L'équation d'équilibre s'écrit donc

dW. , d^ dV , A ,

rf(Y+V,)dU 4 / 1\ rfï rfï 3 '' V V

Si au lieu de prendre pour axe la directiondela polarisation au point considéré, nous avions pris des axes quelconques,

nous aurions trouvé, au lieu de l'équation unique que nous venons de démontrer, les équations suivantes :

en posant pour abréger :

d'où

Nous écrivons d'ailleurs -7- au lieu de -=- en revenant aux

dx a^

notations habituelles, ce qui n'a plus d'inconvénient puisqu'aucune confusion n'est plus à craindre.

58. On déduit de là en différentiant la première de ces équations par rapport à a?, la seconde par rapport à y, la troisième par rapport à ^ et ajoutant :

dœ \ dx) dy \ dz ) dz \ dzj ~

\dx ' dy ' dz)

Or Vf est le potentiel des corps extérieurs, on a donc

t \ TM "^B

^ \) ^ D'autre partréqualion(3) montre que V peut être regardé

comme le potentiel dd à une couche de densité

/A -}- mB -{- nC

répandue à la surface du diélectrique, moins le potentiel d'une quantité d'électricité répandue dans tout ce volume et ayant pour densité

rfA c[B rfC dx''dt/*dz

Il en résulte que :

et par conséquent

Or, U = V -}- V^ désignant le potentiel, la comparaison de Féqualion à laquelle nous venons de parvenir avec les équations fondamentales de Télectrostalique montre que K n'est autre chose que le pouvoir inducteur.

59. Ainsi, dans un diélectrique constitué comme se Timagine Mossotti, et de pouvoir inducteur K, le rapport du volume occupé par les sphères au volume tolal est égal à:

On trouve d'ailleurs

^ ' (lœ dx

THÉORIE DBS DIÉLECTRIQUES DE POISSON 57

Le déplacement électrique de la théorie de Maxwell s'écrit alors :

iir K — 1 (/a;

3 K rf|

4jr K + 2 tic'

Les deux autres composantes dudéplacement électrique sont nulles si, comme nous le supposons, nous prenons pour axe des X la direction de la polarisation au point considéré. Si en même temps, revenant à nos notations du n°46, nous appelons f l'intensité du champ uniforme qui polariserait nos petiteB sphères comme elles le sont réellement, nous aurons:

60. Nous avons vuque dans la théorie de Poisson et Mossottj la polarisation des petites sphères conductrices varie quand on fait varier le champ électrique dans lequel elles se trouvent placées, et que les courants qui se produisent dans ces petites sphères et résultant de celle variation peuvent être comparés aux courants de déplacement de Maxwell. Il importe de comparer l'intensité de ces courants de déplacement dans les deux théories.

Pour cela je vais calculer la valeur f^ du déplacement électrique dans la théorie de Mossottj^et la comparer à la valeur de f que nous venons de trouver.

Chacune de nos siilièrcs i^st pcilarisée comme s! elle était soumise & l'acLioo d'uo cbuDp uniforme d'intensité ip.

Donc d*après ce que nous avons vu au n^ 49 tout se passe comme s*ii existait deux sphères de môme rayon que la sphère conductrice, Tune remplie de fluide positif de densité 1, Tautre de fluide négatif de densité i^ et si la sphère négative» coïncidant dans Tétat d'équilibre normal avec la sphère positive, subissait sous rinfluence d'un champ uniforme d*intensité (p un déplacement œ^ donné par la formule

Tout se passera donc comme s'il y avait déplacement en bloc des fluides électriques de chacune des petites sphères. Mais, les sphères conductrices n'occupent pas le volume entier du diélectrique ; elles sont séparées entre elles par un milieu isolant jouissant des mêmes propriétés que l'air, et la somme de leurs volumes est au volume total du diélectrique dans le rapport de ^ à 1. La somme des charges positives qui se trouvent sur ces sphères est donc h fois plus petite que la somme de ces mêmes charges dans l'hypothèse où tout le volume de diélectrique serait occupé par des sphères conductrices. Comme il en est de même des charges négatives, il revient au même d'admettre que chacun des fluides est répandu dans tout le diélectrique avec une densité hj ou que chacun d'eux n'occupe qu'une fraction ^du volume du diélectrique avec une densité 1. La valeur du déplacement moyen sera évidemment la même dans les deux cas. Si nous adoptons la première hypothèse nous pourrons appliquer à la sphère diélectrique les formules du n° 49 en y remplaçant Xq par ?iœQ, puisque dans ces formules la densité est supposée égale à 1 et que maintenant elle est h. Cette quantité

hxQ est donc le déplacement moyen que subit le fluide négatif dans le diélectrique soumis à Tinfluence du champ. Si nous remplaçons œ^ par sa valeur tirée de Féquation (1)

nous avons pour ce déplacement — h -^ et par suite, pour le

déplacement du fluide positif par rapport au fluide négatif, qui ne diffère que par le signe du précédent,

Or on a:

Mais si par suite de cette relation les actions extérieures des diélectriques sont les mêmes dans les deux théories, les intensités des courants do déplacement n*ont pas la même valeur dans Tune et dans l'autre. En effet, si nous portons cette valeur de h dans Texpression de /^ nous obtenons pour la valeur du déplacement dans la théorie de Poisson

qui diffère de celle du déplacement dans la théorie de Maxwell, donnée par la formule (4). Le rapport de ces quantités est

C*est aussi le rapport des intensités des coanun cernent dans les deux théories. Dans Tai'

rant de déplacement est nulle quand on adopte les idées de Poisson puisque la formule (6) donne f = o pour K ==J1 et que le pouvoir inducteur spécifique de Tair est l'unité. Dans la théorie de Maxwell, le déplacement dans l'air a, d'après la

formule (4), la valeur /*== ^i et par suite, contrairement a ce

qui a lieu dans la théorie de Poisson, l'intensité dujiuyfant de déplacement n'est pas nulle dans ce milieu. C'est là la diT^ ference la plus importante qui existe entre les deux théories dont nous venons de comparer les conséquences.

61 . Modification de la théorie de Poisson. — Cellules. — Mais, ainsi que nous l'avons annoncé au commencement de ce chapitre, il est possible en introduisant dans la théorie de Poisson quelques modifications secondaires de faire concorder ses résultats avec ceux de la théorie de Maxwell. C'est ce que nous allons montrer.

Remarquons que si les formules (5) et (7), qui donnent A et le rapport des déplacements, ne sont pas homogènes, cela tient à ce que nous avons pris Tumlé pour le pouvoir inducteur spécifique de la substance isolante qui sépare les sphères conductrices dans celle de Poisson.

Il serait facile de vérifier que si nous désignons parK^ le pouvoir inducteur de cette substance, les formules (5) et (7) deviennent

CSeUfl dernière formule montre que si K, est très petit le Drtdes déplacements est voisin de l'unité. Les intensités

des courants de déplacement auraient donc sensiblement la même valeur dans les deux tliéories si K^ était inOniment petit, ce qui exige que h diffère infiniment peu de Tunité, c'est-à-dire que Tespacenon conducteur qui sépare les sphères conductrices soit infiniment petit. Or, nous n'avons Jntroduit l'hypothèse de la forme sphérique des conducteurs disséminés dans le diélectrique que pour avoir plus de simplicité dans les calculs ; les conséquences restant vraies pour une formé quelconque des conducteurs nous pouvons nous représenter un diélectrique comme formé de cellules conductrices séparées par des cloisons non conductrices. Il suffît alors ^jCi\i^clm pour faire concorder la théorie de Poisson avec celle de Maxwell de supposer que ces cloisons ont une épaisseur infiniment petite, puisqu'alors h diffère infiniment peu de l'unité, et, qu elles sont formées d'une substance isolante de pouvoir inducteur spécifique K^ infiniment petit. Montrons que celte concordance se retrouve dans toutes les conséquences de la théorie de Maxwell et qu'au point de vue mathématique cette dernière théorie est identique avec celle de Poisson ainsi modifiée.

62. Propagation de la chaleur dans un milieu homogène. — La suite des calculs nécessaires nous conduira à des relations tout à fait pareilles à celles qu'a établies Fourier dans l'étude de la conductibilité de la chaleur. Dans le but de faire ressortir l'analogie mathématique qui existe entre les phénomènes électriques et les phénomènes calorifiques nous commencerons par rappeler brièvement la théorie de Fourier.

Cette théorie repose sur les hypoth(>ses suivantes : quand deux molécules d'un corps sont à des températures différentes,

il y a passage de chaleur de la plus chaude à la plus froide ; la quantité de chaleur qui passe pendant un temps donné est une fonction de la distance, qui tend rapidement vers zéro quand la distance croit, et qui ne dépend pas de la température ; enfin cette quantité de chaleur est proportionnelle à la différence V^ — Vj des températures des deux molécules. 11 résulte de ces hypothèses que la quantité de chaleur qui passe pendant un temps dt d'une molécule à une autre est

dq = — Crf^AV,

AY représentant la variation de la température quand on se déplace dans le sens du flux calorifique et G étant une quantité indépendante de la température.

63. Considérons un parallélipipède rectangle infiniment petit

Flg. 6.

ABCD A'B'G'D' [fig. 6) situé dans le corps et prenons trois axes de coordonnées respectivementparallèlesàtrois arêtes du

parallélipipède. Soient dx son volume, efco la surface de sa section par un plan perpendiculaire à Taxe des œ, a ei b les coordonnées des deux extrémités A et A' d*une arête parallèle à cet axe ; on a la relation

dz = diû {b — a).

Cherchons la quantité de chaleur Qdiùdt qui traverse la section <fa> pendant l'intervalle de temps dt. Pour cela calculons de deux manières différentes l'intégrale

(2) r* (Qdiùdt) dœ.

qui donne la somme des quantités de chaleur qui traversent toutes les sections du parallélipipède perpendiculaires à ox pendant le temps dJt,

L'intégration donne immédiatement, si l'on regarde comme constante la quantité de chaleur qui traverse chaque section e/(o du parallélipipède infiniment petit,

64. Pour trouver une autre expression de cette quantité, coupons le parallélipipède par une section quelconque EFGH perpendiculaire à Oa? et prenons de part et d'autre deux molécules M et M'. D*après les hypothèses de Fourier la quantité de chaleur qui passe de l'une à Tautre pendant le temps dl est

(3) qdt = — C(/^AV,

et la somme des quantités de chaleur qui passent par

64 ÉLSCTBICITÉ ET OPTHHIK

toutes les sections du parallélipipède est

j[qdt)dx.

Mais pour les sections qui ne sont pas comprises entre les molécules il n y a pas passage de chaleur et les éléments de Tintégrale qui correspondent à ces sections sont nuls. Il sufBt donc de prendre pour limites de Tintégrale les râleurs x et X 4* Axdes coordonnées des points M et M'; on obtient

[qdtj cix = qXxrfi.

Les autres couples de molécules du parallélipipède donnent des quantités analogues. Leur somme est précisément la valeur de rintégrale (2) et nous avons

(4) Qd-zdt =z yigXvffi.

Mais la relation (3) nous donne pour q,

en négligeant dans le développement les puissances de Ix, Ay, ÙLg, égales et supérieures à 2, ce qui est permis, les échanges de chaleur étant supposés n'avoir lieu qu'entre molécules très voisines et les termes négligés étant alors très petits par rapport aux premiers termes du développement. Portant alors cette valeur de q dans la relation (4), nous obtenons

G étant par hypothèse indépendant de la température, les coefficients des dérivées partielles de V n'en dépendent pas non plus. Par conséquent Q est une fonction linéaire et homogène de ces dérivées.

65. Si le corps considéré est isotrope cette fonction se réduit à un seul terme. En effet, dans ce cas l'expression de Q ne doit pas changer quand on y remplace x par — o? et il faut, pour qu'il en soit ainsi que les dérivées partielles de V par rapport à y et à z disparaissent du second membre. Nous avons donc simplement

et si nous posons

il vient

La constante A est le coefficient de conductibilité thermique du milieu.

Le milieu étant supposé isolrope la valeur de ce coefficient est la même pour toutes les directions; nous aurons donc pour la quantité de chaleur par unité de surface à travers un élément de surface perpendiculaire à l'un des autres axes de coordonnées

ÉLECTRICITÉ KT Ul'TlQLi::. ,H

D'une manière générale, nous aurons pour un élément orienté d'une manière quelconque

dn étant une longueur inflniment petite prise sur la normale à l'élément.

66. Analogies avec le déplacement de Pôlectricité dans les cellules. — A l'intérieur de chacune des cellules conductrices le potentiel ^ est constant, mais ce potentiel varie brusquement quand on traverse les parois isolantes qui limitent les cellules; ^ est donc une fonction discontinue des coordonnées. Nous ne pourrions introduire cette fonction dans nos calculs sans faire d'hypothèses sur sa forme , il est plus simple de considérer à sa place une fonction continue dont la valeur en chaque point diffère peu de celle de ^, Nous supposerons que ces deux fonctions prennent les mômes valeurs

aux centres de gravité G|, G^, Gj des diverses cellules;

l'erreur commise en substituant à ^ une fonction continue sera alors du même ordre de grandeur que les dimensions

des cellules, dimensions que nous pouvons toujours supposer très petites.

Considérons une de ces cellules {/ïg. 7). Lorsque le diélectrique n'est pas soumis à laction d'un champ cette cellule est à Tétat neutre ; dans le cas contraire elle présentera sur ses faces So Sj, S3, S4, des quantités d'électricité q^, g^, ^3, q^y mais comme la cellule conductrice ne cesse pas d'être isolée la

somme de ces quantités est nulle :

Si la valeur du champ vient à changer, les charges de chacune des faces de la cellule varient, mais leur somme

restant nulle, on a, en appelant dq^f dq^ les variations

produites pendant un intervalle de temps dt,

dq^ + dq^ + dq^ + dqj^ = o.

Il ne peut donc y avoir augmentation de la charge de Tune des faces que s'il y a diminution sur quelque autre. Supposons, pour fixer les idées que la charge de S3 augmente et que celle de S 4 diminue. Une certaine quantité d'électricité passera de S, à S^ en suivant un chemin que nous représenterons par APB. Mais il revient évidemment au même de supposer que rélectricité suit le chemin APGPB puisque la portion PG qui joint un point quelconque P du chemin réel au centre de gravité de la cellule est parcourue successivement dans les deux sens. On peut donc considérer le passage d'une certaine quantité d'électricité do S^ à Sj comme résultant du passage de cette même quantité de G à S3 et du passage d'une quantité égale mais de signe contraire de G à S|. Tout se passe donc comme si, par suite de la variation du champ, des quantités (ig^, dq^,,,. d'électricité allaient du centre de gravité G aux diverses surfaces de la cellule.

67. Prenons maintenant deux cellules contiguës de centres de gravilé G, et G^ ijîg, 8). Soient S^ et S^ les faces de chacune de cescellules qui se trouvent en regard. Ces deux faces

peuventétre considérées coname les armatures d'un condensateur à faces parallèles et infiniment voisines et si nous supposons que la charge de S^ augmente de dq, il résulte nécessairement une diminution de charge — dq, sur la surface en regard de Sj. D'après ce que nous avons dit précédemment,

l'augmentation dq de la charge de S^ peut être considérée comme résultant du passage de dq de G^ à S<. De même, la diminution de la charge de S^ peut être regardée comme provenant du

Q \ \-----^ passage d'une quantité — dq àià G^Ji ^iL "^y ^

// Fig. 8. S^, ou ce qui revient an mè.me,du pas-

' / j sage de dq de Sj à G^. Mais alors c'est

'f- I comme si la quantité dq allait de G^ à Gj. On peut donc dire

qu'il y a échange d'électncité entre les molécules G^ et G2 et nous commençons à voir apparaître l'analogie avec les phénomènes calorifiques.

68. Appelons G la capacité du condensateur formé par les surfaces S^ et Sj» ^4 et ^^ les valeurs du potentiel dans chacune des cellules ; nous aurons pour la valeur absolue de la quantité d'électricité située sur S^ et Sj

Comme c'est la face de la cellule dont le potentiel est le plus élevé qui se charge d'électricité positive, l'électricité positive, dans le déplacement fictif que nous avons supposé s'effectuer entre les centres de gravité, passe d'un centre de gravité à un autre de potentiel moins élevé. Par conséquent, en appelant Ai}/ la variation du potentiel dans le sens du

déplacement, nous avons pour la quantité d'électricité qui passe d*un centre de gravité à un autre

Pendant un intervalle de temps dt^ la variation de la différence de potentiel A»]/ entre les points considérés sera dt — A^J/

ou dt^ -^; par suite , la quantité d'électricité qui passe d'un de ces points à l'autre pendant ce même intervalle est

dq =z— C^/A ^•

Cette formule est identique à la formule (1) du n"* 62 qui donne la quantité de chaleur qui passe d'une molécule à une autre, C étant d'ailleurs dans Tune et l'autre formule indépendant de la quantité dont la variation est indiquée par A.

69. La loi des échanges d'électricité étant la même que celle deséchanges de chaleur dans la théorie de Fourier, nous obtiendrons la quantité d'électricité rapportée à Tunité de surface à travers un élément quelconque en remplaçant dans

la formule (6) (65), la température V par la quantité -^' En

appelant, comme le fait Maxwell,

udiùdty vdiodtj wdtùdt

les quantités d'électricité qui traversent pendant le temps dt des éléments t/w respectivement perpendiculaires aux axes de

coordonnées^ nous aurons

dtdx

Or, u, Vy u> sont dans la théorie de Maxwell les composantes de la vitesse du déplacement électrique, et par suite, puisque f, g, /i, représentent les composantes de ce déplacement,

df dg

dh dt' dt' dt

Si donc on adopte pour ti, v, tr, les valeurs que nous venons de trouver, on obtient pour f,

Comme dans la théorie de Maxwell,

47C dx

on voit que la théorie des cellules concordera avec celle de Maxwell, si nous posons

70. Cherchons à retrouver la relation qui dans la théorie de Maxwell exprime l'incompressibilité du fluide inducteur.

La quantité totale d'électricité contenue dans chaque cellule étant nulle à chaque instant, la quantité d'électricité qui pénètre pendant un intervalle de temps quelconque à travers une surface fermée qui limite un volume est également nulle. Or, u, v, to^ étant les composantes suivant les trois axes de la vitesse avec laquelle s'effectue le mouvement de Télectricité, la composante de cette vitesse suivant la normale à un élément dtù de la surface est

au -j- P^ "i" Y*^»

a, p, Y, désignant les cosinus directeurs de la normale. Par suite , la quantité d'électricité qui traverse dm pendant l'unité de temps est

(au + pt? -|" Y*^) ^^t

et la quantité qui traverse la surface fermée pendant le même temps est égale à l'intégrale

/ (au + P^ "h t^T<^

étendue à tous les éléments de cette surface. Pendant un intervalle de temps dt, la quantité d'électricité traversant la surface fermée est le produit de l'intégrale précédente par dt. En intégrant par rapport au temps, on aura la quantité d'électricité traversant la surface pendant un temps quelconque, et, comme cette quantité est nulle, l'intégrale obtenue doit être égale à o. Si nous remarquons que u, v, to sont les dérivées par rapport au temps des composantes f. g, h du déplacement, nous avons pour cette intégrale

(9) /(*/•+ Pi7 4- 7^)6^(0 = 0.

Or, ôn sait que

la première intégrale élant étendue à une surface fermée, la seconde, au volume limité par cette surface. En transformant de la môme manière les deux autres termes de l'intégrale (9), nous obtenons

Cette égalité devant être satisfaite quel que soit le volume considéré, nous en concluons

d£ ,dg j^ î^ .

dx dy* dz

C'est bien la relatioi! qui, dans la théorie de Maxwell, lie entre elles les dérivées des composantes du déplacement du fluide inducteur d'un milieu diélectrique.