Le fluide inducteur étant incompressible, nous avons la

i^univehsity)

relation

qui devient, en tenant compte des relations (8),

iLK^ + — K^4-— K^ = odx dx^^ dy dy ^^ dz dz '

la fonction ^ satisfait donc à Tune des conditions imposées au potentiel. Elle est aussi, comme le potentiel, constante à Tinte'rieur d'un conducteur, car Télectricilé qui remplit les conducteurs n'est pas élastique, par conséquent X, Y, Z sont nuls et il doit en être de môme des dérivées de ^.

Quand on passe d'un point du diélectrique à un point intérieur d'un conducteur les dérivées de la fonction ^, ne sont pas continues puisqu'elles passent d'une valeur finie à zéro. Mais la fonction elle-même reste continue. Eii efiTet, si la pression n'était pas la même des deux côtés de la surface qui limite le conducteur l'équilibre n'existerait pas , puisque le fluide électrique étant inerte, toute difl*érence de pression aurait pour eflet de faire mouvoir ce fluide.

La fonction ^ jouit donc de toutes les propriétés du potentiel ; par suite la pression du fluide inducteur en un point est précisément le potentiel en ce point.

40* Montrons enfin que la théorie de Maxwell conduit à la même expression que la théorie ordinaire pour l'épaisseur de la couche électrique située à la surface d'un conducteur.

Soient S [fig, 4) la surface qui sépare l'électricité du fluide inducteur dans l'état d'équilibre normal, et S' la surface de séparation dans l'état d'équilibre contraint. L'électricité libre

étant l*excès de la quantité de fluide électrique contenue dans le conducteur dans Tétat d'équilibre contraint sur la quantité qui s'y trouve normalement, la charge du conducteur est la quantité de fluide comprise entre les deux surfaces S et S'. Ce fluide étant incompressible la charge en chaque point est donc proportionnelle & la distance nor-

Flg. 4.

maie qui sépare les deux

surfaces. Considérons une molécule du fluide inducteur située, dans Tétat d'équilibre normal, en un point m de la surface S ; dans Tétat d'équilibre contraint cette molécule viendra en m sur la surface S'. Le triangle mnm\ dont le côté mn est la distance normale qui sépare les deux surfaces, peut être considéré comme un trifimgle rectangle en n. L'épaisseur de la couche électrique est donc égale à la projection du déplacement sur la normale à la surface (en réalité le déplacement est normal à la surface, mais nous n'avons pas besoin de faire intervenir ici cette propriété du fluide inducteur). Cette projection a pour valeur

C'est bien la valeur que donne la théorie ordinaire pour l'épaisseur de la couche électrique.

41. Dans ce qui précède, nous avons été amenés à supposer que la pression dans le fluide inducteur est égale à ^. Nous nous trouvons donc en contradiction avec une autre théorie

de Maxwell, où Ton trouve que la pression en un point du diéletrique, au lieu d'être égale au potentiel, est proportionnelle à V (-f) • Nous reviendrons plus loin sur cette contradiction.

42. La méthode précédente n'est pas la seule que l'on puisse employer pour déduire de la théorie de Maxwell les lois de la distribution électrique. Elle a d'ailleurs Tinconvé* nient de ne plus subsister si le fluide inducteur n'existe pas x)u si dans ce fluide il n'y pas de pression. Ayant fait remarquer que l'hypothèse du Huide inducteur ne devait être considérée que comme une hypothèse transitoire, il n'est pas inutile d'indiquer une autre méthode donnant les lois de la distribution électrique sans supposer l'existence de ce fluide. Exposons cette méthode.

Pour qu'un système soit en équilibre, il faut et il suffît que son énergie potentielle soit minimum. Nous obtiendrons donc les conditions de l'équilibre électrique, en exprimant que l'énergie potentielle W est minimum, ou, ce qui revient au même, que la variation de W est nulle quand on donne à/*, ^, A, des accroissements quelconques compatibles avec les liaisons. Or, quelle que soit la théorie adoptée /*, g, h, doivent satisfaire à la relation

qui exprime l'incompressibilité du milieu.

D'autre part, considérons un quelconque des conducteurs du système. La charge M de ce conducteur sera une des données

de la question. On devra donc avoir

f{oif+?ff + yh)di^=:U

l'intégrale étant étendue à tous les éléments d(ù de la surface du conducteur ; a, p, y désignant les cosinus directeurs de la normale à cet élément et M une constante donnée.

Écrivons que la variation de l'énergie potentielle est nulle ; nous avons

-fi

(/«/" + ^8fl' + *SA)«fT = o.

Hais à cause des liaisons nous avons aussi

fjri-f^'^-hi^k = o.

dz

l'intégrale étant étendue h tous les éléments de volume dr du diélectrique.

Le calcul des variations nous apprend qu'il existe une fonction ^ telle que l'on ait identiquement

. En intégrant par parties l'intégrale correspondant au second terme de la parenthèse, nous obtenons

Celte équation devant être satisfaite identiquement, tous les éléments de la première intégrale doivent être nuls; on a

ce qui est précisément la relation donnée par Maxvell. Il reste

LMnlégrale étant étendue à tous les éléments de surface de iotis les conducteurs.

Cette équation devra être satisfaite pour toutes les valeurs de 8/*, S^, oh satisfaisant aux équations de liaison, c'est-à-dire telles que Ton ait pour cTiacun des conducteurs

AaB/'-f p8^ + yS/i) d(ù = o.

Les règles du calcul des variations nous apprennent que cela ne peut avoir lieu que si ^ est constant à la surface de chacun des conducteurs.

Ainsi le potentiel ^ a une valeur constante en tous les points de la surface de chacun des conducteurs, cette valeur pouvant varier d'ailleurs d'un conducteur à l'autre.