HA
La fonction II satisfait (l*abord à l'équation (4) puisqu*elle
ost de la forme ^ •
Posons maintenant n == rii -j- II^
j n, =^[8inf/)/ — prV'K) — sinp/1
la quantité entre crochets s*annule pour r = o; donc II^ ne dt'vient pas infini à Torigineet peut, par suite, être développé suivant les puissances croissantes de i\
__ 1 dW^ "C Yl dz
^^d^^jnL,
cf.r ddcd:
I (h ~ ds^
dxdz dt dx
— dt'^dvdz
ce qui donne
Et de même :
d'où:
Je vais montrer que ces formules concordent bien avec les formules (12), (13) et (14),
-K^ = -Kp(^)-K-^ = -Kp«P(A)+K;,«ll,.
car
On doit avoir :
j Kp»P{*) = ^ + Kp»II,
En effet :
An, = 0
An, = An = K ^ = — Kjo»n . ^n, „ ,rf»n
et
. ('^ + K„.n,) = - Kp. Cf! + Kp-n)
Or IVqiiation «le Poisson nous apprend que ;
(|uand 'j/ et ses dérivées sont finies dans tout l'espace. Donc :
= Kp»P (/•).
et de même :
-Llii + K,>«n, . . - i P (- p»K.4,rA) = Kp»P (A)
ce qui était à vériHer.
Dès lors, la comparaison des équations (15), (16] et (17) donne immédiatement :
fft (/.r cLnh dxdz ~ dxdz ' '
et deux écjuations analogues pour g et h.
Le résultat de Hertz est donc pleinement justifié car la fonction H définie par Téquation (li) satisfait bien à toutes les conditions du problème.
ÉTUDE DU CHAMP PRODUIT PAR l'eXCITATEUR 187
RADIATION DE L'ÉNERGIË
90. L*énergie électromagnétique dont Texcitateur est la source se dissipe en vibrations, de même que Ténergie d'une source lumineuse. 11 importe de se rendre compte de celte dissipation d'énergie.
On a :
Reportons-nous aux équations (3) et (4) du chapitre Yl (p. 115, §50], et considérons le vecteur dont les composantes A, B, G sont définies par les équations :
(1) I KB = y/ — aA
J*appellerai ce vecteur le vecteur radiant : il est le produit géométrique de la force magnétique et du déplacement électrique (au facteur K près) : il est perpendiculaire aux deux systèmes de lignes de force, électrique et magnétique.
On vérifie sans peine Tidentité :
d\ . dB , dC dw ^ dy ^ dz
*d'oii Ton conclut :
\dx + dy + dz^
rf(T + P) l (^ \^^ A^\
u.* y^^ -, ^ ^ [^Jtttt. + t:)'^^
188 ï::LKCTRICrTÉ ET OPTIQUE
Considérons la quantité d'énergie contenue dans une surface fermée : l'intégrale de volume peut se transformer en une intégrale étendue à Taire do la surface fermée.
'^'^\^^'^ = A/A + yy/H -f nC) </« — fji^di^
\n étant la composante normale h la surface, du vecteur radiant: tout se passe donc comme si dans le temps dt une
quantité d'énergie^// / A„r/u> s'échappait, rayonnait au travers
dt' la surface / Hm.
On peut remanjuer que Ténergie rayonnée à travers une surface conductrice est nulle, puisque le vecteur radiant est partout tangont fi la surface, comme perpendiculaire aux lignes de force électrique, qui sont normales.
91, Kn revenant à la fonction H précédemment étudiée, cherchons la (juantilé d'énergie rayonnée à travers une sphère iW très grand rayon.
Le parallélograniUHî c(»nstruit sur les doux vecteurs : force magnéti(iue et déplacement électrique, est un rectangle, car les lignes de foret; magnétitiue. sont des parallèles elles lignes de force électrique sont tlans des plans méridiens. Prenons une sphère tie très grand rayon, la forée magnétique en un point de la surface est toujtMirs langente • la force électrique qui n'e^t pas langente en général, fait avec le plan tangent un angle d'autant plus petit tjue le rayt>n est plus grand, ef pour un rayon très-grand elle {)eut être considérée comme tangente à la sphèn» : le vecteur radiant est donc normal. Sa direction étant connue, calculons sa grandeur.
, , , , c/n , rfrr
Les composantes de la force magnelique sont — T~ ^' j~j dans le calcul de n s'iniroduiront des termes en -> —.> -5;
nous négligerons lefl lei
1 contenant les puissances de ■
supérieures à la premièrf?, et nouR aurons comme valeur approchée de la force magnétique :
Le déplacement éleclrique esl égal à la force magnétique
Xt-) dans le cas d'une onde plane. Celle relation, qui n'est
plus rigoureuse ici, est encore exacte au degré d'approximation du calcul : car pour un point très éloigné, le déplamenl est sensiblement dans le plan de l'onde, et l'onde est assimilable à une onde plane.
Le vecteur radiant étant le produit des deux autres vecteurs, divisé par K, a pour expression
HerU a calculé l'intégrale ohlenue en multipliant pur tlui, et intégrant sur la surface de la sphère ; il a trouvé :
f Pi-IWKy
pendant
uni ÊLKCTKICITÉ ET OPTIQUE
92. Kôduisons en nombres : le rayon des sphères est 15, la longueur / =r: 1(H) ; la charge maximum alleinte par chacune des deux parties de Texcitateur était 60 uniiéSy ce qui donne pour le potentiel niaximun E^, E^ = tK) X 15 = 900. On avait, d'après ces données, environ â,400 unités C. G. S. d'énergie rayonnée par demi-oscillation (*).
L'énergie initiale, avant toute vibration, était.
^^- i >; ÎHK) X t>0 = 54000 unités.
Cela montre avec quelle rapidité les vibrations diminuent; une partie de l'énergie est transformée en chaleur dans la résistance du fil de l'excitateur ; il y aurait environ iOO unités dépensées par ohm : pour une résistance qui a sensiblement 3 ohms, il y aura ^i(M) unités; en tout i,700 unités d'énergie
perdues dans une demi-oscillation, c'est-à-dire ^ de Ténergie
potentielle initiale. On aurait une dizaine d'oscillations sensibles, à peine. Le décrément logarithmique est pourtant beaucoup plus faible que dans le cas de l'excitateur sphérique, ce qui ne doit pas nous surprendre, car nous avions en facteur /i^ dans le décrément relatif à l'excitateur sphérique, et la (fuantité d'énerf^ie perdue par demi-oscillatîon est d*autant plus {grande que la période e&t plus courte.
Mais il y a plus, je viens de donner les chitfres de Hertz ; il
les a obtenus, en partant de la - longueur d'onde 4", 80 qu'il
avait trouvée d'une part par un calcul vicié, comme nous l'avons vu, par une erreur sur la capacité; d'autre part par des expé-
(') Uliii/.. Wied . Ann. l. 3J, i». 1*J.
riences direcles. Si l'un venait a découvrir que ces expériences sont elles-mémeBsujettesàqoelques causes d'erreur età adopter
la longueur d'onde corrigée 4'',80x -!=> la radiation pendant
une demi oscillation serait de 2,400 x 2 v^ unités et le nombre des oscillations sensibles que Hertz évalue approximativement à 10 ne serait plus que de —p- = 3 environ ; dans
ces conditions d'ailleurs, le décrément logarithmique ne pouvant plus être regardé comme petit, il conviendrait de reprendre tout le calcul.
PHOFAGATION u'UNB PERTURBATION ËLECTHuHAGNËTIQUK DANS UN PIL HÉTALLIQUE BECTIUGHE
93. Leii lacunt'a sont nombreuses et considérables dans .l'œuvre de Herli, et l'on est loin encore de la netteté qu'on désirerait y trouver. Un des points qui restent le plus obscurs est la question de la propagation des ondes dans un iil métallique; je vais eipo^er les expériences sans ctiercher ii accumuler les conjectures, et à dissimuler mon embarras.
Prenons le 1)1 métallique pour axe des x. La perturbation n'est pas localisée dans le fil ; 11 y a dans le diélectrique des courants de déplacement qui doivent se propager avec la mi'nii; vitesse t\ati la pcrliirbatlon produite au sein même du fli. Le champ élant dtr n-vulutiOD, St OWUMktoHBM M ramène
ù la détermination d*iine fonction II f^atisfaisanl à réqualion
Ali — k'^^'
La perturbation étant supposée périodique et propagée avec une vitesse constante, II est proportionnel à cos [phz — pt\ ;
comme II n'est fonction que de -, /, et p = Vi>r* -|- y*", îl est nécessairement de la forme
^1) 11 — 'f (p) C08:mJ' — pt)
On a :
par suile, le facteur qui mulliplie ■]/ (p) élanl indépendant
de p :
rfû^ ' P r/p ^ '^ ^ ^
Nous avoii?' de pins, pour déterminer t{/, la condition que 'I s'annule pour p -- rv>. Celle fonction se rattache aux fonctions de Bessel.
94. Soit le loii,i< de UZ une masse attirante telle que la quantité de matière comprise (?nlre ^' et z' -f- djz' soit cos nz\dz\ Le potentiel sera
. . I cos nz'dz'
ÉTUDE DU CHAMP PRODUIT PAR l'eXGITATEUR 193
OU
r^ = x^ J^if' + [z - z'f =: p> + (z - zy
Je pose
z'=.z + X. r» = p^ + ça
Vp^ + î'
cos nXfiPi , i sin n^cH^
,. — sin nz I ,
La seconde intégrale est nulle, car r ne change pas par le changement de C en — C ; sin nC changeant de signe, les éléments se détruisent deux à deux.
est fonction seulement de p.
V étant un potentiel,
^p* ' p dp
6 ne différant de V qoe par un facteur indépendant de p, on
«da
ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUK
Celle tM|uatiun e8t identique à celle qui donne ^-^ si Ton fait
On a donc intégré Téquation (3^, on doit prendre pour d l'intégrale qui s*annule à Tinfini : 9 satisfait à cette conditioo, donc ^ = 0,
ou
n = y/m^ — Kp
11 est à remarquer que •}/, par suite II, ne 8*annule pas pour de petites valeurs de p : en fait, il ne s'annule pour aucune valeur finie, mais ce qui importe c'est qu*il n*est pas nui pour p très petit. 0 est en effet très grand ; le point attiré étant très-voisin de la matière attirante, le potentiel est très grand, il est de Tordre de grandeur de 2S log r, $ étant la densité dans le voisinage et r la plus courte distance à la ligne altiranle.
95. Nous délerinineions la vitesse de propagation par la condition que les iigneî> de force électrique aboutissent normalement à lu surface du (il conducteur. Il faut donc qu*à la surface h = o.
Or :
Il ne pouvant être nul à la surface, il faut néceasairenieoi
que :
ÉTUDE DU (JHAMr PRODUIT PAR l'eXCITATRCR
La vitesse de propagation dans le (il est égale h la vitesse •de la lumière et à la vitesse de propagation des oudes dans Irair. Un corollaire immédiat est que A esl eiiistamntent nul; Iles lignes de Torce électrique Boni dans des plans perpemJicu- I laireH au fil.
valeur de ■\' dans ce l'as est donnée par :
d'où
= logp
MalheureuBcment les expériences Taites sur celte queelion k lemlilent donner des résultats conirsdictuires. Hertz a mesuré f la vitesse de propagation dans un fli en Tuisant interférer r l'onde directe avec l'onde rélléchiit à l'exlrémiti; du lil : alors [■ que dans l'air, o» aurait dans ces circonslances entre deux I nœuds consécutifs une distance de i"5U, on trouve ici a^ëO; L le rapjiort ^ est celui qui d'après les expériences de llcrtï I mesure le rapport de la vitesse de propagation dans l'air à la [ vitesse de propagation dans un fil métallique conducteur.
