Force magnétique dans l'intérieur d'un aimant
— Nous ne pouvons connaître la force qui s'exerce sur l'unité
de masse magnétique placée à l'intérieur de l'aimant sans y creuser une petite cavité permettant d'y placer un petit aimant d'f3preuve ; mais l'existence de celte cavité modifie l'action de l'aimant et celte modification dépend de la forme donnée à la cavité. Pour faire le calcul de la force en un point de la cavité, il faut donc en connaître la forme.
Maxwell ne considère que deux cas particuliers dans lesquels la cavité est un cylindre très petit dont les génératrices sont parallèles à la direction de la magnétisation. Dans le premier cas la hauteur du cylindre est infiniment grande par
rapport à sa seclion ; dans le second elle est infiniment petite. Appelons û le potentiel de Taimant tout entier en un point intérieur et û^ le potentiel de la masse cylindrique enlevée pour former la cavité en ce même point. La différence û— û^ est la valeur du potentiel de Taimanten Pquand la cavité yest creusée. La force sur Tunitéde masse magnétique a alors pour composantes
dx dcc dy"^ dy Hz "*" dz
100. Cherchons la valeur de û^ quand la hauteur du cylindre est grande par rapport à la section, û^ est la somme de deux intégrales, Tune étendue à la surface, Tautre au volume. Cette dernière est inûniment petite du troisième ordre et peut être négligée vis-à-vis de la première. Mais dans celle-ci les éléments correspondant aux bases du cylindre peuvent aussi être négligés, ces bases étant infiniment petites par rapport à la hauteur;il n'y a donc à tenir compte que de la surface latérale. Or, en tout point de cette surface la normale est perpendiculaire à la direction de magnétisation; par suite, la projection Ik •\- /wB -j- nC de la magnétisation sur cette normale est nulle et les éléments de Tintégrale correspondante à la surface latérale sont encore nuls. 11 en résulte donc que Ton peut alors négliger la quantité Û^. On a pour les composantes de la force magnétique
dx ^ dy ^ dz
expressions identiques à celles qui donnent les composantes en un point extérieur.
101. Induction magpaétique. — Passons maintenant au cas où la hauteur de la cavité cylindrique est très petite par rapport à la bja.8e. Gomme précédemment, nous pouvons dans la valeur de û| négliger Tintégrale étendue au volume. Dans rintégrale double les éléments fournis par la surface latérale sont nuls puisque la normale à chaque élément de surface est perpendiculaire à la direction de magnétisation ; il suffit donc d*étendre l'intégrale double à la surface des bases du cylindre.
Pour trouver la valeur de celte intégrale prenons pour axe des X une parallèle à la direction de magnétisation ; cet axe sera alors perpendiculaire à chacune des bases du cylindre Pour chaque élément de Tune d'elles nous aurons / = i, m = o, n = o, et pour chaque élément de l'autre /= — 1, m = o, n = 0. Dans ce système d*axes particulier nous avons donc pour la valeur de Û^,
chacune des deux intégrales étant étendue à la surface des bases. Cette valeur est la même que si Ton supposait que chaque base du cylindre est recouverte d'une couche de magnétisme ayant respectivement pour densités -|-« A et — A. L'étendue de ces couches étant très grande par rapport à leur distance, qui est égale à la hauteur du cylindre, l'action qu'elles exercent sur l'unité de masse magnétique placée entre elles a pour valeur 47rA. Celle force est dirigée du côté de la couche négative, c'est-à-dire en sens inverse de la magnétisation.
La cavité, qui a un eflet contraire à celui du cylindre aimanté de même volume, produira donc une augmentation de la
ta tu^jcrtiicjTt KT omfji't
iAH'i'Af ^M^^fe l4i diiv^;(ioii dn U iiMM^u^Ut&ali'xi et cette aa^eotalii/f^ utrn. 4ir A . l^^^r t'uiie J« ty^miM^tumUi hmvHsii ox de la force «fHi^nui'Af l>«i- t'afiiiiMit ^Mf l'uiiité de foai^ëe placée à l'iot^neor
Il tfbi Avidmii <|u<) «i AU liitij dit prendre le KyRtêmc particulittr d'ttvcii dont noim uvoru fait UKOge, nous prenons des axes i|Mti|t'oui|utt« tiiuu ohlicttidronii pour Ioh composantes de la |un<ti iIhh ttikpri«M«ion»i MUiilogueii à la précédente.
(!tta iuitiipoMaMlt«ii Html dtiuc
MnWM'Il loak Appoll*^ Wrt ooni|>oHnntoA do rùtduction magnétique l(MI« Uoiui^^)uon» (lut" b ()u<intUt^
pour rinduciion magnétique ; elle ne Test pas pour la force magnétique.
Montrons en effet que
da j^db dc^
dx^^clydz
On a dx ^ dy ^ dz. dx ^ dy ^ dz ^ \dx ' dy ' dz)
ou
da . db . de Ar^ , i /^A , rfB , rfCN
Or,
dj. d^ d^^/ . /'.'/}/ >N.'/^7'
dx^dy^dz r C I J /) /
et la relation de Poisson donne, pour un point intérieur,
Au = — 47rp.
La somme considérée est donc nulle.
103. Magnétisme induit. — Certains corps placés dans un champ magnétique s^aimantent par inûuence. Poisson admet que les composantes de la magnétisation induite en un point d'un tel corps sont proportionnelles aux composantes de la force magnétique en ce point. Posons donc
A = xa, B = x^, C = xy.
D'après les formules précédentes, les composantes de Tin*
iU ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE
duction seront, au même point,
a = a -|- 47rA = (i -j- 47ix) a, ô = p + 47rB = (i + 47cx) p, C == y -|- 47rC =z (i -j- 47rx) y.
En posant
ces formules deviennent :
