Identité des expressions de Ténergie potentiellç
— Montrons enfin que la théorie des cellules conduit à la même expression de l'énergie potentielle que la théorie de Maxwell. On sait que l'énergie potentielle d'un système de conducteurs électrisés est égale à la demi-somme des produits de la charge de chaque conducteur par son potentiel. Les charges des surfaces en regard de deux cellules contiguès sont égales et de signes contraires; par suite, si -^^ et ^j/^ sont les potentiels de ces cellules, le terme fourni à l'énergie potentielle par ces
THÉOKIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 73
charges est
D ailleurs si G est la capacité du condensateur formé par les surfaces considérées, on a
et le terme précédent devient
En développant Aij/ par rapport aux puissances croissantes de Aa?, Ay, Az, et en négligeant les puissances de ces quantités supérieures à la première, nous obtenons
Considérons donc un élément de volume dz assez petit pour que nous puissions admettre que les dérivées partielles de ^ ont la môme valeur en tout point de cet élément, mais assez grand toutefois pour contenir un très grand nombre de cellules, et par conséquent, un très grand nombre de petits condensateurs.
L'énergie potentielle cAV de cet élément, sera la somme des énergies potentielles des divers petits condensateurs qui y ^ont contenus, on aura donc :
Mais nous avons fait remarquer à propos des phénomènes calorifiques que dans le cas d'un milieu isotrope, les sommes
^G^x^y, ^Càyàz, ^C^zàœ sont nulles. Nous avons posé
c?T dx dx
Par conséquent, nous aurons pour Ténergie potentielle de l'élément ^t,
--=^'[©'+(®'+(ir}
Si "nous remplaçons dans cette expression les dérivées partielles par leurs valeurs tirées de la relation (8) du n"^ 69,
et des relations analogues qui contiennent g et h, et si nous
K donnons à A la valeur j~ que nous avons été conduits à lui
attribuer pour faire concorder la théorie des cellules et de celle de Maxwell, nous obtenons
2ir
L'énergie potentielle du volume fini sera donnée par l'intégrale
W= -l ^ {f^ + ff* ^ h*) dx.
Cette expression est identique à celle que nous avons déduite (82) de la théorie de Maxwell et, comme dans cette dernière théorie, Fénergie potentielle d*un système électrisé se trouve dans le milieu diélectrique qui sépare les conducteurs.
72. Remarque. — Dans les calculs précédents , nous avons admis qu'en chaque point du diélectrique , la force électrique ne dépend que de Tétat électrostatique du système électrisé. S'il en était autrement, si, par exemple, outre la force électromotrice due aux actions électrostatiques, s*exerçait une force électromotrice d'induction, les formules auxquelles nous sommes parvenus devraient être modifiées.
En particulier, la composante f du déplacement ne serait plus donnée par la formule
mais par la formule
où X désigne la composante suivant Taxe des x de la force électromotrice d'induction.
Pour le montrer cherchons ia variation A^j/ du potentiel quand on passe du centre de gravité 6| d'une cellule au centre de gravité Gj d'une cellule contiguë. Elle est égale à la variation brusque H qui se produit quand on traverse la paroi isolante augmentée du travail qu'il faut effectuer à rencontre des forces d'induction pour faire passer l'unité d'électricité positive de G^ à G2. Si donc — X, — Y, — Z sont les composantes de la force éleclromolrice d'induction quand on
76 ÉLECTRlCrrÉ ET OPTIQCE
passe de G| à G,, on a poar A'!^.
A^ = H + XAx 4- YAy + ZAx.
La charge électrique q d'an de nos petits conden*^lears sera égale an produit de la capacité de ce condensateur, par la différence de potentiel H de ses deax armatares: il viendra donc:
9 = — CH = — Cil -f G (XAx + YAy + ZAx) et, au lien d'avoir simplement
on aara
Dans toutes nos formules, il faudra donc remplacer
par
— -y — »• et — '" dx di/ dz
d'If Y ^ Y î^ 7 dx * dt/ ' (/j
La formule
devient donc
' K rfj-
' 4s \dx }
OU
78. Cas des corps anisotropes. — Il importe, pour pouvoir établir la théorie électromagnétique de la double réfraclion de voir ce que deviennent ces formules dans les corps anisotropes.
Reprenons la formule (iO) du n° 71, Si dans cette formule
on regardait -i^> ;/ ®^ / comme les coordonnées d'un point
dans l'espace et cH^V comme une constante, on aurait Téquation d'un ellipsoïde.
Si Ton fait un changement d*axes de coordonnées, cet ellipsoïde fictif conservera la même forme, mais sa position par rapport aux axes variera.
Prenons donc pour axes de coordonnées les axes de cet ellipsoïde^ son équation deviendra :
et on aura :
\ ^~ d-z dz dz
(il) ;
Reprenons la formule (5) de la Ihéorie de Fourier (64). En vertu des équations (11) elle se réduira a
Or nous avons vu au n^ 69 que pour passer de la théorie de Fourier à celle des échanges d*électriciié qui ont lieu
entre nos ceflnles, il sofBt de changer Y en ^* U vient d<mc encore,
cUdx
et de même
dtdy dUdz
La seule différence avec les équations (7), c'est que les coef-
<P^ dP^ d^^ ficients de -—-i -rrr» •rrr' ne sont plus égaux entre eux. dtdœ dtdy dtdz ^ ^
On en déduit :
' dx Ai: dx
dy Alt dy
dz Alt dz
en posant
K = A-kK, K' = 47rA', K" = 47rA".
S'il existe des forces électromotrices d'induction dont les composantes soient X, Y et Z, ces formules deviennent :
