Pour transformer l'expression (1), écrivons les lois
d*Ohin pour chacun des circuits en observant que, puisqu'il y a déplacement des circuits il y a production de forces électromotrices d*induction ; nous avons
E, + |(Ai,+Bi,) = R,.-„ et
En multipliant les deux membres de ces relations respectivement par i^dt et i^cU^ nous obtenons
E^i^dt — R^i^dt = — i^d (At\ + Bt,), et
E^i^dt — B,t|rf/ = — i^d (Bt^ -|- Ci^.
Si nous remplaçons les quatre premiers termes de l'expression [î) parla somme des seconds membres des relations précédentes, nous avons
(2) '-'ùd{\t^+Bii)^i^d{Bi\+Ct^)--^[i^^d^^
Dans le cas où il n'y aurait ni déplacement ni déformation des circuits cette expression se réduirait à
ou
Ai^di^ — Bi^di^ — Bi^di^ — Ci^di^
elle serait donc la différentielle exacte de la quantité (3) -|(Ai7+2BiV, + Ctî).
Qnand il y a déplacement des circuits la différentielle de cette quantité est
et pour que Texpression (2) reste la différentielle de la même quantité (3) il faut qu'il y ait identité entre cette différentielle et le développement de l'expression (2) qui est
— ki^di^ — Bt\di^ — B^2d^^ — Ci^di^ — i}dk — St^tjcffi — tJ^C
L'identification donne les relations
|rfA = rfA+|rfL,
rfB = 2rfB -f dily
|rfC = rfC + |rfN,
qui se réduisent à
dA = — rfL dB = — rfM c«3 = — rfN
d'où l'on tire en intégrant et en supposant nulle laconstante d'intégration
Ainsi les coefficients qui entrent dans l'expression des forces électromotrices d'induction sont, au signe près, les coefficients L, M, N de l'expression du potentiel électrodynamique du 8}rstème de courants. Aussi appelle-t-on souvent coeffi-
168 ÉLKXTRICrrÉ ET OPTIQUE
cienis d*induction ces derniers ; L el N sont des coefficients dé self-induction et M le coefficient dinduction mutuelle des deux courants.
151. Théorie de Max'well. — La théorie de Tinduction sous la forme que nous venons de lui donner, a été développée pour la première fois par Helmholtz dans son mémoire sur la Conservation de la force et peu de temps après par sir W. Thomson ; celle de Maxwell est différente et pluR complète à bien des égards. On peut en effet, par Tapplication des ^nations de Lagrange à Tétude du mouvement des molécules du fluide impondérable que Maxwell suppose présider à la manifestation des phénomènes électriques, retrouver les lois de rinduction et celle de l'Électrodynamique.
152. Dans les chapitres qui précèdent, nous avons été amenés à conclure que les hypothèses faites par le savant anglais n'étaient que provisoires, et que, tout en nous satisfaisant mieux que Thypothèse des deux fluides, elles n'avaient pas, même aux yeux de leur auteur, plus de réalité objective. Au contraire notis touchons ici, à ce que Je crois, à la vraie pensée, de Maxwell,
Au début de sa théorie, Maxwell fait les deux hjrpothèses suivantes :
1® Les coordonnées des molécules du fluide impondérable dépendent des coordonnées des molécules matérielles des corps soumis aux phénomènes électriques et aussi des coordonnées des molécules des fluides hypothétiques (électricité positive et électricité négative) de la théorie ordinaire de rÉIectricité ; mais nous ignorons complètement la loi de cette dépendance ;
2** IjC potentiel électrodynamique d'un système de courants n'est autre que la demi-force vive du fluide de Maxwell; c'est donc de l'énergie kinétique.
1S3« Pour introduire dans les équations de Lagrange. les paramètres qui définissent la position d'une molécule du fluide de Maxwell il faut, par suite de la pren ière hypothèse, connaître les paramètres qui définissent la position d'une molécule de nos fluides hypothétiques. Or la position d'une molécule d'électricité A qui parcourt un circuit linéaire G est parfaitement déterminée si on connaît d'une part, la position du circuit dans l'espace, et d'autre part, la longueur* de l'arc OA. compté à partir d'une origine déterminée 0. Par conséquent si x^J a?2, â?,,... sont les paramètres qui définissent la position des molécules matérielles qui constituent le circuit, la position d'une molécule du fluide im(!>ORdé]^ahle de Maxwell dépend des paramètres s, x^^ œ^^ a?,.
Mais, au lieu de s on peut prendre une fonction de cet arc 6ar la connaissance de cette fonction permettrait de détermi-' ner * et par suite la position d'une molécule d'électririté siir le circuit G ; Maxwell prend la quantité
idt
(|ui est, ainsi que nous allons le démontrer, une fonction de 5.
En efiet la section du conducteur, qui peut être variable d'un point à un autre, est une fonction <p {s) de l'arc s; la vitesse de l'électricité, quotient de l'intensité par la section du
conducteur est alors —rr et comme cette vitesse a aussi pour
valeur —? nous devons avoir at
d'où nous tirons,
et
fidt=f^[s)ds = ^{s)
9^ étant la position de la molécule d'électricité à Torigine des temps. Par conséquent, y est une fonction de 9 seulement et nous pouvons prendre pour les paramètres dont dépend la position d'une molécule du fluide impondérable de Maxwell les quantités y, œ^^ œ^y... x^.
154. Application au cas de deux drouits. — Si nous désignons par i^ et i^ les intensités des courants qui traversent ces circuits et si nous posons
^Ùdt, et y, = fi^dù
la position d'une molécule du fluide impondérable de Maxwell dépendra des paramètres y^ et y^ et des n paramètres œ^^ a?,» ofn qui déBnissent la' position des molécules matérielles des conducteurs. Par conséquent le mouvement du système formé par les deux courants sera donné par un système de n -f- ^ équations de Lagrange
d dT dT r.
didql dqt'^^^'
OÙ Çi est un quelconque des pai'amètres et Qt le coefficient de 0^/ dans l'expression
du travail correspondant à un déplacement virtuel du système.
155. L'énergie kinétique T qui entre dans ces équations est la somme de la demi-force vive T^ des molécules matérielles du système et de Ténergie kinétique des molécules du fluide impondérable de Maxwell. Cette dernière étant, d'après la seconde hypothèse, le potentiel électrodynamique du système par rapport à lui-même, nous avons dans le cas considéré où deux courants seulement sont en présence,
T=T,+|(UÎ+2M.V, + N,-|).
Le premier terme T^ de cette somme ne dépend que des dérivées œ^f œ^.,.f Xn des paramètres o^^, œ^,,. â?», des molécules matérielles.
La position des molécules du fluide impondérable dépendant des paramètres y^, y^» ^o ^2*** ^n Tensenlble des trois derniers termes de la somme précédente pourrait dépendre de ces n -|- 2 paramètres et de leurs dérivées. Mais L, M, N, ne dépendant que de la forme et de la position relative des circuits, sont des fonctions de a?,, â?2...â7A seulement ; de plus t^ et i^ sont, d'après les intégrales qui définissent t/i et y,, les dérivées t/l eiyi de ces quantités par rapport au temps. Par conséquent l'énergie kinétique des molécules du
fluide impondérable dépend uniquement de a?|, a?^... a:„ et de yi etyi.
156. Occupons-nous maintenant du sçcond .membre des équations. Si nous supposons le courant qui parcourt le circuit G, entretenu par une pile de force électromotrice E|, Ja quantité d'énergie voltaïque qu'elle fournit pendant le temps rf^est E^^^df• ou E,8y|. Or dans les idées de Maxwell la force électromotrice est une force qui agit sur les molécules du fluide impondérable ; par suite E^8y| est un travail résultant du déplacement des molécules de ce fluide.
Mais la force électromotrice de la pile n*est pas la seule force qui agit sur les molécules du fluide impondérable ; il faut encore tenir compte de la résistance qu'oppose le milieu au mouvement de ces molécules et dont le travail se retrouve sous forme de cbaleur dans le conducteur. La quantité de chaleur ainsi produite étant, d'après la loi de Joule, R^i}dt, le travail acccompli par le fluide impondérable est — R^iJcU^ ou — R^t^Sy^.
" Nous avons donc pour le travail du fluide impondérable dans le circuit C^ '
et pour Tensenible des deux circuit
(E, - R,t,) Zy, + (E, - Rata) Sy,.
. Quant au travail des molécules matérielles, il ne dépend que des paramètres a?^, a?2, ... a?;» ; nous le représenterons par
de sorte que nous aurons pour le travail accompli dans un
déplacement virtuel tant par les molécules du fluide impondérable que par les molécules matérielles
et il nous faudra, dans chacune des équations de Lagrange, prendre pour second membre le coefficient de l'expression précédente qui se rapporte au paramètre* considéré.
