Rappelons que d'après un lemme dont nous avons déjà
fait usage, on a
F étant une fonction de a?,y,^ et les intégrales étant étendues, la première à tous les éléments d<ù d'une surfaco fermée, la seconde à tous les éléments du volume limité par celte surface. Si la fonction F devient nulle à la surface et si on prend pour surface fermée une sphère de rayon infiniment grand, la première intégrale est nulle, chacun de ses éléments étant nul puisque F s*annule à' Tinfini. On a donc pour une telle fonction
dF -
•-r- rfT = O.
dx
Dans le cas où F est un produit de deux fonctions u et t? , l'égalité précédente devient
du ,
et nous en tirons
nouvelle égalité qui va nous servir à transformer cAV.
31 • Il vient en appliquant cette règle :
OU en additionnant et tenant compte des équations (4) et (5) :
OU en vertu de Téquation de Poisson généralisée :
-=-é/+{£(-i)+l(K|)+i(Ki)]-
En appliquant le môme lemme que tout à l'heure, il vient:
OU encore, en remarquant que le pouvoir inducteur K, n'est pas altéré par les déplacements des masses électriques et par
conséquent que 8K =: o :
/*{é(''i)]^'=-/-iKi)=
On obtiendrait par symétrie deux autres équations analogues, et en les additionnant et divisant par — 47r, on trouverait :
— ^j 9::lj\dcc)
L'énergie potentielle du système a donc pour valeur (6) W
=ftMÈh
la constante d'intégration étant nulle , puisque l'énergie potentielle doit être nulle quand tout l'espace est à l'état neutre, et que dans ce cas le potentiel en chaque point a la raéme valeur, zéro.
82. L'intégrale du second membre de l'expression (6) doit être étendue à tout l'espace, mais il revient au même de ne l'étendre qu'à l'espace occupé par le diélectrique car les éléments de l'intégrale qui correspondent à des points situés à l'intérieur des conducteurs sont nuls. En effet en tout point d'un conducteur le potentiel a même valeur et par suite, ses
dérivées partielles -t^> -j^> ^> sont également nulles.
Celte remarque permet de transformer l'expression (6), en tout point d*un diélectrique, nous avons d*après les hypothèses de Maxwell,
' Ai: dx 4ic dy 4tK dz
et en portant les valeurs des dérivées partielles du potentiel ^, déduites de ces relations dans le second membre de (3), il vient
(7) W= / f (/^-i-f,« + A«)rfT.
Telle est Ténergie potentielle d'un système électrisé exprimée à Taide des notations de Maxwell.
83* Cherchons maintenant Texpression de cette énergie considérée comme résultant de la déformation du fluide indueteur.
Soient Xc?t, Yc?t, Zcfx les trois composantes de la force qui agit sur un élément di dcffluide inducteur lorsque ce fluide se trouve en équilibre contraint par suite de la charge des conducteurs placés dans le diélectrique. Si les molécules électriques qui composent le système subissent un déplacement inflniment petit, les composantes/*,^, A, du déplacement de rélément dx du fluide inducteur prennent des accroissements 8/*, Ig^ Ih, Le travail élémentaire de la force qui s'exerce sur cet élément a pour valeur
[\lf -f- \lg + Zlh) c/t,
et le travail total sur tous les éléments du fluide inducteur est
rintégrale étant étendue à tout l'espace occupé par le diélectrique. La variation de Ténergie potentielle du système, qui ne diffère que par le signe de la variation du travail, est donc
SW = — y(X8/-+ YS^ + ZZh) dx.
84. Élasticité du fluide inducteur. — L'identification de cette expression avec la suivante
8W= / ^(/«/•+pB^+A8A)e;T.
déduite de l'égalité (7) nous donne pour les valeurs des composantes X, Y, Z,
Ces relations nous montrent que les composantes de la force qui s'exerce sur un élément d-c du fluide inducteur sont proportionnelles aux composantes du déplacement électrique. La force élastique du fluide inducteur est donc dirigée suivant le déplacement et le rapport de sa grandeur à celle du déplace-
ment est égal à rrp' Nous verrons plus tard que dans le cas où
le diélectrique est un milieu cristallisé la force élastique n'est plus dirigée suivant le déplacement; les conclusions précé-
dentés ne s'appliquent qu'aux milieux diélectriques isotropes.
35. Il est à peine besoin de faire remarquer combien l'élasticité du fluide inducteur est diff'érente de l'élasticité des gaz ou de l'éther lumineux. Dans les gaz et dans l'élher l'énergie potentielle dépend seulement des positions relatives des molécules et non de leur position absolue dans l'espace; par suite il n'y a pas réaction élastique quand un de ces fluides se déplace sans se déformer. Il en est tout autrement pour le fluide inducteur. Tout se passe comme si chacune des molécules de ce fluide était attirée proportionnellement à la distance par sa position d'équilibre normal. Il résulterait de là que si l'on donnait à toutes ces molécules un même mouvement de translation sans que leur situation relative variât, l'élasticité n'en devrait pas moins entrer enjeu. Cette élasticité toute particulière que doit posséder le fluide inducteur parait difficile à admettre. On ne conçoit pas comment le point mathématique où se trouve une molécule de fluide inducteur en équilibre normal, pourraagirsur cette moléculepourlarameneràsa position d'équilibre quand une cause électrique l'en aura déplacée. On concevrait plus facilement que ce sontles molécules matérielles du diélectrique qui agissent sur les molécules du fluide inducteur pénétrant le milieu pondérable. Mais cette hypothèse ne lèverait pas toutes les difficultés, car elle n'expliquerait pas l'élasticité du fluide inducteur répandu dans le vide. En outre l'action delà matière sur le fluide inducteur entraînerait l'existence d'une réaction de ce fluide surla matière; or, on n'a constaté aucune manifestation de celte réaction.
86. On pourrait encore supposer l'existence de deux fluides inducteurs se pénétrant et dont les molécules de l'un agiraient
sur les molécules deFautre dès quelles seraient dérangées de leurs positions d'équilibre normal. Mais si cette hypothèse a Tavantage de ramener Télasticité spéciale au fluide inducteur à l'élasticité telle qu'on la conçoit ordinairement, elle a l'inconvénient d'être plus compliquée que celle de l'existence d'un seul fluide. Aussi croyons-nous que l'hypothèse du fluide inducteur de Maxwell n'est que transitoire et qu'elle sera remplacée par une autre plus logique dès que les progrès de la science le permettront. On peut nous objecter que Maxwell n'a pas introduit cette hypothèse du fluide inducteur; mais, comme nous l'avons dit au commencement de ce chapitre, si le mot n'est pas dans l'ouvrage de ce physicien, la chose s'y trouve ; seulement ce que nous avons appelé fluide inducteur est désigné par le mot électricité ; dans le langage de Maxwel l'électricité des diélectriques est supposée élastique, tandis que l'électricité des conducteurs est supposée inerte. Ces propriétés différentes attribuées à deux fluides désignés par le même nom sont la cause du manque de clarté que présentent certains passages de l'ouvrage de Maxwell. C'est uniquement pour éviter cette obscurité que nous avons introduit le mot de fluide inducteur dans l'exposé des idées de Maxwell.
87. Distribution électrique. — Pour achever de justiflei* les hypothèses de Maxwell, il nous faut maintenant montrer que les lois expérimentales de la distribution électrique en sont une conséquence nécessaire.
Commençons par rappeler ces lois. On sait que cette distribution ne dépend que d'une certaine fonction ^, le potentiel, assujettie à diverses conditions. Dans toute l'étendue du diélectrique cette fonction ij/ est continue ainsi que ses déri-
ÉLEGTRICITÉ ET OPTIQUE. )
vées et satisfait à la relation
dx dx ^ dy dy ^ dz dz
en tout point d'un conducteur elle a une valeur constante, mais en un point de la surface ses dérivées ne sont pas continues. Enfin cette fonction s'annulle pour les points situés à l'infini.
L*étude de la distribution électrique sur un conducteur conduit à introduire une nouvelle quantité, la densité électrique superficielle. Si nous désignons par q la quantité d'électricité répandue sur un élément de surface eio), la relation de Poisson, étendue au cas où le diélectrique est autre que Tair, donne
K -7^ c?a) = — 47rg.
dn ^
La densité superficielle S- a donc pour expression
Aizdn
Hais on peut supposer que la couche de fluide électrique répandue à la surface a une densité constante et que son épaisseur est proportionnelle à <x ; c'est à cette dernière interprétation qne nous nous attacherons.
38. Revenons à la théorie de Maxwell. Dans cette théorie nous avons deux fluides incompressibles, le fluide inducteur et le fluide électrique auxquels nous admettrons que Ton puisse appliquer les lois de l'hydrostatique. On sait que si p
est la pression en un point œ^ y y z, d'un tel fluide, les composantes X, Y, Zy de la force élastique résultant du déplacement de ce point, ont pour ysdeurs
X = ^» Y = ^, Z = ^• dœ dy dz
Si nous désignons par ^ la pression en un point du fluide inducteur, nous avons
dx dy dz
Mais nous avons vu dans le paragraphe 34 que les composantes de la force élastique sont égales aux produits des
composantes du déplacement par — —• Nous avons donc
De ces relations on déduit
' Atz dx '^ At: dx Â^ dx
Ces nouvelles relations sont précisément celles qui définissent les composantes du déplacement, ^ désignant alors le polentiel. Pour Justifier la manière dont nous avons défini, d après Maxwell, les composantes du déplacement électrique, il nous faut montrer que la pression ^ en un point du fluide inducteur n*est autre chose que le potentiel.
