Action d'un pôle sur un élément de courant

Puisque dans la théorie de Maxwell tout courant est un courant fermé, l'assimilation d'un courant fermé à un feuillet magnétique permet de déterminer l'action exercée par un isystème quelconque de courants sur un système d'aimants. Par l'application du principe de l'égalité de l'action et de la réaction on en déduit immédiatement l'action qu'exerce un système d'aimants sur un système de courants. Le problème de la détermination des actions réciproques qui ont lieu entre les courants et les aimants se trouve donc complètement résolu. Mais nous pouvons envisager l'action exercée par un pôle d'aimant sur un courant fermé comme la résultante des actions exercées par le pôle sur les différents éléments du circuit parcouru par le courant. Nous sommes donc conduits à chercher Texpression de ces actions élémentaires.

120. Considérons le système formé par un pôle d'aimant égal à l'unité et un circuit parcouru par un courant d'intensité i. Si f est l'angle solide sous lequel le circuit est vu du point P où se trouve placé le pôle, les composantes de la force qu'exerce le courant sur ce pôle sont

d<f d^ dj

dœ dy dz

Les composantes de la force exercée par le pôle sur le courant étant égales et de signes contraires à ces quantités, le travail

ÉLBGTR0MA6NÉT1SME

de celte force pour un déplacement infiniment petit du circoit sera c^, c'est-à-dire la variation de l'angle solide sous lequel le circuit est vu du point P.

Cela posé prenons un circuit AHB dont un élément AB {fig, 25) peut se mouvoir suivant sa propre direction. Si nous donnons à AB un déplacement suivant cette direction Tangle solide sous lequel le circuit est vu du point P ne varie pas. Le travail de la force électromagnétique dans ce déplacement est donc nul et par suite cette force n*a pas de composante suivant AB : t action élémentaire est nor^ maie à Vêlement,

121. Pour avoir l'expression de cette force et déterminer complètement sa direction, évaluons de deux manières différentes le travail qu'elle accomplit quand l'élément AB du circuit AMB {fig, 26) passe de la position AB à la position AB'. Il faut supposer qu'il y a un fil métallique, dirigé suivant BB' et son prolongement, et sur laquelle la partie mobile AB du circuit glisse en s'appuyant constamment.

Ce travail est égal à l'angle solide dt^ sous lequel le triangle ABB' est. vu du pôle P. Les dimensions de ce triangle étant infiniment petites par rapport aux longueurs des droites PA, PB, PB',nous pouvons regarder ces droites comme égales

Fig. 2«.'

entre elles ; autrement dit nous pouvons confondre la surface du triangle avec la surface découpée dans la sphère de rayon PA = r par Tangle trièdre P. La surface du triangle ABB' est donc rf«pH et le volume du tétraèdre PABB' est

Mais on peut évaluer le volume de ce tétraèdre d'une autre manière en prenant pour base le triangle FAB. Si nous désignons par F Tangle BPA sous lequel Télément de courant est vu du point F et par h la projection de BB' sur une normale au plan PABnous avons pour le volume du tétraèdre

et en égalant les deux expressions trouvées par ce volume,

Tel est le travail de la force f qui s'exerce sur Télément AB. Nous en aurons une autre expression en écrivant qu'il est égal au produit de la force par la projection sur la direction de la force du chemin parcouru par le point d'application. Si nous admettons que la force est appliquée au milieu C de l'élément, le chemin décrit par le point d'application est CC',qui est la moitié de BB'. En appelant h' la projection de BB* sur la direction de la force f, le travail de cette force est

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et puisqu*il est déjà donné par la relation (1) nou8 avons

p Celte égalité est satisfaite si h =A' et si ^= - ; mais h=i h'

exprime que la force est normale au plan PAB. Par conséquent la force exercée par un pôle cC aimant sur un élément de courant est normale au plan passant par le pôle et par Vêtement. Sa valeur pour un pôle magnétique de masse m et pour une intensité i du courant traversant Télément est

f^Vlil.

Comme Tangue P dépend de r et varie en raison inverse de cette quantité, l'action élémentaire/* varie en raison inverse du carré de la distance du pôle à Téiément.