W = GP + 1- -TT

nou8 obtenons :

Mais les groupes d'équations (I), (II), (III) du § 167 nous donnent :

cfy dz \s,\ dy^ dz^J

ou, puisque, par suite du choix des axes de coordonnées, F ne dépend pas de y

nous avons donc en éliminant u entre l'équation (i) et cette dernière

d^F d^¥ dP

Cette équation est satisfaite par une fonction périodique du temps de la forme

pourvu que les coefiQcients n et m satisfassent à la relation

Mais n ayant pour valeur -==■> T désignant la période de la

fonction, cette quantité est réelle; par suite m* est une quantité essentiellement imaginaire. Il en est de même de m et

nous pouvons poser

m =z q — pi. . .

En portant cette valeur de m dans Tégalité précédente et en écrivant qu'il y a égalité entre les parties réelles et les parties imaginaires nous obtenons les deux conditions

La fonction périodique satisfaisant à l'équation (2) peut alors s'écrire

dont la partie réelle, la seule qui nous intéresse au point de vue des conséquences expériinentales, est :

P = erP* cos {nt — qz).

199. Si l'on fait abstraction des variations de P résultant du facteur cos {nt — qz\ cette expression nous montre que la valeur du moment électromagnétique varie comme Texponentielie erP*. Or d'après la seconde des équations de condition (3), peiq sont de même signe ; par suite, si la direction de propagation de l'onde plane considérée est celle des z positifé, p et ^ sont positif et er-p* décroît quand z augmente. La valeur du moment électromagnétique diminue donc à mesure que l'onde pénètre plus profondément dans le milieu considéré.

Il en est de même pour le déplacement électrique et la force électromagnétique puisque les valeurs de ces quantités

se déduisent de celles du moment électrom^agnétique par une suite d*équations différentielles linéaires et du premier ordre qui laissent subsister dans leurs expressions le facteur erP^.

Il en est encore ainsi pour la vitesse de déplacement d*une molécule d'éther luminifère puisque nous avons vu (189) que celte vitesse est proportionnelle à la force électromagnétique.

Par conséquent, lorsque les perturbations magnétiques seront assez rapides pour donner lieu aux phénomènes lumineux, Tintensité de la lumière, proportionnelle au carré de la vitesse moyenne d'une molécule d'élher, devra varier comme er^P^.

200. Dans le cas où la substance considérée possède un pouvoir inducteur spécifique très faible et une perméabilité magnétique voisine de i. la valeur de p, déduite des équations (3) montre que celle quanlilé est sensiblement proportionnelle à la racine carrée de C. Il résulte donc de ce qui précède que rinlensité de la lumière transmise par un tel milieu est d'autant plus faible que C est plus grand; en d'autres termes, plus un corps est conducteur pour l'électricité, plus il est opaque pour la lumière.

n y a un grand nombre d'exceptions à cette règle. Toutefois, d'une manière générale, les corps solides transparents sont de bons isolants tandis que les corps solides conducteurs sont très opaques. En outre, il résulte des recherches de M. J. Curie (^) sur les diélectriques que la liste de ces corps rangés par ordre de conductibilité croissante est presque identique à celle de ces mêmes corps rangés par ordre de

0) LmMèf étMrique^ t. XXIX, p. 322 ; 1888.

diathermanéilé décroissante. Voici ces deux listes ; celle des pouvoirs diathermanes est déduite des travaux de Melloni.

CùndueiibiliU éleelrique Pouvoir dialhermanedieroi$9anl

croisianl du premier au dernier du premier au dernier

Soufre. Sel gemme.

Sel gemme. Soufre.

Fluorine. Fluorine.

Spath dislande. Spath d'Islande.

Quartz. Quartz.

Barytine. Verre.

Alun. Barytine.

Yerre. Tourmaline foncée.

Tourmaline foncée. Alun.

On pourrait encore citer Tébonitequi a été signalée comme se laissant facilement traverser par les radiations obscures.

201. Contrairement à la loi précédente les électrolytes sont bons conducteurs de Télectricité et généralement transparents. Maxwell explique ce fait en faisant observer que la conductibilité des électrolytes n'est pas de même nature que celle des métaux. Dans ceux-ci les molécules matérielles sont en repos; et Télectricité seule est en mouvement ; dans les électrolytes, au contraire, les ions se meuvent d'une électrode à l'autre et le transport de l'électricité s'effectue par les ions qui deviennent ainsi les convecieurs de l'électricité.

On peut en trouver une autre explication qui a été également donnée par Maxwell. L'énergie absorbée parle passage de l'onde à travers la substance doit se retrouver nécessairement sous une forme quelconque. Dans les métaux elle se

ÉLICTRIClTé ET OPTIQUE. 15

transforme en chaleur. Dans les électrolytes elle sert à effectuer la séparation des ions. Hais le sens du mouvement des ions dépend de celui du mouvement électrique ; par suite, Teffet produit par le passage d'une certaine quantité d'électricité dans un sens se trouve détruit par le passage d*une même quantité en sens inverse et une succession de courants alternatifs comme ceux qui résultent des perturbations capables de produire la lumière ne peut donner lieu à une décomposition. Il n'y a donc pas d'énergie absorbée et l'intensité lumineuse à la sortie d'un électrolyte doit être sensiblement égale à l'intensité de la lumière incidente.

202. Maxwell a fait quelques expériences pour vérifier quantitativement si l'intensité lumineuse décrott bien comme l'exponentielle e - ^p*. Il a opéré sur le platine, l'or, l'argent qui, réduits en lames très minces, laissent passer la lumière. Il semble résulter que la transparence de ces corps est beaucoup plus grande que ne le voudrait la théorie. Mais ce résultat s'explique facilement ; l'épaisseur des lames n'est pas uniforme et une forte proportion de la lumière transmise traverse une épaisseur beaucoup plus faible que la valeur de z prise dans le calcul de l'exponentielle.

SM>8. Réflexion des ondes. — Les lois de la réflexion de la lumière peuvent se déduire des équations du champ magnétique» Dans une note publiée dans la traduction française du traité de Maxwell (t. II, p. 507), M. Potier a montré qu'on retrouve ainsi les formules données par Fresnel pour la réflexion vitreuse et celles de Gauchy et Lamé pour la réflexion métallique. Ces formules ayant été vérifiées par l'expérience, leur déduction de la théorie de Maxwell est une

nouvelle confirmation de cette théorie. Cependant, les valeurs numériques des constantes, déterminées par les méthodes optique et électrique ne concordent pas ; le désaccord notable pour les diélectriques transparents est encore plus marqué pour les métaux. En particulier la réflexion de la lumière sur le fer devrait différer, d'après la théorie de Maxwell, de la réflexion sur les autres métaux puisque le coefficient de perméabilité magnétique du fer est environ 30 fois plus grand que celui de la plupart des métaux; or Texpérience n'a, jusqu'ici, révélé aucune particularité dans les lois de la réflexion sur le fer.

Cette divergence peut s'expliquer si l'on suppose que Tin* duction magnétique est un phénomène qui n'est pas instantané. Avec des vibrations extrêmement rapides, le phénomène n'aurait pas le temps de se produire.

On pourrait invoquer un argument à l'appui de cette manière de voir. Les expériences de M. Fizeau sur la vitesse de propagation de l'électricité à travers un fil ont prouvé que cette vitesse est plus faible dans le fer que dans le cuivre. Cela s^explique aisément: car gr&ce au phénomène de l'ai* mantation transversale qui se produit dans un fil de fer par* couru par un courant, la self-induction du fer est plus grande que celle du cuivre.

Au contraire, les expériences de Hertz donnent pour la vitesse dans le fer la même valeur que pour la vitesse dans le cuivre, comme si, dans ces alternances extrêmement rapides réalisées par l'illustre physicien de Carlsruhe, le fer n'avait pas le temps de se magnétiser par induction. « Auch Eisendrâhte machen keine Ausnahme von der aligemeinen Regel, die' Hagnetisirbarkeit des Ëisens kommt also bei so

2i8 ÉLEGTRICrrÉ ET OPTIQUE

schneUen Bewegungen nicht in Betracht (Hertz, Wiedemanh's Annalen, t. XXXIV, page 658).

204. Énergie de la radiation. — Dans les théories ordinaires des phénomènes lumineux, le milieu qui transmet la lumière renferme, de l'énergie sous forme d'énergie potentielle et sous forme d'énergie kinétique ; l'énergie potentielle est due à la déformation du milieu, supposé élastique ; l'énergie kinétique résulte de son mouvement vibratoire. L'énergie totale d'un élément de volume reste constante et par suite, quand l'énergie potentielle varie, l'énergie kinétique varie en sens inverse d'une quantité égale.

Dans la théorie électromagnétique, on suppose également que l'énergie du milieu est en partie potentielle, en partie kinétique. L'énergie potentielle, due aux actions électrostatiques, a pour expression (32).

l'énergie kinétique est le potentiel électrodynamique du système de courants développés dans le milieu, c'est-à-dire (144),

r-(aa + pô+Yc)rfT.

Cherchons les valeurs de ces deux quantités dans le cas d'une onde plane parallèle au plan deso^ et dans li^quelle le moment électromagnétique est dirigé parallèlement à Taxe

des œ. NouB avons alors, d'après le § 181,

G = H = o, Q = R = o, gz=h = 0,

a = Y = o, a = c = Oj

et les expressions des deux formes de l'énergie deviennent

Mais les équations (VII) et (III) du champ électromagnétique nous donnent

' k-K kn dt

^ dF

de sorte que nous avons pour les valeurs de Ténergie potentielle et de Ténergie kinétique rapportées à l'unité de volume

La fonction F, devant satisfaire à Téquation différentielle

est de la forme

où

nous avons donc

^=vfe'

f VA(.-V,),

et par conséquent

Les valeurs (1) et (2) des deux formes de l'énergie sont donc égales entre elles ; quand Tune d'elles varie, Tautre varie dans le même sens de la même quantité. Nécessairement, puisqu'il y a conservation de l'énergie dans le système tout entier, l'énergie perdue dans un élément de volume doit se retrouver dans un autre élément. Ces conséquences difièrent de celles des théories ordinaires de la lumière que nous avons rappelées en commençant.

205. Tensions et pressions dans le milieu qui transmet la lumière. — Nous avons vu (81) que dans un milieu diélectrique en équilibre contraint, un élément de surface perpendiculaire aux lignes de force subit une tension normale dont la valeur par unité de surface est égale au produit de

g- par le carré de la force électromotrice, tandis que sur les

éléments parallèles aux lignes de force s^exercent des pressions qui, rapportées à Tunité de surface, ont la même valeur que cette tension. Si donc nous prenons Taxe des œ parallèle aux lignes de force et si avec Mcucwell, nous convenons de représenter les pressions par des quantités négatives, nous anrons pour les valeurs des tensions et des pressions, par unité de surface, qui s'exercent sur des éléments perpendiculaires aux axes de coordonnées,

.^ pa p — ^ pa p — __ Stc*^' *^^^~" Stc*^' ^"-^ 87C

Mais, avec ce système d*axes, Ténergie électrostatique rapportée à Tunité de volume a pour valeur

par conséquent les tensions et pressions par unité de surface sur les éléments considérés sont égales à l'énergie électro* statique par unité de volume.

206. La loi des attractions et des répulsions étant la même pour les masses électriques et les masses magnétiques nous devons nous attendre à trouver des tensions et des pressions analogues aux précédentes dans le champ magnétique. Maxwell traite le cas général où il existe dans le champ des aimants et des courants. La méthode qu'il emploie est sujette à des objections. Mais il est inutile d'envisager le cas général puisque, d'après l'hypothèse d'Ampère, le magnétisme permanent s'explique par des courants partie ulaires. Nous pouvons donc supposer qu'il n'y a que des courants circulant

dans un milieu dont la perméabilité magnétique est égale àl ; nous y gagnerons en rigueur et en concision.

Considérons un élément de volume dx, et soient u, v, lo les composantes de la vitesse de Télectricité au point qu'il occupe. D'après notre hypothèse, Tlnduction magnétique en ce point se confond avec la force électromagnétique et les formules (2) du § 160, qui donnent les composantes delà force électrodynamique rapportées à Tunité de volume deviennent

X = Y» — Pw?, Y = au? — yUf

Z = pu — OLV,

Les composantes u, v, to de la vitesse de Téiectricité étant liées à celles delà force électromagnétique par les équations (II) (167) la première des équations précédentes peut s'écrire

OU, en ajoutant et retranchant au second membre le produit

dx'^ ^ dy ^ ^ dz dx ^ dx ^ dx

Mais, puisque la force électromagnétique est égale à Finduction magnétique, la relation qui lie les composantes de cette dernière quantité (102)

dœ^ dy'^ dz^^'

devient

nous pouvons donc ajouter le produit a (— -f* "^^ "h ^) au

second membre de la relation qui donne 47rX sans en changer la valeur, et nous avons

dœ"^ ^ dy"^^ dz dx ^ dx ^ dx

En rangeant convenablement les termes du second membre , on voit que Ton peut écrire

et de même

207. Supposons maintenant que les forces électrodynamiques soient dues à des pressions ou tensions résultant de l'élasticité du milieu et désignons les composantes des tensions par

^xxdiùy ^xydiùj Pxj<i(i), pour un élément normal à Taxe des a?, PyxC^o), Pyyrfio, Pyj^io), pour utt élément normal à Taxe des y, ^zxdiù^ Ptpdiù, P,«rfci>, pour un élément normal à Taxe des z.

Un parallélipipède élémentaire de volume dx et dont les faces sont parallèles aux plans de coordonnées doit être en équilibre sous Taction de ces neuf forces et des trois composantes Xrfr, YrfT, ZrfT de la force électrodynamique. En écrivant que ce parallélipipède ne peut prendre aucun mouvement de rotation autour d'un quelconque des axes de coordonnées, nous obtenons les relations

et en écrivant qu'il ne peut y avoir translation suivant ces mêmes axes, nous avons

dœ "^ dy ^ ds

dx "^ dy * dz ^ Z^^!^z,dPj^, dP^

do) *^ dy ^^ dz

L'identification de ces valeurs de X, Y, Z avec celles que Ton déduit des équations obtenues dans le paragraphe précédent, nous donne :

Px.

■"Sic

= Pyx

Py= =

= Pz.

Pzx =

~4it

THÉORrE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE S3K

Lorsqu'on prend les axes de coordonnées de telle sorte que raxedesâ?8oU parallèle à la force magnétique, onap=Y=o, et par conséquent les six dernières composantes des tensions que nous venons de calculer sont nulles. Les trois premières deviennent

OTT 07f OTT

Un élément perpendiculaire aux lignes de force magnétiques éprouve donc une tension normale et les éléments parallèles à ces lignes de force, des pressions normales. Les valeurs de cette tension et de ces pressions rapportées à l'unité de surface, sont égales entre elles. Elles sont aussi égales à l'énergie électrodynamique par unité de volume puisque cette énergie devient, par suite du choix des axes de coordonnées,

208« Appliquons ces résultats au cas d'un milieu transmet* tant des ondes planes, en prenant le plan des œy parallèle à Fonde et Taxe des œ parallèle au moment électromagnétique.

La force électromotrice ayant même direction que le moment électromagnétique les lignes de forces électriques sont parallèles à l'axe des x; un élément perpendiculaire à cet axe subit donc une tension normale dont la valeur par unité de surface est égale à l'énergie électrostatique W rapportée à l'unité de volume. Mais les lignes de force magnétiques sont perpendiculaires aux lignes de force électriques puisque laforce électromagnétique et la force électromotrice sont rectangulaires entre elles ; par suite, l'élément considéré est parallèle

aux lignes de force magnétique, et, de ce fait, il éprouve une pression normale dont la valeur par unité de surface est égale à l'énergie électrodynamique T rapportée à l'unité de volume. Ces deux quantités W et T étant toujours égales entre elles (204), la pression et la tension qui s'exercent sur l'élément se compensent.

On verrait qu'il en est de môme pour un élément perpendiculaire à l'axe des y.

Pour un élément perpendiculaire à Taxe des -ar, c'est-à-dire parallèle au plan de l'onde, la pression électrostatique s'ajoute à la pression électromagnétique, de sorte que la pression totale par unité de surface est égale à l'énergie totale par unité de volume.

209. Maxwell a calculé la pression qui s'exerce sur une surface éclairée par le soleil. En admettant que l'énergie de la lumière qu'un fort rayon de soleil envoie sur un espace d'un mètre carré est de 124,1 kilogrammètres par seconde, l'énergie moyenne contenue dans un mètre cube de l'espace traversé par le rayon est d'environ 41,36 x 10 -^ kilogrammètres ; par suite la pression moyenne par mètre carré est 41,36 X 10 -« kilogrammes ou 0»%0004136.

La moitié de cette pression étant égale à' l'énergie électrostatique et à l'énergie électrodynamique, il est facile d'obtenir les valeurs de la force électromotrice par unité de longueur et de la force électromagnétique. Maxwell a trouvé que la force électromotrice est d'environ 600 volts par mètre et que la force électromagnétique est 0,193 en mesure électromagnétique, soit un peu plus du dixième de la composante horizontale du champ magnétique terrestre en Angleterre.

210. Interprétation des pressions éleotrodynamiques* — Nous avons fait remarquer (84) que TexisteDce des pressions électrostatiques s'accordait mal avec l'hypothèse fondamentale de la localisation de l'énergie dans le milieu diélectrique. Les pressions électrodynamiques s'interprètent plus facilement et dans un mémoire publié dans le Philosophical Magazine (^), Maxwell en a donné une explication qui présente un certain intérêt.

— ^ ^ ' ^ dx étant

supposée de l'énergie kinétique nous pouvons regarder le milieu dans lequel s'effectuent les phénomènes électrodynamiques comme constitué par des molécules animées de mouvements de rotation. Si a', p', y' sont les composantes du mouvement de rotation d'une des molécules supposée libre, l'énergie kinétique résultant de ce mouvement est proportion-

a'a -1- ft'a -1 y'a nelle à — a — "^ ^^^ ^^^^ possible d'identifier Tex-

pression de l'énergie électrodynamique avec celle de l'énergie du milieu tourbillonnant en prenant les composantes de la rotation proportionnelles à celles de la force électromagnétique. La direction de cette force devient alors celle de l'axe de rotàUon de la molécule.

Si nous supposons cette molécule sphérique, elle tendra à s'aplatir aux pôles et k se renfler à l'équateur. Un élément de surface perpendiculaire à l'axe de rotation se trouvera sollicité par une force normale dirigée vers le centre de la molécule; au contraire, un élément situé su r l'équate ur paral-