Identité des expressions de Ténergie potentielle
[ontrons enûn que la théorie des cellules conduit à la même ression de Ténergie potentielle que la théorie de Maxwell, n sait que Ténergie potentielle d'un système de conducs électrisés est égale à la demi-somme des produits de la rge de chaque conducteur par son potentiel. Les charges surfaces en regard dé deux cellules contiguës sont égales e signes contraires ; par suite, si ^^ et ^^ ^^^^ ^^^ potentiels îes cellules, le terme fourni à l'énergie potentielle par ces
charges est
^ D'ailleurs si G est la capacité du condensateur formé par les surfaces considérées, on a
et le terme précédent devient
En développant Ai|/ par rapport aux puissances croissantes de ùiXj Ay, A^y et en négligeant les puissances de ces quantités supérieures à la première, nous obtenons
Considérons donc un élément de volume </t assez petit pour que nous puissions admettre que les dérivées partielles de ^ ont la môme valeur en tout point de cet élément, mais assez grand toutefois pour contenir un très grand nombre de cellules, et par conséquent, un très grand nombre de petits condensateurs.
L'énergie potentielle cW de cet élément, sera la somme des énergies potentielles des divers petits condensateurs qui y sont contenus, on aura donc :
74 ÉLECTRICrre ET OPTIQUE
Mais nous avons fait remarquer & propos des phénomènes calorifiques que dans le cas d'un milieu isotrope, les sommes
]^GAa7Ay, ^GLy^z, ^C^z^œ sont nulles. Nous avons posé
dx dt dx
Par conséquent, nous aurons pour Ténergie potentielle de l'élément 6?t,
^=f'[(iy+(i)'+(f)'}
Si 'nous remplaçons dans cette expression les dérivées partielles par leurs valeurs tirées de la relation (8) du n* 69,
et des relations analogues qui contiennent g et h, et si nous
donnons à A la valeur j- que nous avons été conduits à lui
attribuer pour faire concorder la théorie des cellules et de celle de Maxwell, nous obtenons
dVf=^{f^+g^ + h^)dr.
L'énergie potentielle du volume fini sera donnée par Tintégrale
w= / ~(/« + ^^ + ^')rf^.
THÉORfE DES DIÉLECTWOUES DE POISSON 75
Cette expression est identique à celle que nous avons déduite (82) de la théorie de Maxwell et, comme dans cette dernière théorie, l'énergie potentielle d*un système électrisé se trouve dans le milieu diélectrique qui sépare les conducteurs.
72. Remarque, — Dans les calculs précédents , nous avons admis qu'en chaque point du diélectrique , la force électrique ne dépend que de Tétat électrostatique du système électrisé. S'il en était autrement, si, par exemple, outre la force électromotrice due aux actions électrostatiques, s'exerçait une force électromotrice d'induction, les formules auxquelles nous sommes parvenus devraient être modifiées.
En particulier, la composante /* du déplacement ne serait plus donnée par la formule
mais par la formule
47C \dx )
où X désigne la composante suivant l'axe des œ de la force électromotrice d'induction.
Pour le montrer cherchons ia variation Ai|/ du potentiel quand on passe du centre de gravité 6| d'une cellule au centre de gravité G^ d'une cellule contiguë. Elle est égale à la variation brusque H qui se produit quand on traverse la paroi isolante augmentée du travail qu'il faut effectuer à rencontre des forces d'induction pour faire passer l'unité d'électricité positive de G| à Gj. Si donc — X, — Y, — Z sont les composantes de la force électromotrice d'induction quand on
passe de G| à 6,, on a pour Ai|/.
A^ = H + X^x 4- YAy + Z^z.
La charge électrique q d'un de nos petits condensateurs sera égale au produit de la capacité de ce condensateur, par la différence de potentiel H de ses deux armatures; il viendra donc:
î = — CH = — CA^ -}-C (XAo?-}- YAy + ZLz) et, au lieu d'avoir simplement
on aura
Dans toutes nos formules, il faudra donc remplacer
par
La formule
devient donc
dx dy dz
dûo ^ dy ^ dz
iit d^
''^'^Kdx
OU
dx-^ K ^•
73. Cas des corps anisotropes. — Il importe, pour pouvoir établir la théorie électromagnétique de la double réfraction de voir ce que deviennent ces formules dans les corps anisotropes.
Reprenons la formule (10) du n* 71. Si dans cette formule
on regardait -^j ;/ ®^ 7^ comme les coordonnées d'un point
dans l'espace et oTW comme une constante, on aurait Téquation d*un ellipsoïde.
Si l'on fait un changement d*axes de coordonnées, cet ellipsoïde fictif conservera la même forme, mais sa position par rapport aux axes variera.
Prenons donc pour axes de coordonnées les axes de cet ellipsoïde, son équation deviendra :
"^ "~ 2 \dic} ^ 2 \dy) ^ 2 \dz) ' et un aura :
\ dt dx dx
Reprenons la formule (5) de la théorie de Fourier (64). En vertu des équations (il) elle se réduira a
UNIVERsiTTj
78 ÉLBGTRiCrrÉ £T OPTIQUE
Or nous avons vu au n® 69 que pour passer de la théorie de Fourier à celle des échanges d'électricité qui ont lieu
encore y
entre nos cellules, il suffit de changer V en -^- Il vient donc
dtdx
et de même
dtdy cUdz »
La seule différence avec les équations (7), c'est que les coefficients de ^^' rf^' rfî^ ^® ^^^^ P'^* égaux entre eux.
On en déduit :
' dx ^ dx
dy iîr dy
dz \-K dx
en posant
S'il existe des forces électromotrices d'induction dont les composantes soient X, Y et Z, ces formules deviennent :
On trouve d'ailleurs :
et
=/''w=y2.rfKê+ë+ê>
74. Discussion. — La théorie des cellules ne peut pas plus 9lre adoptée définitivement que celle du fluide inducteur. Cette constitution hétérogène parait difficile à admettre pour les diélectriques liquides ou gazeux et surtout pour le vide inlerplanétaire. J'ai tenu néanmoins à exposer ces deux théories : elles seraient incompatibles si on les regardait comme exprimant la réalité objective, elles seront toutes deux utiles si on les considère comme provisoires. Si je m'étais borné à développer l'une d'elles, j*aurais laissé croire (ce que croient bien des personnes, mais ce qui me semble faux) que Maxwell regardait le déplacement électrique comme le véritable déplacement d'une véritable matière.
Le fond de sa pensée est bien différent comme nous le verrons plus loin.
