Potentiel. Composantes de la force électrique
On appelle potentiel en un point le travail de la force électrique agissant sur Vunité d'électricité positive quand celle-ci va du point considéré à t infini.
Dans le cas particulier où les masses électriques sont distribuées dans Tair, le potentiel a pour valeur V —S r/ étant
la distance du point considéré à la masse mi et la sommation 8*étendant à toutes les masses électriques du champ.
Nous désignerons par ^ le potentiel en un point P, pour nous conformer aux notations de Maxwell.
Si en P se trouve une masse électrique égale à m\ les composantes suivant trois axes de coordonnées de la résultante des actions électrostatiques qui s'exercent sur P, sont,
9. Si on suppose le point P à l'intérieur d'un conducteur homogène et en équilibre électrique la résultante des actions électrostatiques qui s'exercent sur ce point doit être nulle car autrement l'équilibre serait détruit. Les dérivées partielles du potentiel, -^^ -^» ^ sont donc nulles; par suite le potentiel est constant à l'intérieur du conducteur.
10. Flux de force. — • Considérons un élément de surface ^a> et par le centre de gravité G (fig, 1) de cet élément menons la demi-normale GN dans un sens quelconque que nous prendrons comme sens positif. Si en G se
trouve une molécule d'électricité de masse m\ cette molécule
est soumise à une force GF dont les composantes suivant les trois axes de coordonnées sont
CUV dy dz
i}; désignant la valeur du potentiel en G. En appelant a, p, y les cosinus directeurs de la demi-normale GN, la projection de la force GP sur GN a pour expression
-»'(-i+f|+tf>
ou
an
dn désignant une longueur infiniment petite GG' portée dans le sens positif de la normale et d^ la variation du potentiel quand on passe du point G au point G'.
Si la quantité d'électricité située en G est égale à l'unité, la composante normale de la force qui s'exerce sur elle est
— ^* Le produit changé de signe,
dn
de cette force par l'élément de surface dtù est ce que nous appellerons le flux de force d travers Vêlement dta, Lefltcx de force à travers une sur face finie sera la valeur de Finlégrale
= - 4^Jt
étendue à tous les éléments de la surface.
FORMULES DE L'ÉLECTROSTATIQUE 7
11. Théorème de Gauss. — Lorsque la surface est fermée la valeur absolue de cette intégrale est 47rM, M désignant la quantité totale d'électricité libre contenue à Tintérieur de la surface ; quant au signe il dépend du choix de la direction positive de la normale. On peut convenir de prendre pour le flux de force la valeur — 47rM ce qui revient à prendre pour direction positive de la normale en un point de la surface celle qui est extérieure à la surface; on dit alors que le flux entre dans la surface. On peut donc énoncer le théorème suivant :
IjC flux de force qui entre dans une surface fermée à tintérieur de laquelle se trouve une quantité ^électricité libre M est égal à — 47tM.
12. Relation de Poisson. — Il existe entre la densité électrique cubique p en un point d'un corps électrisé et les dérivées secondes du potentiel en ce point une relation importante due à Poisson. Elle s'obtient très simplement en écrivant, d'après le théorème précédent, que le flux de force qui entre à travers un parallèlipipède rectangle infitiiment petit contenant le point considéré est égal à — 47rp dx dy dz, dx, dy, dz, étant les longueurs des côtés de ce parallèlipipède. On a alors,
e^ rf^ ^
dx^ ^ dy^ ^ dz^ ^""P"
Maxwell désigne le premier membre de cette relation par — A^, notation qui se rattache à la théorie des quaternions dont Maxwell fait d'ailleurs un usage constant. Nous continuerons à désigner cette somme de dérivées secondes par la notation habituelle A<]/.
8 ÉLECTRICCTÉ ET OPTIQUE
Le potentiel étant constant à Tintérieur d'un conducteur, on a A'}=o et par suite, d'après la relation de Poisson, p = o. A rintérieur d'un conducteur, il n'y à donc pas d'électricité libre.
Une autre conséquence de la relation de Poisson est qu'en tout point du diélectrique où il n'y a pas d'électricité libre on a Al)/ = 0. Par conséquent, le potentiel est une fonction constante à l'intérieur d'un conducteur, tendant vers zéro à l'infini et telle que l'on a A<]/ = o en tout point non électrisé d'un diélectrique.
13. Flux d'induction. — Lorsque le diélectrique qui sépare les conducteurs est un corps autre que l'air les phénomènes électriques mesurables changent de valeur. Aussi a-ton été conduit à introduire dans les formules un facteur que l'on appelle potivotr îYidtÂCteur spécifique à\id\é\QC,{v\(\\xQ, Maxwell le désigne par K.
Le produit du flux de force élémentaire par ce facteur est nommé flitx d'induction.
Le flux d'induction à travers une surface finie est la valeur de rintégrale
,- - 4^41 Im'^'%
étendue à tous les éléments de la surface. Quand la surface est fermée nous admettrons (ce que l'expérience confirme) que la valeur de cette intégrale est — 47rM, la direction positive de la normale étant extérieure à la surface. Dans le cas
FORMULES DE L'ÉLECTROSTATIQUE 9
OÙ le pouvoir inducteur spécifique est constant on a
— j- <io) = — 47rM.
an
14. Potentiel d'une sphère électrisée en un point extérieur. — La considération du flux de force permet de trouver facilement la valeur
>ff un point P {fig. 2) du . \S' / g^*
potentiel résultant d'une
sphère conductrice élec- \
trisée S placée dans Tair. /"^ i
— ^ (oH— -îp •
On trouve pour cette va- v^x O^ ;
peur : — > M désignant la /
charge de la sphère et r
la distance du point au
centre de la sphère. De
même la considération du flux d'induction donne la valeur du
potentiel en P quand la sphère est placée dans undiélectriqu^
homogène dont le pouvoir inducteur spécifique. est K.
Du centre 0 de la sphère et avec un rayon égal à OP décrivons une sphère S'. Par raison de symétrie, le potentiel à la même valeur en tout point de S' ; par suite,
dn dr
est constant sur cette surface. On a donc pour le flux d'induction a travers S'
Fig. 2.
^d^ = K^ I ^o, = K^4:rr^ dn dr
La surface élant fermée le flux d'induction est égal à — 47rM. Par conséquent nous avons
K ^ 47rr3 = — AitM, ar
ou
rfr "" K r>'
et par suite
IM
la constante d*intégration étant nulle puisque le potentiel a pour valeur zéro quand r est inOni.
Le potentiel en un point d'un diélectrique de pouvoir inducteur spécifique K est donc, dans le cas d'une sphère, égal au quotient par K delà valeur qu'aurait eu le potentiel en ce point si le diélectrique eût été l'air. Il en est encore ainsi si, au lieu d'une sphère conductrice éiectrisée, le champ électrique est constitué par des masses électriques quelconques.
15. Remarques. — Cette conséquence nous permet de trouver l'expression de la force qui s'exerce entre deux molécules électriques A et A' de masses m et m* situées dans un /^ diélectrique homogène. En effet, soit ^ la valeur du potentiel
au point où se trouve placée la masse w'. La force électrique
qui s'exerce sur cette masse est — m' -^> r désignant la distance des deux molécules supposées seules dans le champ. Or si le diélectrique était l'air, le potentiel au point A' serait -7 ; sa valeur dans un diélectrique de pouvoir inducteur spéci-
FORMULES DE L'ÉLECTROSTATIQUE 11
1 fJt
fique K est donc, d'après ce qui précède, |» — et la dérivée de
1 fH
cette quantité est — rr-^* Par suite, nous obtenons pour la ^orce électrique
elle est la K* partie de la force qui s'exercerait entre les mêmes masses électriques situées dans l'air.
La relation qui existe entre les valeurs que prend le potentiel en un même point suivant que le diélectrique est Tair, ou tout autre corps, permet de savoir comment doivent varier / / /
les charges avec le diélectrique pour que le potentiel en un point conserve la même valeur quel que soit le diélectrique. |
Il est en effet évident que, puisque pour des charges identiques le potentiel se trouve divisé par K, il faut, pour avoir le même potentiel en un peint, que les charges situées dans le diélectrique de pouvoir inducteur K, soient K fois plus grandes.
Si donc nous considérons deux petites sphères électrisées ; ^^
et que nous maintenions constante la différence de potentiel ' j ^ c
entre ces deux sphères, l'attraction qui s'exercera entre elles ! sera proportionnelle au pouvoir inducteur du diélectrique qui ? les sépare. En effet, les potentiels étant constants les charges m et m' des deux sphères seront en raison directe de K et
l'attraction doit être proportionnelle à -^it— i
Ainsi t attraction électrostatique varie en raison directe de K si ce sont les potentiels qu'on maintient constants, et en
iî
raison inverse de K si ce sont les charges qui demeurent constantes.
16. Extension de la relation de Poisson. — Gomme nous Tavons dit, la relation de Poisson s'obtient en écrivant que le flux de force qui entre à travers les faces d'un parallélipipède rectangle est égala — Aitpdxdi/dz. Le flux d'induction à travers une surface fermée étant égal à — 47rM, comme le flux de force à travers cette surface, nous trouverons une relation analogue à celle de Poisson en écrivant que le flux d'induction qui entre à travers les faces d'un parallélipipède élémentaire est égal à — Aiz^dœdydz,
Nous pouvons d'ailleurs arriver très simplement h. cette relation en nous servant du lemme qui sert ordinairement à la démonstration du théorème deGreen, lemme exprimé analytiquement par l'égalité
dans laquelle la première intégrale est étendue à une surface fermée et la seconde au volume limité par cette surface, a désignant le cosinus de l'angle formé par l'axe des x et la normale à l'élément dta de la surface et F une fonction quelconque, mais continue des coordonnées.
Appliquons ce lemme à l'intégrale du flux d'induction à travers une surface fermée,
diù =
