LK RÉSONATEUR DE HERTZ

les lignes de force voisines, soit P^; un autre enfin, dû aux courants de conduction développés dans le résonateur môme, soit F'*. De ces trois termes, le second P' est absolument négligeable.

Le potentiel ^ se composera de deux termes : ^' dû à Taction propre de l'excitateur, r^" dû à Téleetricité répandue sur la surface du résonateur.

L'équation (1) devient :

^ ^ (U '^ dx di dx

Appelons X le second membre : c'est la force électrique due à l'excitateur, et existant dans le champ avant l'introduction du résonateur.

Négligeons la capacité des bornes de l'interrupteur. Si ^ds est la quantité d'électricité répandue sur l'élément de Ion* gueur ds du fil, et si r est son rayon, supposé très petit, le

potentiel «^ en un point de son axe est sensiblement -^ log r;

la valeur de F", qui est le potentiel d'une matière attirante de densité t/, est de même 2i iogr (*), en appelant i l'intensité

{}) En efTtit le diamètre du fil étant fort petit par rapporta sa longueur, la portion de ce fil voisine du point consldërd peut être assimilée à un cylindre très délié. Les formules précédentes, ne sont pas homogènes car r qui entre sous le signe log est une longueur et non un nombre. Un calcul plus précis donnerait la formule suivante qui est homogène :

r 2i log - -f- des termes qui s*annulenl avec r.

L étant une longueur constante très grande par rapport h r. En négligeant les termes qui s'annulent avec r il reste

2» (log r — log L)

oa puisque log L est négligeable devant log r :

-•^ 2» log r.

fOO

du courant. En effet le fil peut être assimilé à un cylindre tn^s délié de sorte que le potentiel en un point extérieur eM le môme que si toute la masse attirante était concentrée sur Taxe de ce cylindre. Par suite ce potentiel a pour expres-

sion :

2 log r judiù

rintngrale étant étendue à tous les éléments e£b> de la section

du ni. Mais au point considéré, la tangente ayant été mo> m^uilanément prise pour axe des .r, on a t? = »r = o d'où :

i = / tidta.

De même en ce point on a G* = H* = o, de sorte que si Ton convient d'appeler E le potentiel vecteur dont les composantes sont F**, G** et H**, on aura :

as ilx VA féquation de continuité, qui se réduit ici à :

dt

donne entre K cl cp^ la relation :

L'équalion (2) peut s'i'crire :

rfK

iU ^ ds "■

LE RÉSONATEUR DK HEBTZ

"^ dx

Ëliminon>; E, en diiïérentiant (3) pnr rapport h. t, (3) par rapport à *, et retranchai) «elle équation (3) multipUf'e

Hais R est égal & i, au facteur conlanl prés 2 log r ; d'o posant

2 log r = C

98. Supposons que X varie suivant une fonction sinusoïdale du temps : X est une fonction de l'arc s, comptée sur le fil du résonateur à partir de l'interrupteur, et peut être représentée par:

KrfX . , ,,

f (s) est évidemment une fonction périodique de s, admettant période la longueur totale S du résonateur ; <p (s) pourra ^développer en série de Kourier:

^{»)= A-f-B cosms-fr.sin hw -f

Wi ÉLKCTRicrrÉ et optique

en posant m = — • Je ne conserve que ces trois termes : on

n*aura évidemment qu'un résultsii approché, mais nous n'en sommes pas h cela près.

Donc :

fPi (Pi

-T-5 — K -^ ~ sin ;>/ (A + ï^ cor mx -f- ^ ^"" *^^)

Intégrons :

,,.v . ^ / A , B cos nus 4- C sinr/i«\

sera la solution correspondante au régime permanent.

99. Discutons ce résultat ; faisons s = o, c'est-à-dire plaçonsnous h l'interrupteur ; le courant en ce point P est mesuré par rélincelle; il est donné par :

la longueur maximum d'étincelle osl proportionnelle à la quantité entre parenlhèses : or considcTfms le point P' diamétralement opposé à P ; en ce point sin ?w.v = 0, cos 7W^ = — 1^

5 (s) rr: A — I^.

La force électromotrice en P' est donc proportionnelle à A — B. Si l'on supposait que — Kp^ et m^ — Kp* fussent égaux et de signes contrairei?. la parenthèse serait proportionnelle à A — B et la longueur de l'étincelle mesurerait

1,F. tlftSONATEDR DE RKHTZ

iy'u-n la furce «leeLrique au point P' diamt-tralcment opposé. En fait, il n'y a aucune raison pour que lea donominaleurR Eoient ^gAUX, mais ils ^ont de Mgnes confraîres dans lee pipérienees de Ilertz, la parenlhèse tie IVquation (0) est donc proportionnelle il A — B X on certain coefficient.

Je ne trouve pas ici d'expression assci vague pour exprimer ma pensée; je pourrai!> dire que rétincelle a imn lenftance h varier comme A — B. Hertz semble en eiïet se conlenler de dire : plus rétineelle sera forte en I'. pins sera Krainie ?a force électrique en P' (').

Hais si les deux dénominateurs de la parenllit'se (fi) êlaîent de mi^me signe, on aurait au contraire A-j-Bx un coelTleienl, et ri'lincelle tendrait h varier comme A -(- B, c'cat-à-dirc I comme la forée électrique au point P.

100. Outre celte absence de rigueur, il y a un reproche ' qu'on pourrait adresser h celle théorie : «lie repose sur

suppose pnr conséquent que, dans

' le cas d'oscillations lri>s rapides, la force électrique aboutit normalement aux conducteurs; et nous avons vn combien celte hypothèse est sujette h. caution.

V regardant d'un peu pr^s, on voit que la Ihi^orie du [ résonateur ne serait pas changée, &i l'on abandonnait cette I hypothèse ; on aurait toujours au premier membre de l'équallîon (fi) une expression linéaire aux dérivées partielles de i'

soi ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

par rapport à « et à / ; et la forme de l'intégrale ne serait pas changée : seulement on aurait aux dénomiDateurs de la parenthèse de l'équation (G) deg polynômes en m et en p, plus compliqués, ce qui n*empécherait pas de répéter, sans y rien changer, la discussion grossière qui a été faite précé* demment.

101. Hertz 86 horne en somme à une comparaison pour caraclériser le nMe de son résonateur : il le compare à une corde vibrante qui serait (ixée à ses deux extrémités* — ces extrémités correspondant aux deux bornes de l'interrupteur, — et qui oscillerait sous Tinfluence de forces périodiques. Cette comparaison est fort juste : elle traduit Tanalyse précédente en langage ordinaire ; où il a tort, c*e&t quand il croit que les oscillations de la corde ont touj<»urs lieu dans le même sens que la force qui les détermine : elles peuvent parfaitement être en sens contraire. Considérons un pendule, soumis à une force proportionnelle h sin pt; soit 6 Tangle, toujours très petit, du pendule avec sa position d'équilibre.

-rr, + //rO = A sin»/

m dépond uniquement de la période du pendule oscillant seul.

I/intégrale, pour le régime établi, est :

A sin pt m' — p^

pour avoir Tintégrale générale, il suffirait d*ajouter

-j- C cos mt -|- C sin ml.