PROPOSITION XXXIII

Sur la constance des grands o-ces et des moyens rnou~ wnients planétaires ^ liée à la constance des densités, et sur les causes tlu mouvement propre des orbites. Mesure, par un principe simple, du déplacement de la Ifgne des apsides et application de cette mesure à la Ijihe et aux satellites de Jupiter. Pourquoi les inégalités des trois premiers satellites de Jupiter se confondent, dans les éclipses, en une seule et meinc périotle.

i.es principes qui nous ont conduit n la (Vérification de la troisième loi de Kepler /t aux deux propositions que nous

DES l.OIS DE I,’ VSTIVOSOMIE.

venons de traiter, auraient des conséquences inépuisables, si le temps et les forces ne manquaient à cette recherche. Peut- ' être un jour, si les forces de notre esprit ne restent pas audessous dune telle entreprise, essayerons-nous de poursuivre ces conséquences jusque dans les détails du problème général des perturbations planétaires , en recherchant ce que nos principes pourraient apporter de simplicité plus grande dans ‘ ces difficiles questions, demeurées par les principes uniquement newtoniens tellement é 4 )iiicuses, que les efforts des plus grands géomètres du siècle dernier et du nétre n’ont pas été sans nécessité pour les résoudre et en tirer l'application. Itfais le champ que nous nous Somme.s ouvert est déjà bien vaste, et Ce serait trop en ce moment pour nos efforts. Contentons-nous de jeter un jalon dans cette voie en indiquant encore 1 application de notre mctiiode aux causes d'un des faits principaux de la physique ci^leste cl à la mesure des lois particulières qui s'y rattachent ; je veux parler de la constance des axes des orbites et des moyens mouvements planétaires, et de la cause qui transporte aux orbites eux-mèmes les déplacements qui sans une cause spéciale eussent dû affecter lu direction même du monvemeiit des corps satellitaires autour de leur centre particulier de circulation.

Pourquoi ni les perturbations dues à l'attraction des autres astres, ni surtout celles qui .sont dues à l’attracUon inégale du centre commun, n'ont-elles d'action sur les plus grandes ou les moindres élongations d’un satellite, non plus que sur sou moyen mouvement; et pourquoi l'orbite elle-même, agissant comme une pièce rigide et non plus cumme une ligne idéale, obéit-elle par son propre déplacement à l’action de ces forces perturbatrices?

Sans doute de savants, d'admirables calculs ont vérifié qu'il pouvait en être ainsi dans les principes unûpiement newtoniens; mais la raison philosophique, la cause véritable et nécessaire de cette transformation des forces, a-t-elle été jamais donnée dans cc système? Nous ne lu pensons point; et noms essayerons d'indiquer cette cause selon nos vues.

Déjà, par les considérations qui nous ont conduit à la troi-

(^0>STAHCE DES UltlilTES ET IMCUALITKS.

^lèmu loi de kepler, nous avoiisjustiliéUe la coiistauce des moyens mouvements en ce qui concerne les attractions du centre commun, celle du soleil par exemple s'il s’agit du mouvement de la lune-: car c'est de cette cirai la/ion intime autour d'iiii centre commun que nous avons conclu les conditions de la constance durap[M)rt entre les axes des orbites et les temps des révolutions, qui constitue la troisième loi de Kepler; et il est clair qu'une série de moyens mouvements liés ainsi par une grande loi, doit présenter des conditions de stabilité sous l'action de la cause même qui produit la constance du rapport. Il n'est pas difficile non plus de se convirincre que les mêmes princi[>es sont applicables à toute action troublante qui agit progressivement sur le contour entier de l'orbite des corps troublés, et c’est là 'le cas général pour notre système planétaire, où les iiertnrbations importantes procèdent pre.s(|ue toujours de l’extérieur vers le centre du système, d’après la gradation des masses.

>^ais ces raisons ne nous .satisferaient pas cora|>lélemeut, car la troisième loi de Kepler et les considérations (jui nous y ont conduit sont liées a une division pour ainsi dire arbitraire des vitesses du satellite autour de son centre twrticulier d’attraction et autour du centre commun. Il est une autre cause de stabilité des moyens mouvements, qui est liée d'une manière beaucoup plus directe avec les principes fondamentaux du système, et plus fortement dépendante de la nature des choses : je veux parler de leur liaison avec lu ilcnsilf des cor|)s, dont nous avons trouvé, par les Propositions VIII et XIII , que la valeur est liée elle-même par une loi des plus simples avec les paramètres des orbites ou scusibleinent avec les- moyennes distances.

On concevra sans peine qu’il soit beaucoup plus facile pour un corps de mpdifier la vitesse de son mouvement que de transformer sa densité, laquelle tient à rarrungement général de ses particules intérieures. La conservation de la densité assure donc celle des moyennes distances; et celle-ci par la troisième loi de Kepler assure à son tour la persistance des moy ens mouvements (*). , *r '

(*) Ufftt ri»M^ir «ire*»» lok «it volidairo du |mmj i!e val.oir et «lu

2U8 DKS LOIS DE L’aSTROHOMIE.

Ainsi tout sc lie dans ce système et les phénomènes s'y déduisent l'un de l'autre par une rigoureuse dépendance. C’est par la nécessité d'une constance dans sa densité moyenne, que chaque corps de l’ensemble planétaire conservera autour de son centre de circulation la forme et les dimensions de son orbite, et c’est comme conséquence des mêmes nécessités que' pour obéir aux perturbations de la vitesse , l’orbite lui-même paraîtra se mouvoir, soit en déviant l'inclinaison de son plan autour de la ligne des nœuds, soit en faisant décrire à sa ligne des apsides une aire plane autour du foyer lixe de la courbe.

Cela posé, ces mêmes considei ations nous donnent le moyen de porter plus avant notre analyse, et nous allons montrer quelle ressource peut encore offrir notre méthode pour mesu-^ rer approximativement d’une manière simple la valeur de ce déplacement nécessaire de la ligne des apside.s et pour en foire reconnaître la loi. '

Il faut nous reportiT à cet effet aux considérations de la Proposition XI" lesquelles nous ont servi à l’établissement de la troisième loi de Kepler. Nous avons dit alors : la vitesse absolue d’un satellite se divisera pour nous en deux parties, savoir, sa vitesse de circulation simultanée autour du centre commun et sa vitesse particulière autour de son centre propre d’attraction. Pour tout ramener à des lois régulières et établir la fixité relative du centre attirant par rapport à son satellite, nous avous supposé que tous deux se transportaient à chaque instant d’un mouvement angulaire égal autour du centre oommun ; et de la relation qui en résultait , nous avons déduit les conditions et les lois du mouvement moyen du satellite dans son orbite particulière. Il s’agit maintenant de reprendre les conditions de ce mouvement simultané lui-même, et d’exa-

peu de varialiun des excentricité* ; (loiir les comètes I* densité et l'exceotricHé varient à la lois dans des limites fort étendues, et les lois dont noua partons n'existent pas pour ces corps. On pourrait objecter les peUtes variations de l'excentricité des planètes k nu* vues sur la constance de leur densité ; mais nous ferons remarquer qu’it s’agit ici de rapports entre tes densités des corps d'un mime système , et qu’il ne s'agit pas de mettre en ligne de compte la variation de chaque excentricité, mais les rapports mutuels de leurs variations, ce qui tend è en atténuer au moins singnlièremriit l’imiiorlaiice, et peut-être à l'annuler complètement.

COSSTASCE DES OBBITES ET ISÉGALITÉS. 209

miner si son mode d’égalité arbitrairement choisi est précisément eompatible avec ta constance du moyen mouvement du satellite : l'analyse des conditions nécessaires pour cette concordance nous révélera la loi du déplacement de l'orbite en longitude et nous donnera la mesure du mouvement de la ligne des apsides.

n est clair que si le satellite exécutait sa révolution autour de son centre particulier dans un intervalle de temps qui fût en rapport exact avec le temps de la révolution de celui-ci autour du centre commun , à chacune de ces révolutions l’orbite retrouverait la |K>sition exacte qu’elle occupait, et le satellite, après avoir été doué pendant la révolution entière d’une vitesse angulaire à chaque instant égale à celle de la planète, pourrait recommencer identiquement le même mouvement à partir du même point de départi Mais il n’eu est pas généralement ainsi, ' et du défaut de ce rapport exact nous allons voir naitre la cause et la mesure du déplacement apparent de la ligne des apsides. Pour fixer les idées, faisons l’application immédiate de ce calcul à la lune, en cherchant la période du mouvement entier de son apogée, nu riutcrvalle de temps an bout duquel il revient à sa position première dans l’orbite de la terre après un tour complet.

La lune fait sa révolution sidérale autour de la terre en 27’, 321G6I0, nombre qui n’est pas contenu d’une manière exacte dans 36Ô’, 2303830, temps de la révolution sidérale de la terre autour du soleil. I^e quotient approximatif est 13,37. Cherchons le nombre entier le plus rapproché de celui-ci qui soit contenu un nombre exact de fois dans 365‘,2563830; c’est 12,. qui sans y être contenu d’ime manière absolument exacte, le divise toutefois exactement jasqn’à la quatrième décimale. Le quotient est 30’,4380319, dont la différence avec la durée de la révolution réelle de la lune 27‘,32166I0, est 3’, 11 63709. Pour arriver au rapport exact des vitesses, un point de l’orbite lunaire, l’apogrâ |)ar exemple, doit donc paraître rétrograder à chaque révolution des ^ ou plus exactement des o*"-

bitc. Soit fraction aussi approchée que possible; pen-

if,

DES LOIS DE l’aSTHO?(OMIE.

2lü‘

dant la révolution entière de la terre l'apogée aura marché des

— de l’orbite. Au bout de combien de révolutions terrestres m

cette quantité sera-t-elle un nombre exact de révolutions lunaires ? Évidemment au bout d’un nombre m de révolutions, s'il n'y a point de commun diviseur entre les deux termes du rapport. C'est doue après un nombre d'années marquées par

que l'apogée de la lune sera revenu à sa position première pour un même point de l’orbite terrestre.

. Ur la période du mouvement des apsides lunaires est donnée ]>ar l’observation comme égale à 3232‘, 58 ; le nombre que nous avons trouvé par une eonsidération aussi simple n'en est donc pas différent d'un eentième de la quantité totale. Observons même que si. l'on ajoutait à notre chiffre l’une des 1 2 révolutions lunaires annuelles pour compenser les dernières inégalités que le défautd'une division exacte nous a empêché d’atteindre, c'està-dire Sty, 43, un obtiendrait le nombre de 3232^, 68, presque identique avec celui de l’observation, et n’en différant pas d’un dixième de jour sur neuf ans.

Voilà donc trouvé, par une des plus simples considérations qui SC puissent former, et pour ainsi dire sans calcul, ce chiffre du mouvement de l’apogée lunaire pour lequel, dans le système newtonien, tant de savants efforts d'analyse out été laits, et dont l’erreur primitive avait porté même un instant Clairaut à nier l’unité de la loi d’attraction entre les différents corps célestes.

l.a simplicité que nous trouvons ici dans les calculs doit être rap|>urtée d'ailleurs uniquement à la rectitude plus grande des principes qui servent de fondement à la méthode, et nous avons voulu donner surtout le.s résultats de cette analyse comme un nouvel appui pour l’établissement de ces principes. Avant d’en continuer l’application aux satellites de Jupiter, il est à propos de traduire ce très-simple calcul en signes algébriques, parce que nous trouverons occasion d’en conclure un intéressant

COJtSTAWCE I>ES ORBITES ET INÉGALITÉS.

théorème, qui concerne les rapports singuliers de coïncidence présentés par les retards des éclipses des trois premiers de ces satellites, et qui les expliquera très-facilement. Soient T et I les ^ ten)ps des révolutions d'une planète autour du soleil et d'un satellite autour de la planète ; t n'étant pas un diviseur exact de T, nous avons cherché le quotient exact t le plus rapproché possible, et le rapport t : l — t nous a donné le coefficient du temps de la période, que l’on peut rapporter d'ailleurs soit à la révolution de la planète, soit à celle du satellite lui-mâme. Cherchons maintenant la condition pour que ce coefficient de la période soit égal pour un second satellite, dont les temps correspondants à I et T seraient (' et t'. Cette condition est que

d’où l’on tire la proportion

et l’on voit facilement que cette condition sera satisfaite lorsque t sera un multiple exact de car alors les nombres approximateurs t et t' seront aussi les mêmes multiples l’un de l’autre. Or c’est ce qui a lieu pour les trois premiers 'satellites de Jupiter, dont les temps de révolutions sont entre eux dans le rapport des nombres 1, 2 et 4. Les tnouvemenis de la ligne des(^uide$ des trois premiers satellites de Jupiter, rapportés au cours même de la planète, doivent donc $e confondre en une êemJe et même période, comme le montre l'observation. Calculons maintenant la valeur de cette période.

.ijB de la i^volütion de Jupiter est T = 4332^,6, et

l'on a pqov^n premier satellite ( =: l’,769l , pour le troisième t' — 7‘,I54 ; mais pour que ce tempe fût rigoureusement quadruple du premier, il faudrait qu’il fût égal à 7‘,06, et c’est ce que nous supposerons. Il est facile de voir que l’on doit faire ici T = l',8, ce qui esjt la 2407* partie de T ; t' deviendra égal à 7‘,22 qui est la 600* partie du même nombre 4332,6; et dans les deux cas l’on aura

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212 * i>es LOIS DE l’astronomie.

on aurait de même une valeur égale pour le deuxième satellite. Appliquons maintenant ce nombre à la révolution des satellites eux -mêmes autour de la planète.' A chaque révolution de 7', 22 autour de la planète, le périjove du troisi^e satellite devra rétrograder de ^ de son orbite ; il rétrogradera donc de son orbite entière dans un temps 57 fois plus grand ; d’où il suit que pour avoir le temps absolu du mouvement du jiérijove , il faut multiplier 7*, 22 par 57,06, ce qui donne pour le temps de la période environ 4 12 jours. Pour le premier .satellite on aurait trouvé un temps quatre fois moindre, ou 103 jours. Ses retours absolus se «mfondront donc de quatre en quatre avec ceux du troisième satellite, et le temps de cette période commune, 4I2‘, ne diffère que d’un vingtième de celui qui est fourni par les observations des éclipses dea satellites de Jùpiter, lequel est de 437‘,68. Or nous n’avons point tenu compte de l’action mutuelle des satellites l’un sur l’autre , qui d’après les beaux calculs de I.aplace doit amener forcément les nombres à l’égalité, pourvu qu’à l'origine ils aient été peu dissemblables; et de plus nous avons sùppo.sé que rincerülude des temps des révolutions portait^ entièrement sur le troisième satellite, ce qui tend à affaiblir le chiffre de la période. Il nous eût été facile, en prenant la moyenne des suppositions, d’amener le coefficient 57,06 à la valeur 60, et alors le temps delà période du troisième satellite prendrait la valeur 433‘,2, qui est beaucoup plus approchée et d’ailleurs dans un rapport simple, celui du dixième, avec le temps de la révolution de Jupiter : il s’ensuit que ai l'on rapporte les inégalités des satellites aux position» de Jupiter dans son orbite propre, comme nous l’avons fait pour fa lune, et comme cela est nécessaire dans les éclipses, c’est la période' commune 433 jours, dont le rapport avec le tour entier de Jupiter est le plus étroit, qui réglera le retard des éclipses, ainsi que l’indique l’observation.

Il faut voir dans les œuvres de Laplace quelle attention ce célèbre géomètre a donnée à ces rapports, de coïncidence dts inégalités des trois premiers satellites de Jupiter, et à ipiels savants calculs il s’est livré dans le but de faire voir seulement que l’action mutuelle des satellites doit faire tendre ces mouve-