NOMBRES

Carrés.

première différence

seconde différence.

Tout nombre de la colonne A peut s'obtenir en multipliant par lui-même le nombre qui exprime sa distance du commencement de la colonoe. Ainsi 23 est le cinquième terme depuis le commencement de la colonne, et 5 multiplié par 5 donne 2S. Retranchons ensuite chaque terme de cette colonne du terme suivant, et mettons le résultat dans la colonne B, qui s'appelle la colonne des premières différences. Si nous retranchons ensuite chaque terme des premières différences du terme suivant, nous trouvons pour résultat unique le nombre 2 (colonne C), et ce nombre reparaîtra constamment dans cette colonne, que l'on appelle la colonne des secondes différences, comme

pourra le voir toute personne qui voudra prendre la peine de pousser la table quelques termes plus loin. Ceci une fois admis comme démcwitré, il est évident que, pourvu que les premiers termes des trois colonnes A, B, C soient donnés, nous pouvons pousser cette table aussi loin que nous voudrons, uniquement par des additions successives; car on peut former la série des premières différences en ajoutant successivement la différence constante (2) au nombre 3, le premier de cette colonne, et Ton obtient ainsi la suite des nombres impairs, 3, 5, 7, etc. ; et-en ajoutant successivement chacun d'eux au nombre précédent de la colonne A, nous formerons tous les carrés.

243. Maintenant que j'ai jeté quelque jour, autant que je puis l'espérer, sur la partie théorique de la question, je vais passer à la partie pratique, et essayer de montrer que l'exécution d'une machine capable de produire la série de nombres du tableau précédent n'est pas aussi éloignée de nos moyens de construction ordinaires qu'elle le semble au premier coup d'oeil ^ Concevons trois horloges placées l'une à côté de l'autre sur une table, chacune ayant une seule

1. J'ai déjà pu faire assembler une portion des pièces de la machine dont la construction m'occupe depuis plusieurs années (1831). J'ai établi ainsi une machine qui peut calculer une table en trois colonnes, avec les premières et secondes différences. Les nombres de chaque colonne peuvent aller jusqu'à cinq chiffres ; la réunion des quinze chiffres contenus ainsi dans les trois colonnes constitue à peu près la neuvième partie de la grande machine que j'ai projetée primitivement. La facilité et la précision du travail de la petite machine ne laissent aucun doute sur la réussite du même principe sur une échelle plus étendue. Non seulement elle peut faire des tables de carrés, de cubes, et former une partie des tables logarith-

aiguille, et portant mille divisions sur son cadran, au lieu des douze heures. Concevons de plus chaque horloge garnie d'un ressort qu'il suffise de presser pour qu'une sonnerie compte le nombre de divisions marquées par l'aiguille. Supposons encore que deux des horloges, que nous désignerons par B et C pour les distinguer, soient unies par une espèce de mécanisme tel, que l'horloge C, à chaque coup de sa sonnerie, fasse marcher l'aiguille de B d'une division. Enfin supposons que, par un semblable mécanisme, FhorlogeB, à chaque coup de sa sonnerie, fasse marcher d'une division également l'aiguille de A., Dans cet état de choses, supposons que l'on mette l'aiguille de A à la

miques ; elle possède aussi la faculté de calculer certaines séries dont les différences ne sont pas constantes, et elle a déjà réduit eo tables des parties de séries déduites des équations suivantes :

^htx => les unités comprises dans amx*

àhùx = le nombre entier le plus voisin de f ^ux).

Voici une des séries calculées par cette machine :

Le terme général de cette série est :

fE X — " 1 X -"" 2 J5

tt'=— ^ --^-- h les nombres entiers compris dans —

CX , X -\' \\ les unités comprises dans — - — u

(La grande machine de Babbage n*a jamais été exécutée.)

DIVISION DU TRAVAIL D'ESPRITé

division I, l'aiguille de B à la division III, l'aiguille de G à la division II, et que l'on fasse partir le ressort de répétition de chaque horloge dans l'ordre suivant : d'abord le ressort de G, puis celui de B, enfin celui de A.

Le tableau suivant représentera la marche succèssive des aiguilles, et le résultat de leurs indications.

as

CD s