w -

„ c/a)' , „diù , ,, „ , , dy " ,dx"

7j‘~x iü+y ii+x w “+y “ “+2“w-2W ^r^0-

#"2 yH 2 = f»l

Si l’on pose x" — r" cos 6" et ij’ = r" sin 6", et que l’on élimine entre ces équations X, , Y„ Z* et x\ il ne restera plus que quatre équations qui détermineront 0", o), w', co", dans lesquelles 6" entrera au second ordre , et les vitesses angulaires au premier ordre seulement, tandis que , par les méthodes ordinaires , en cherchant directement le mouvement absolu du système, on eût eu neuf équations différentielles, où les neuf variables fussent entrées au second ordre.

Si le système avait été soumis à Faction de la pesanteur, on aurait pris l’axe des Z vertical. Dans ce cas l’origine aurait toujours accompagné le corps m , et on aurait assujetti le plan (s , x) à passer continuellement par m. On aurait eu alors x = o, y = o9 z=o,y’ = o, et il serait resté dans les équations x\ z\ x ", y ", et z" au second ordre , et <o , co', w" au premier. On pourrait

alors réduire à trois le nombre des variables entrant au second ordre, en appelant ô' et 6" les angles exprimant les latitudes de m' et m " par rapport au plan des (x , y) , et <p la longitude de m" par rapport au plan des (, x , z)\ car on aurait x’ = r' cos 0', z' =r' sin 0r, x'= rf,cos 0" cos <p , y" = r" cos o” sin <p et z”= r" sin 0”, et il ne resterait plus que G" et <p entrant au second ordre.

problème 6.

Trouver le mouvement relatif d'un mobile , soumis à faction de la pesanteur , et obligé de se mouvoir sur une surface assujettie à tourner avec une vitesse angulaire constante , u>'', autour d'un axe vertical . Par exemple , ce serait le mouvement de l'eau sur une roue horizontale.

Pour le système des axes mobiles , prenons pour celui des z , cet axe de rotation dirigé de haut en bas , et poulies deux autres , deux droites perpendiculaires , participant, avec la surface, à ce mouvement de rotation. Soit , par rapport à ces axes :

l’équation de cette surface , et supposons qu’elle donne dz = pdx qdy .

Ici l’on a :

= ’o Yl==o = mg

X( — o Y ( — o Zt — o,

En appliquant la méthode précédente, on obtient facilement

n dy

-rfF+“ 'a*+w dt+p9~p rff = 0-

d y „ dx dz