Expression des forces électrodynamiques

Si nous désignons par Xo^t, Yg?t, Zât les composantes de la force électrodynamique due à Faction du courant G^ sur un élément a?, y, z du circuit C|, le travail de ces forces quand Télément se déplace de S.'o, 8y, tz sera

{XZœ+Yht/'{'ZZz)dT;

par suite le travail des forces électrodynamiques qui agissent sur Gf sera, quand le circuit tout entier se déplace ou se déforme,

y^T (XSa; -t- Y8y + ZSj'},

l'intégration étant prise le long du circuit G|. En égalant cette expression du travail à celle que nous avons trouvée précédemment nous obtenons la relation

(1) Jdr {XZx + Y8y + ZZz) = i^tfila -f- m6 -f- ne) cUa,

dont nous allons évaluer le second membre.

Soient G^ (Jîg, 32) la position initiale du circuit G^ et Gj sa position anale. Nous pouvons par ces deux positions faire passer une surface A et prendre pour champ d'intégration de

/ (te 4" ^f^ + wc) rfto),

Fig. 32.

Taire limitée sur cette surface par la courbe G^. La variation de cette intégrale quand le circuit passe de G^ en G4 est alors la valeur de cette même intégrale

étendue à Faire comprise entre les deux courbe». Pour trouver cette valeur considérons un élément mn du courant G^ dont la position après le déplacement est m'n\ La figure mn mfn peut être considérée comme un parallélogramme dont le côté mn a pour projections dœ^ dy^ dz et le côté mm\ égal au déplacement, looy Zt/, Zz; nous avons donc pour les aires des projections de ce parallélogramme sur les plans de coordonnées

IcUù = lydz — Izdy^

mdiù = Izdœ — Ixdz^

ndiù = Zœdy — hydzj

et, par conséquent,

8 Ç{la'\-mb-\-nc)diûz=zCa(^ydz — lzdy)'\-h{^zdœ'-lxdz)

-f- c [lœdy — lydx En portant cette valeur dans Tégalité (i) il veut,

r^T (XSâ?+ Y8y +Zaz)=i4 Acdy — Wz) lX'{'{adz—cdx)Zy

{hdx — ady"^ Iz ; ce qui nous donne en identifiant

\dx = i^ {cdy — hdz\ Ycfc == i| {adz — cdx)y Zdt = i^ {bdœ — ady).

Mais on sait que

tult = ï^dœ, vdx = i^dyJ todr = t^dzj

par conséquent, les trois équations précédentes peuvent

ÉLICTRICITÉ BT OPTIQUB. 12

ÉLECTRICITÉ RT OPTIC

&'écrir©

X=zcv — bto

Y = ato — eu

( Z = 6u — av.

161. Cas d'un nombre quelconque de courant. — Forces électrodjrnamiques. — Les formules précédentes 8*appliquent au cas où un nombre quelconque de courants Gj^G,..., Git, agissent sur l'élément considéré du circuit G^. En effet, appelons a|, 63, c,, a,, 63. .., c« les composantes de l'induction magnétique duc aux divers courants au point où se trouve l'élément de G^. La force électrodynamique produite par l'ensemble des courants est la résultante des forces produites par cHacun d'eux ; sa composante suivant Taxe des x est donc

Z = Cjt? — bju) + c,t? — b^w -f- ... + Ci»t? — bnfjo^ ou

X = (C3 + C3 + ... + c«) r — (ôj + 6, -f ... + b^) u>

ou, eoQn, en désignant par a, b, c les composantes suivant les trois axes de la résultant^ des inducti,ons magnétiques dues aux courants G^, G3... G^

X = cv — bu>.

On peut également tenir compte de la force électrodynamique due au courant C4 lui-même. Pour cela décomposons ce courant en deux portions, Tune ne comprenant que l'élément considéré, l'autre, le reste du circuit. On peut négliger l'action de la première portion sur elle-même et on est alors

ramené à la recherche de la force électrodynamique due à l'ensemble de n courants c^, c^, c,... c^. Si donc on appelle a, àf c les composantes de Tinduction magnétique due à tous ces courants on a encore pour la composante suivant Taxe desx

X = c» — bto.

Les formules (â) sont donc générales.

162. Foroes électromotrioes d'induction. — Nous avons trouvé que, lorsqu'il n'y a qu'un seul courant Cj placé en présence du courant Gp la force électromotrice totale d'induction développée dans le circuit C| est

Le terme —^ ne dépendant que de l'action du courant C| sur lui* même, la force électromotrice d'induction due seulement au courant C^ est donnée par —rf^ dérivée que nous allons mettre sous une autre forme.

La variation BMt^ de la quantité M^, quand le circuit C4 se déplace et que les intensités des courants varient, peut être considérée comme la somme de la variation résultant du déplacement, les intensités restant constantes et de la variation due au changement des intensités dans les circuits supposés fixes. Or nous avons démontré (157) que la variation de Ui^^\ due au déplacement relatif des deux circuits dans lesquels les intensités conservent les mêmes valeurs, est

SMi^ij^rii Ça{^ydz^lzdy)'\-h{T^zdas--'lxds)^c{lxdy'-'lydœ) ;

180 ÉLECTRICITÉ BT OPTIQUE

par conséquent, nous aurons pour la variation correspondente de Mt,, l'intégrale du second membre.

Pour avoir la variation de Mt^ résultant du changement des intensités prenons M^^^ sous la forme

MtVa = i^jYdx + Gdy + ndz.

Puisque les circuits ne se déforment ni ne se déplacent, le contour dlntégration reste le même et la variation deMi) se réduit à

JlFâx-^-lOdy + mâz.

Nous aurons donc pour la variation totale de Hz,

Ja {Zydz — Zzdp) -f b {^dœ — Zxdz) -f- c [Ixdy — lydz]

+ JzFdx^lGdy -f- IRdx

et par suite, pour la force électromotrice d*induction

^^^='-fa{y'dz—z'dy)'{'b{z'dw^z'dz)+c{x'dy-'y'dw)

dl

ou encore

163. Si nous désignons par P, Q, R les composantes suivant les trois axes de la force électromotrice d*induction par unité de longueur, la force électromotrice dans le circuit G| est donnée par l'intégrale

En identifiant avec Texpression précédente de la force électromotrice noua obtiendrons trois relations dont la première est

fvdx=j{cy'-bz'-^)dco.

Nous en tirons par différentiation

mais il est évident que nous pouvons ajouter au second membre de cette dernière relation la dérivée partielle — -^ d'une

fonction uniforme — ij/, car, en intégrant, l'intégrale relative à ce terme sera nulle et la relation (1) sera encore satisfaite. Nous avons donc pour les composantes de la force électromotrice d'induction par unité de longueur

= c^jy^^

dt dœ

Q = az' — caf ~-T- — -fdt dy

R. , „,. rfH d^

164. Montrons maintenant qae ces éqaations sont encore applicables au cas où un nombre quelconque de courants G,, G,,... Cj» sont en présence du courant G |.

La force électromotrice dlnduction développée dans G 4 par Tensemble des n — 1 autres courants est égale à la somme des forces électromotrices développées par chacun d'eux ; on a donc pour la composante P,

ou

Or ^cet^ b sont les composantes suivant deux des axes de

l'induction magnétique au point considéré sur G^ ; Vp est la

composante du moment électromagnétique au mémo point;

quant à ^4^ ^'^^^ ^^^ fonction uniforme des coordonnées. Par

conséquent la première des équations du groupe (2) s'applique au cas d'un nombre quelconque de courants pourvu que l'on prenne pour b, c, et F les valeurs de ces quantitée dues à l'ensemble des courants agissants. On verrait de la même manière que les deux autres équations sont également applicables.

165. On ' peot ausgi tenir compte de Faction du courant Ci sur lui-^inéme. En effet nous pouvons considérer le ' circuit G| comme fbtmé de deux portions, l*uné se^ réduisant à rélément de circuit pour lequel on cherche les composantes de la force électromotrice, l'autre comprenant le reste du circuit. Cette dernière portion peut être confondue avec le circuit C| lui-même, de sorte que si Ton néglige Tinduction de rélément sur lui-même l'induction provient des n circuits C| Cjv C». Les composantes de la force électromotrice seront donc données par les formules (2) où a, b, c, F, G, H seront les valeurs dues à tous les courants.

166. Signifloation de 4/« — La fonction ^ est une fonction quelconque des coordonnées assujettie à la seule condition d^étre uniforme. Maxwell admet que c'est le potentiel électrostatique résultant des masses électriques qui peuvent exister dans le champ.

Cette hypothèse aurait besoin d*étre vérifiée expérimentalement par la concordance entre les valeurs mesurées des forces électromotrices d'induction et les valeurs fournies par les équations (â) où ^ s^ait donnée par l'expérience et les quantités a, *, c F, G, H par les formules

ô = p + 47cB,

et

'= f— ' *^= Tt^ ^= f^'

Toutefois il est toujours permis de prendre pour ^ le potentiel électrostatique car les quantités F, G, H n'ont pu être déterminées qu*en les supposant liées par Téquation différentielle

et nous sommes libres d'abandonner cette hypothèse. Si nous n'avions pas introduit cette, hypothèse nous aurions trouvé pour F, G, R des valeurs de la forme

^ dx

X étant une fonction arbitraire des coordonnées et pour les composantes P, Q, R de la force électromotrice par unité de longueur

^ M dt r dxdt dx

- , , {dvdt d*/ M

I dt r dydi dy

^ I dt r dzdt dz

Il est donc toujours possible, en choisissant convenablement la fonction arbitraire -^ de faire en sorte que la fonction ^ qui entre dans ces équations et les équations (2) représente le potentiel électrostatique.