UNIVERSITY

propriétés, la lumière doit être considérée comme un phénomène électromagnétique et le mouvement vibratoire qui produit, sur notre rétine, Timpression d'une intensité lumineuse doit résulter de perturbations périodiques du champ magnétique. S'il en est ainsi, des équations générales de ce champ doit pouvoir se déduire Texplication des phénomènes lumineux. C'est à cette explication qu'on a donné le nom de Théorie électromagnétique de la lumière.

Cette théorie conduit nécessairement à des relations entre les valeurs des constantes optiques et des constantes électriques d'un même corps. Si ces relations se trouvent satisfaites numériquement par les données de Texpérience, elles constitueront autant de vérifications, indirectes mais néanmoins très probantes, de la théorie. L'une des meilleures vérifications de ce genre est l'accord satisfaisant que l'on constate entre les valeurs trouvées par Foucault, Fizeau et M. Cornu pour la vitesse de propagation de la lumière et celle qu'on déduit de la théorie électromagnétique. Cherchons donc la formule qui exprime cette vitesse en fonction des constantes électriques mesurables du milieu où s'eflectue la propagation.

177» Équations de la propagation d'une perturbation magnétique dans un diélectrique. — Tous les corps transparents étant des isolants plus ou moins parfaits, si toutefois on excepte les solutions électroly tiques, bornons d'abord notre étude à la considération des diélectriques. De plus admettons que les molécules matérieUes du milieu qui propage les perturbations magnétiques sont en repos.

Par suite de cette dernière hypothèse les composantes œ\ y\ z\ de la vitesse d'un point matériel sont nulles et les

THÉORIE ÉLBGTR0MA6NÉTIQUB DR lA LUMIÈRE i95

équations (V) du § 167 se réduisent aux suivantes :

cU dœ

n dQ d^

"^ "" dt dx

Le potentiel électrostatique '^ étant dû à des masses électriques ne varianl ni en grandeur, ni en position, cette quantité et ses dérivées partielles par rapport kœ, y, z sont indépendantes du temps; par conséquent en dérivant les équations précédentes par rapport à <, nous obtenons

La pertuii)atioa magnétique étant supposée s'effectuer dans un milieu diélectrique, les composantes u, v, to de la vitesse de l'électricité sont liées aux compensantes de la force électromotrice par les équations (VIII) d*où nous pouvons tirer les dérivées de P, Q, R par raj^ort à t. En portant les valeurs de ces dérivées dans les équations précédentes nous avons

dP dt

dt~

dfi'

rfR

dt~

dt*

Pour avoir les équations différentielles qui donnent F, G, H en fonction du temps, il nous faut exprimer u, v, to en fonction de F, G, H et des dérivées de ces quantités. Pour cela adressons-nous aux groupes d'équations (I), (II) et (lll).

Les équations (1) et (III) nous donnent

dn dG ^"-'-^Ty^di'

, rfF e/H ^'^~dcc dy

Au moyen de ces équations calculons les dérivées de a, p, y, par rapport à a;, y, ^ et portons les valeurs ainsi trouvées dans les équations (II); nous obtenons

di ^\M = — —, AH,

J désignant la somme des dérivées partielles :

j ç^ rfG rfH

dœ'^ dy ~^ dz

L'élimination de u, v, %o entre ces dernières équations et les équations (2) nous conduit aux équations différentielles

cherchées

-, cPF ^„ rfj

(A) i K,^ = AGV-|,

Soas cette forme, ces équations sont semblables à celles du mouvement d'une molécule d*un milieu élastique (^) et par conséquent à celles du mouvement d'une molécule d'éther ; c'est une première confirmation de l'hypothèse s^r la nature électromagnétique des vibrations lumineuses.

178. Ces équations élant linéaires et à coefficients constants, les dérivées par rapport h une variable quelconque des fonctions F, G, H qui y satisfont, sont aussi des solutions de ces équations ; en outre, il. en est encore de môme combinaison linéaire de ces dérivées. Par conséquent les composantes a, ^, e de Tinduction magnétique, liées aux composantes du moment électromagnétique par les relations (III) satisfont aux équations (A). D'ailleurs dans ce cas ces dernières se simplifient car la quantité J est alors

da i ^^ i de

dœ"^ dt/' dz

et nous savons que cette somme de dérivées partielles est (1) Voir Théorie malhémcUique de la lumière, p. 42, ,

nulle (102) . Nous avons donc

Quant aux composantes a, p, y de la force magnétique elles doivent également satisfaire aux équations (A) puisqu'elles ne diffèrent de a, b, c que par un facteur constant ; la somme J des dérivées partielles subsiste alors dans les équations.

Enfin les composantes u, v, ta de la vitesse du déplacement étant des fonctions linéaires et homogènes des dérivées de a, p. Y, sont aussi des solutions des équations (A). L'hypothèse de rincompressibUité de Félectricité étant exprimée par la condition

J disparaît des équations.

179. D'ailleurs si comme le suppose Maxwell (188), les composantes F, 6, H du moment électromagnétique satisfont à l'identité

les équations (A) et celles qui donnent les composantes de la force magnétique ne contiennent pas J. Mais l'abandon de cette hypothèse ne modifie en rien les résultats auxquels conduit la théorie électromagnétique de la lumière car J

disparait lorsqu'on suppose périodiques les perturbations du champ magnétique.

En effet dérivons les équations (A) par rapport à œ, y, z^ et additionnons; nous obtenons après simplification

J doit donc être une fonction linéaire du temps, ou une constante, ou zéro ; il en est de môme pour les dérivées de J par rapporta a?, y, x. Or, si F, G, H sont des fonctions périodiques du temps, J et ces dérivées sont également des fonctions périodiques ; par suite ces quantités ne peuvent être ni des fonctions du premier degré en f, ni des constantes; elles sont donc nulles.

180. Cas des ondes planes* — Supposons que les phénomènes électromagnétiques qui ont lieu dans le diélectrique ne dépendent que du temps et de la coordonnée z du point considéré. Dans ce cas ces phénomènes sont, au même instant, identiques pour tous les points d*un plan parallèle au plan des ayy; on dit alors que les perturbations magnétiques forment des ondAs planes.

Les composantes F, G, H du moment électromagnétique ne dépendant pas deœ, ni de y, les dérivées de ces quantités par rapport kœ et à y sont nulles et les équations (A) se réduisent à

cP¥ dz^

^^\dfl =

^^'dF-d?\

Cette dernière équation montre que dans le cas où les per* turbations sont périodiques la composante H est nulle. Par conséquent le moment électromagnétique est situé dans le plan de Tonde. Il en est de même des au très quantités, vitesse de Télectricité, force électromagnétique, etc., dont les composantes satisfont h des équations semblables aux équations (B). On peut donc dire que, comme les vibrations de l'éther dans la théorie ordinaire de la lumière, les perturbations électromagnétiques périodiques sont tranversales,

181. Vitesse de propagation d'une onde plane périodique. — Si nous posons

les deux premières des équations (B) deviennent

cPG ^, d^G

dt^ "" dz^'

Sous cette forme, ces équations sont identiques à celles qui donnent les composantes du déplacement d'une molécule d*un milieu élastique dans le cas d'un mouvement par ondes planes transversales. Nous pouvons donc considérer les perturbations électromagnétiques comme se propageant avec

une vitesse égale à -7=-