Mais, si la concordance de la formule (I) avec Texpé

(P-n (PI

rience justifie l'introduction des dérivées -f- . ^ \ et t—t

dans les seconds membres des équations du mouvement d'une molécule d'éther, aucune considération théorique ne préside au choix de ces dérivées, à l'exclusion des autres; on ne possédait donc pas encore de théorie de la polarisation rotatoire magnétique. Il est vrai que Airy n'avait pas proposé ses formules comme donnant une explication mécanique de la rotation du plan de polarisation mais seulement, dit-il, « pour faire voir quelle peut être expliquée par des équations qui semblent de nature à pouvoir se déduire de quelque hypothèse mécanique plausible, quoique Ton n'ait pas encore formulé cette hypothèse. »

Quelques années avant les expériences de Verdet, M. Gh.

Neumann {*) avait tenté de combler cette lacuue. Nèumànn suppose qae les molécules du fluide èleclrique des courants . particulaires qui, d'après Ampère, prennent naissance à Tintérieur d'un corps aimanté agissent sur lés molécules d*éther; en outre il admet que ces actions réciproques, comme celles qui s'exercent entre deux molécules électriques dans la théorie de Weber, sont modiflées par le mouvement relatif de ces molécules. 11 résulte de ces hypothèses qu'une 'molécule d'éther est soumise non seulement aux forces résultant de l'élasticité de l'éther, mais encore à des forces, variables' avec le temps, provenant des actions des molécules électriques voisines. Neumann démontre que la résultante de ces dernières forces est à chaque instant proportionnelle à la vitesse de la molécule d'éther et à la force magnétique et perpendiculaire au plan de ces deux directions. Par conséquent, si nous considérons une onde plane se propageant suivant la direction du champ magnétique, et si nous prenons lé pian des xy parallèle à l'onde, les composantes suivant les axes des œ et des y, de cette résultante auront respectivement pour valeurs

a étant un coefficient proportionnel à l'intensité du champ.

Nous aurons donc pour les équations du mouvement d'une molécule d'éther

P dt^ "" dz^ ^ di

(*) Die magneliêche Drehung der Polarisationsebene des Lichtes. Halle, 1863.

Ces équations ne diffèrent des équations de Mac-Cullagh (213) que par la substitution des dérivées de yj et S par rapport à t aux dérivées du troisième ordre de ces mêmes quantités par rapport à z; par suite elles doivent conduire pour la valeur de la rotation du plan de polarisation à la formule (III), formule en complet désaccord avec Texpérience. La tliéorie de Neumann, bien que remarquable par la simplicité des hypothèses, doit donc être rejetée.

216. Théorie de Max'well. — Ainsi, an moment où Maxwell écrivait son Traité, il était reconnu que la théorie de Neumann conduisait à une formule en complète contradiction avec les résultats expérimentaux, et que, des formules proposées par Airy, la formule (I) était celle qui s'accordait le mieux avec ces résultats. Il sufYisait donc, pour obtenir une théorie acceptable dé la polarisation rotatoire magnétique, d'expliquer par des h3'pothèses plausibles, l'addition des

dérivées -)- J^ et — 'TTT, ^^^ équations du mouvement

d'une molécule d'éther dans un milieu isotrope.

Faisons observer que Tintroduction de ces dérivées dans les équations du mouvement peut, indépendamment de toute idée théorique, s'effectuer de deux manières différentes.

Pour le montrer rappelons en quelques mots comment on arrive aux équations du mouvement d'une molécule d'éther dans un milieu isotrope {*). Si nous appelons U la fonction des forces qui résultent de l'élasticité de l'éther lorsqu'un ébranlement se propage dans ce milieu, le mouvement d'une molécule de masse m subissant un déplacement l suivant

(1) Théorie nuithémaliqtAe de la lumière, pp. 1 à 48 et 176 à 182.

l'axe des ce, est donné par l'équation

si \ n'est qa'une des composantes du déplacement et t^, et ( les deux autres composantes, nous aurions en outre deux équations analogues. Lorsqu^on admet que les forces qui s*exercent entre les molécules n'agissent qu*à des distances excessivement petites, la fonction U peut s'écrire

U = r WrfT,

W étant la valeur de la fonction des forces, rapportée à l'unité de volume, au point occupé par l'élément dx, et l'intégrale étant étendue atout l'espace occupé parl'éther. L'étude de W montre que c'est une fonction des dérivées partielles des divers ordres de Ç, iq, Ç par rapport aux coordonnées a?, y, ^, et, par diverses transformations, on arrive à mettre les équations du mouvement (1) sous la forme

Pe/^a — Ijdx dT;!'^ 2^ dx^ d^' '" '

r étant l'une quelconque des dérivées de l par rapport kœ^y.z; X' une quelconque des dérivées secondes de \ par rapport à ces mêmes variables. Ces équations nous montrent que les termes de W qui ne contiennent ces dérivées qu'à la première puissance doivent disparaître lorsqu'on suppose les déplacements périodiques. Par conséquent, si nous négligeons les termes du troisième degré par rapport à ces dérivées et si nous désignons par Wj l'ensemble des termes du second degré, l'équation

précédente devient

^^^ ^3?"- Zjdœ di' '^ Zjdx* dV'

En général, le second membre de cette équation contient des dérivées de Ç, 7|, Ç, par rapport à x, y, z, de tout ordre à partir du second, mais pour les milieux isotropes les dérivées d'ordre impair disparaissent. Cette équation se simpllRe encore dans ce cas, lorsqu'on considère une onde plane perpendiculaire à l'axe des z ; il ne reste plus que les dérivées d'ordre pair de Ç par rapport à z. L'équalion précédente peut alors s'écrire

Les deux autres équations du mouvement s'obtiendraient (>n remplaçant dans celle-ci, \ par 7|, puis par C*

Mais les équations générales telles que (2) peuvent se mettre sous la forme indiquée par Lagrange,

^^ dxW d\^ d^

où U a la môme signification que précédemment cl où T désigne l'énergie kinétique,

V, V» C représentant maintenant les dérivées par rapport au temps. Cette derni(''re équation n*étant qu'une transformation

de l'équation (2), il est évident qu'elle ne peut contenir, comme celle-ci, que des dérivées d'ordre pair dans le cas d'un milieu isotrope. Par conséquent, pour que les équations du mouvement contiennent des dérivées d'ordre impair il faut introduire des termes complémentaires, soit dans l'expression de la fonction U relative aux corps isotropes, soit au contraire dans l'expression T de l'énergie kinélique. On a donc deux moyens différents pour arriver aux formules d'Airy.

217. Dans les théories ordinaires de la lumière c'est la fonction U qui, changée de signe, représente l'énergie potentielle du milieu, que l'on modifie toutes les fois qu'il s'agit d'expliquer les phénomènes présentés par les milieux anisotropes. Dans la théorie de la polarisation rotatoire de Maxwell, c'est, au contraire, l'énergie kinétique T qui est modifiée, U conservant la même expression que dans un milieu isotrope. Quant aux raisons invoquées par ce physicien pour juslifier cette modification et surtout pour arriver aux termes complémentaires qu'il convient d'introduire dans T pour retrouver la formule (I), elles laissent beaucoup à désirer comme précision et comme clarté. Nous y reviendrons plus tard; pour le moment acceptons sans explications le résultat des spéculations de Maxwell et montrons comment l'équation (4), et les deux qui s'en déduisent par la substitution de Y| etC à S, conduisent dans le cas d'une onde plane, à la ^ y 0

formule 0}:^ /5

Si nous posons

dy (p étant une fonction quelconque et a, p, y les composantes de

la force magnétique, le terme complémentaire introduit par Maxwell dans Ténergie kinétique a pour expression.

Dans le cas d*une onde plane parralèle au plan desâpy, les composantes C, i\, C ne dépendent ni de x, ni de y; par suite, on a :

d^'^^ dz et le terme complémentaire se réduit à

"A(vS-î'â)*-

L'énergie kinétique est donc égale à

218. Cherchons ce que devient Téquation (4) lorsqu'on y porte cette valeur de T.

Si nous supposons X constant, nous avons

POLARISATION HOTATOIRE MAGNÉTIQUE 251

Le terme principal de T ne donne rien dans — ; quant an

terme complémentaire, il faut le transformer pour pouvoir calculer sa dérivée par rapport à l. Or, on peut écrire

* = Av I ^ -ff; g *.

la première intégrale du second membre étant étendue à la surface du volume considéré, et X désignant le cosinus de Tangle formé par Taxe des œ avec la normale à Télément dia de celte surface. Si nous supposons les intégrales de volume étendues à l'espace tout entier ses éléments de l'intégrale double se rapportent à des points situés à Tinfini. Comme on peut supposer que S, y\, C sont nuls à Tinfini, les éléments de cette intégrale sont également nuls, et nous pouvons écrire

f dz dz

En effectuant une transformation analogue pour Tintégrale du second membre de Fégalité, précédente nous obtenons

La dérivée par rapport à Ç de cette dernière intégrale est

252 ÉXBCTRICITÉ ET OPTIQUE

par suite le terme complémentaire de T donne

dans l'équation (4) et celle-ci peut s'écrire :

D'après Cauchy --77- a pour expression dans un milieu isotrope

C'est d'ailleurs ce qui résulte de la forme du second membre de Féquation (3). L'équation (i) et celle qui s'en déduit en remplaçant ; par r^ deviennent donc

\ '^ di'~^^dz^dt-'^^^d::^'^'^*d3*^"" r - dt^^-^dz^dt-^^dz^^'^' d2*^""