Cherchons à satisfaire k ces équations en posant

S l = rcos(nt — qz) r Yj = r sin (n< — qz)

égalités qui exprim»^nt que la molécule considérée décrit une circonférence de rayon r. En substituant ces valeurs de ; et t„ nous obtenons, après suppression des facteurs communs, l'équa-

lion de condition

(8) pn^ - 2CYî>n = Ao^* + A^q* +...

En divisant les deux membres par q* nous avons une équation du second degré en - Ce rapport exprimant la vitesse

de propagation du mouvement, nous avons donc deux valeurs pour cette vitesse. Mais le coefficient Ao étant positif et les coefficients A^..., étant très petils, Tune de ces valeurs est négative et il n'y a pas lieu de la considérer, si Ton ne s'occupe que des phénomènes qui se passent au-dessus du plan desa;^.

Si nous donnons à n deux valeurs ne différant que par le signe, ce qui correspond à deux molécules décrivant la circonférence de rayon r en sens inverses, les valeurs positives

de - sont différentes, pourvu toutefois que y ne soit pas nul.

Un rayon circulaire droit ne se propage donc pas avec la même vitesse qu'un rayon circulaire gauche, par conséquent Tun d'eux prend une avance sur l'autre et si ces rayons proviennent d'un même rayon polarisé rectilignement ils se composent à la sortie du milieu pour donner un rayon polarisé rectilignement mais dont le plan de polarisation n'a pas le même azimut que la lumière incidente ; il y a donc rotation

du plan de polarisation.

220. Évaluons cette rotation. On sait qu'elle est égale à la moitié de la différence de phase que les rayons droit et gauche contractent, l'un par rapport à l'autre, en traversant le milieu et qu'elle s'effectue dans le sens du mouvement des molécules du rayon qui va le plus vite. Si donc nous dési-

gnons par ([ el par q[' les valeurs de q pour le rayon droit et pour le rayon gauche et par c Tépaisseur du milieu traversé, le plan de polarisation tournera dans le sens des aiguilles d*une montre d'un angle égal à

Mais d*aprés Téquation de condition (8), q dépend de y. Comme d'ailleurs la variation de q due à l'action magnétique n*est toujours qu'une très faible fraction de la valeur même de 9, nous pouvons écrire

q^ étant la valeur de q pour une force magnétique nulle. Cette quantité q^ doit donc satisfaire à l'équation (8) dans laquelle on prend y = o ; par suite on a

pna== Aoy?4-A^9j +

Les quantités c( et g" doivent satisfaire à cette même équation (8) dans laquelle on donne à n des valeurs ne différant que par le signe; à la valeur positive de n correspondra la valeur q[' puisque d'après les équations (7) on a un rayon circulaire gauche se propageant suivant la direction positive de Taxe des x quand n est positif ; à la valeur négative de n correspondra au contraire la valeur q' ; par conséquent nous aurons

pn2 + 2Gr/>n = Ao^'^ +A^ç'^ +

La comparaison des trois dernières relations montre immédiatement que Ton a q'>q^ ^^ ^< 9o> ^o\i% devons donc écrire

Si nous portons ces valeurs de q' et q'' dans l'expression de la rotation, nous obtenons

ou, en confondant les valeurs des dérivées de q' et de q' par rapport à y<

221. En dérivant par rapport à y les deux membres de réquation (8) où nous considérons n comme constant, nous avons

Mais, admettre, comme nous Favons fait, que la quantité q ne varie que très peu sous Tinfluence d*un champ magnétique, c'est supposer que le coefficient C est très petit. Nous

pouvons donc négliger le terme ACr^qn ^ par rapport aux

ternies du second membre, et il vient alors

(10) ^ = - 2Cç«« ^

dq

Si maintenant, dans l*éqaation (8) nous regardons y comme constant nous avons en dérivant par rapport à n

2p«-2CTÇ»«-4Cr9«^ = {2M+4A,93+ )|=gg-

Pour la même raison que précédemment le terme âCr^'n peut être négligé par rapport à 2pn et le terme iCygn -|^ par rapport à ceux du second membre ; par suite nous obtenons

^ dq dn

Si nous portons dans la relation (10) la valeur de -7- tirée de celte dernière égalité, nous avons pour la valeur de la dérivée partielle ~t

^"' d-^- p dn

Pour exprimer celte dérivée en fonction de la longueur d*onde dans le vide X, de la lumière considérée et de Tindice de réfraction t du milieu, remarquons que Ton a

ql = 27ri et nX = 2:rV,

y étant la vitesse de propagation dans le vide. De ces deux

relations nous tirons

in 9=V'

et par conséquent

En outre, en dîfféreniiani la seconde, nous obtenons

d'où

\dn

-\-ndX

dn

dX

et

di dn

L'égalité (12) peut donc s'écrire

dn — yy ^dk)'

si nous portons cette valeur dans la relation (il) et si dans

cette relation nous remplaçons q par sa valeur -r-' ^ons obtenons

Par conséquent, en posant

pV

la valeur de la rotation donnée par la formule (9) deviendra

6 = mcy^i-X^

Nous retrouvons donc bien la formule (I) d'Airy.

222. Interprétation du terme complémentaire de l'énergie kinétique. — Il s'agit maintenant d'expliquer l'introduction du terme complémentaire (5) dans l'expression de Ténergie kinétique du milieu. Gomme nous Tavons dit les

ÂLEGTRiaTé ET OPTIQUE. 17

explications de Maxwell n'ont pas toute la rigueur qu'on désirerait y rencontrer. Essayons cependant de les reproduire^ Mcucwell pose ainsi, la question : L'expérience apprend qu'un milieu isotrope soumis à l'action d'un champ magnétique fait tourner le plan de polarisation de la lumière ; par conséquent un rayon polarisé circulairement ne se propage pas avec la même vitesse suivant qu'il est droit ou gauche. Or si les composantes du déplacement d'une molécule d'éther sont exprimées par les équations (7), nous aurons un rayon circulaire droit ou gauche suivant que n est négatif ou positif.

La vitesse de propagation suivant l'axe des ^ est - ; comme

elle doit avoir une valeur différente pour le rayon droit et pour le rayon gauche, à deux valeurs de n ne différant que par le signe doivent correspondre deux valeurs de 9 différentes et de signes contraires; ou bien, ce qui revient au même, à une valeur de q doivent correspondre deux valeurs de n différant par la valeur absolue et par le signe. Mais le milieu considéré constitue un système dynamique dont l'état est déterminé, à chaque instant, par un certain nombre d'équations. Nous avons donc à rendre compte de ce fait que, pour une valeur déterminée donnée à Tune et à Tautre des quantités g et r, il y a deux valeurs distinctes de n qui satisfont à ces équations.

Écrivons l'équation de Lagrange relative au paramètre r,

d d1 dT d\] dt dr' dr dr

Ce paramètre ayant une valeurdéterminéene changeant pas avec le temps, r est nul ; par conséquent le premier terme

disparaît de Féquation précédente, qai devient

dr * dr

Mais T, énergie kinétique du système, est une fonction homogène du second degré des vitesses de ce système ; T contient donc n*, puisque n est la vitesse angulaire d*une molécule d'éther. Il peut également contenir des termes où se trouvent les produits de n par d'autres vitesses et aussi des termes dans lesquels ces vitesses entrent au second degré mais où ne figure pas n. Quant à U, Maxwell suppose qu'il conserve la valeur qu*il possède dans un milieu isotrope non soumis à Taction du magnétisme ; par suite, U ne renferme que des dérivées de Ç et yj par rapport à z; il ne contient donc pas n. Par conséquent l'expression la plus générale de l'équation de Lagrange que nous venons de considérer est

An* + Bn 4- C = o.

Puisque, d'après ce qui précède, cette équation doit être satisfaite pour deux valeurs de n inégales en valeur absolue, il faut nécessairement que B soit différent de zéro. Gomme les termes Bn proviennent uniquement de l'énergie kinétique, celle-ci contient donc au moins deux séries de termes. L'une, An*, est homogène et du second degré par rapport an; c'est l'expression de l'énergie kinétique d'un milieu non soumis à l'action du magnétisme. L'autre contient la première puissance de n;elle est due au champ magnétique et par suite elle représente le terme complémentaire qu'il s'agit d'expliquer ou au moins une partie de ce terme.

223. Voici maintenant les conclusions que Maxwell déduit de ce qui précède :

« Tous les termes de T sont du second degré par rapport aux vitesses. Donc les termes qui renferment n doivent renfermer quelque autre vitesse. Or cette autre vitesse ne peut être ni r' ni q\ puisque, dans le cas que nous considérons, r et g sont constants. C'est donc une vitesse existant dans le milieu, indépendamment du mouvement qui constitue la lumière. De plus, ce doit être ayant une quantité avec n une relation telle qu'en la multipliant par n le résultat soit unequantité scalaire ; car, T étant une quantité scalaire, ses termes ne peuvent être que des quantités scalaires. Donc cette vitesse doit être dans la même direction que n ou dans la direction contraire, c'est-à-dire que ce doit être une vitesse angulaire relative à Taxe des z.

« Or cette vitesse ne peut être indépendante de la force magnétique; car, si elle se rapportait à une direction ûxe dans le milieu, les phénomènes seraient différents quand on retourne le milieu bout pour bout, ce qui n'est pas le cas.

« Nous sommes donc amené à cette conclusion, que cette vitesse est obligatoirement liée à la force magnétique, dans le milieu où se manifeste la rotation magnétique du plan de polarisation [Traité d électricité^ t. II, § 820). »

Un peu plus loin (§ 822), Maxwell ajoute :

« Lorsqu'on étudie l'action du magnétisme sur la lumière polarisée, on est donc conduit à conclure que, dans un milieu soumis à l'action d'une force magnétique, une partie du phénomène est due à quelque chose qui, par sa nature mathématique, se rapproche d'une vitesse angulaire agissant autour d'un axe dirigé suivant la force magnétique.

POLARISATION ROTATOIRR MAGNÉTIQUE 261

(( Cette vitesse angulaire ne peut être celle d'aucune partie de dimensions finies du milieu, tournant d*un mouvement d'ensemble. Nous devons donc penser que cette rotation est celle de parties très petites du milieu tournant chacun autour de son axe. Telle est l'hypothèse des tourbillons moléculaires. 9

224. Ainsi, d'après Maxwell, l'explication de la polarisation rotatoire magnétique doit résulter de l'existence de tourbillong dans le milieu soumis à l'action d'un champ magnétique, tourbillons que nous avons déjà vu intervenir dans l'interprétation des pressions électrodynamiques (210). Mais quelles sont les lois qui régissent les mouvements de ces tourbillons? Maxwell avoue notre ignorance absolue sur ce sujet et, faute de mieux, il admet que les tourbillons d'un milieu magnétique sont soumis aux mêmes conditions que ceux queHelmholtz(*) a introduits dans l'Hydrodynamique, et que les composantes d'un tourbillon en un pomt sont égales à celles de la force magnétique en ce point.

Une des propriétés des tourbillons de Helmholtz peut s'énoncer comme il suit : soient P et Q deux molécules voisines sur l'axe d'un tourbillon ; si le mouvement du milieu a pour effet d'amener les molécules en F et en Q', la droite FQ' représente la direction de l'axe du tourbillon, et la grandeur de celui-ci est modifiée dans le rapport de PQ à P'Q'.

Si nous appliquons cette propriété aux tourbillons d'un milieu soumis au magnétisme, nous aurons, en applant a, p, y, les composantes de la force magnétique au point P, a', p' y', les composantes de cette même force quandlepoint Pest venu

(1) Sur le mouvement tourbillonnaire ; Journal de Crelle, vol. LV, 1858.

^.i'jy

262 ÉLECTRICITÉ BT OPTIQUE

en F, et S, n), Z> les composantes du déplacement da point P,

225. Les composantes de la vitesse angulaire d*un élément du milieu ont pour valeur

/4QN ( irfM ^\

^'^ ±cU\dœ dy)

Or, puisque d'après les conclusions du § 223 l'énergie kinétique doit contenir cette vitesse, le terme correspondant, dans le cas où les axes de coordonnées sont quelconques par rapport à la direction de la force magnétique, doit être de la forme

et le terme complémentaire de l'énergie kinétique d*un certain volume du milieu a pour expression

2 G / (to)^a' -|- cojP 4" <«>8y') di.

Si dans cette pression nous remplaçons a', ^\ y par les

valeurs (12) et (04 , o),, a>|, par les valeurs (13) nous obtenons

'=/[-(|-â)+Kf-l)+T(S-D]'"

J L «toW dx)^^dy\dy dz)+^dz\dy d^jj**' J l*di\Tz-d^r^dy[di-d^)+^dz[di-d^)r

, - Tr ^/rfa' «^\ , „^/rfi dv\j d^/dy{ ^\-\.

■^ / Uda!\da!~dt/)^^dy\da>~dy)'^^dz\dx~dy)y^-

Montrons que si l'on étend l'intégration & l'espace tout entier la première intégrale de cette somme est nulle dans le cas qui nous occupe. En effet, en intégrant par parties, le premier terme de cette intégrale donne

/ «^rfT= /«?rfa»fy- / Ç'

-r- ax.

L'intégrale de surface se rapportant à la surface limite, qui est à i'inûni diaprés notre hypothèse, Ç et a sont nuls; par suite l'intégrale elle-même est égale à zéro. Dans Tinté-

grale triple du second membre entre la dérivée -r- ; si donc

le champ magnétique est uniforme, comme c'est généralement le cas lorsqu'on étudie la polaris<ation rotatoire magnétique, cette dérivée est nulle et l'intégrale triple l'est aussi. En prenant ainsi successivement tous les termes de la pre-

mière intégrale de Texpression du terme complémentaire, on verrait qu'ils sont tous égaux à zéro. H n'y a donc à considérer que les trois autres intégrales de cette expression

Celles-ci peuvent se mettre sous une autre forme. Considérons en effet le premier terme de la première d'entre elles; nous obtenons, en intégrant par parties

/•if* = Ai^-/-f

dxdy

ou, puisque l'intégrale de surface est nulle pour les mêmes raisons que précédemment

Le second terme de l'avant-dernière intégrale du terme complémentaire nous donne, en opérant de la même manière.

Î^î5.'— 4. I „r' '^Vt rlT

et nous avons pour la somme des deux termes considérés

dx \dœ dy)

Une transformation analogue effectuée sur tous les termes

POLARISATION ROTATOIRB MAGNÉTIQUE 265

et un groupement convenable de ceux-ci montreraient que Texpression (14) se réduit bien à l'expression (5) que nous avons introduit (217) comme terme complémentaire dans l'énergie kénétique du milieu soumis à l'action du magnétisme.

226. Difflcidt68Souley6§g par la théorie de Maxwell. ^^TY^?^4^ — Dans la théorie que nous venons d'analyser, Maxwell t/ y

semble avoir complètement abandonné la théorie électroma- ^

gnétique de la lumière. Nous avons, en effet, implicitement admis avec ce physicien, que lorsqu'une onde se propage dans un milieu placé dans un champ magnétique, les composantes ^, t\y et C du déplacement d'une molécule d'éther ne dépendent pas directement de la force magnétique. Or, nous avons vu (189) que la concordance de la théorie électromagnétique de la lumière avec les théories actuellement adoptées pour l'explication des phénomènes lumineux exigeait que les dérivées par rapport au temps de S, vj, C soient respectivement égales aux composantes a, p, y de la force magnétique. Pour que la théorie de Maxwell sur la polarisation rotatoire magnétique s'accorde avec la théorie électromagnétique il faudrait qu'il en fût encore ainsi ; c'est ce qui ne semble pas avoir lieu.

D'autre part les formules de Helmholtz semblent assez difficilement applicables au cas qui nous occupe. Elles s'appuient sur les principes de l'Hydrodynamique qu'il serait sans doute malaisé d'étendre à l'éther, puisqu'il faudrait y supposer une pression uniforme dans tous les sens.

Elles supposent en outre qu'il y a entre les composantes du déplacement et celles du tourbillon, certaines relations qui

26r» ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

pourraient s'écrire :

cPî; cPf\ dydt dzdt

d^\ d}^ ^ ctzSl dxdt

^ dœdt dydt

et dont Maxwell ne lient pas compte.

227« Admettons pour un instant que les dérivées W V) C sont respectivement égales à a, p, y et cherchons les conséquences de cette hypothèse.

Le terme principal de Ténergie kinétique devient

^/(«• + P* + T')rfT.

Les binômes alternés qui entrent dans l'expression (14) du

terme complémentaire ou les dérivées par rapport au temps

de ceux qui se trouvent dans Tex pression (5) de ce même terme ont alors pour valeurs

c?Ç' dy\ rfj d^

dy dz dy dz

^' ___ rfÇ rfa rfj dz dx dz dx

(^ c^' __ c?p __ rfx^ dx dy dx dy

Mais d'après les équations (11) du § 167 les seconds membres de ces égalités sont respectivement égaux à 47ru, 47rt?, knio. Comme u, t?, t^, sont les dérivées par rapport au temps des composantes /*, g^ h du déplacement électrique nous obte-

POLARISATION ROTATOIRB MAGNÉTIQUE 267

nons donc en intégrant,

d^ dn j,

dx dy

Par conséquent Texpression (5) du terme complémentaire peut s'écrire

Les quantités désignées par les symboles ^***' renfermant

les produits des composantes de la force magnétique par les dérivées du déplacement électrique prises par rapport à œ^ y, z^ ce terme complémentaire est du troisième degré par rapport à ces quantités. Dans le terme principal de T, a, p, y entrent au second degré, mais les dérivées du déplacement électrique n*y figurent pas. Par conséquent, en général les équations du mouvement seront linéaires, comme cela a lieu dans les théories ordinaires de la lumière ; dans la polarisation rotatoire, elles cesseront d*étre linéaires par suite de Fintroduction du terme complémentaire. H en résulte que dans ce dernier cas la vitesse de propagation des perturbations constituant la lumière dépendra de x, p, y et par conséquent de rintensité lumineuse qui est fonction de ces quantités. Cette conséquence est tout à fait contraire aux faits observés dans tous les autres phénomènes lumineux ; il est

donc permis de douter qu'il y ait accord entre la théorie électromagnétique et la théorie de la polarisation rotatoire magnétique.

228. Toutefois il ne faudrait pas sur cette conclusion, se hâter de rejeter cette dernière théorie. C'est qu*en effet, dans les conditions où se font les expériences, on se trouve dans un des cas particuliers, où quoique le terme complémentaire soit du troisième degré, les équations du mouvement sont linéaires.

Pour le montrer considérons une onde plane polarisée, et prenons pour plan des xy un plan parallèle à Tonde. Le déplacement électrique s'effectuant dans le plan de Tonde (180) la composante h est nulle. En outre /*et ^ne dépendent ni de œ ni de y. Par conséquent le terme complémentaire (16) se réduit à

47rC I Y l'a ^4- B '^\ rfr.

+fi)

Les composantes a, p, y de la force magnétique peuvent être considérées comme la somme des composantes de la force magnétique du champ constant dans lequel se trouve le milieu traversé par Tonde et des composantes de la force magnétique du champ dont les perturbations périodiques donnent lieu aux phénomènes lumineux. Ces dernières composantes sont variables avec le temps. Mais nous savons que la

• force magnétique du chainp périodique est dirigée dans le

plan de Tonde ; sa composante suivant Taxe des z est donc nulle dans le cas qui nous occupe. Par suite la quantité y qui entre dans l'expression précédente du terme com*

POLARISATION ROTATOIRK MAGNÉTIQUE 269

plémentaire a pour valeur la composante suivant Taxe des z du champ constant produit par les aimants ou les courants. Cette quantité étant constante le terme complémentaire n'est

* /If fin

plus que du second degré par rapport à *, p, ^ et -f- et les

équations du mouvement redeviennent linéaires.

On peut d'ailleurs faire voir autrement que y est une constante. En effet, écrivons Téquation de Lagrange relative à cette quantité; nous aurons

dt c?y' df dy

Or d'après Cauchy, U ne dépend pas de C ; par suite il est indépendant de y et le second membre de cette équation est nul. Le premier terme est aussi nul puisque T, qui a ici pour valeur

ne contient pas y. Par conséquent Téquation précédente se réduit à

cm

OU, en remplaçant T parla valeur précédente et effectuant la dérivation y

Pour que y soit constant il suffit donc que le second terme

S70 ÉLECTRICITÉ BT OPTIQUE

le soit également. Or, û nous tenons compte des relations (15) qui donnent les composantes du déplacement, nous avons pour ce terme

ou, puisque Tonde est perpendiculaire à Taxe des z,

ou enfin

Mais S et Y) étant les composantes du déplacement d*une molécule d'éther, ces quantités satisfont aux équations

Ç = r C08 (n/ — qz), Tr| = r sin {nt — qz).

Si nous calculons les dérivées de E et t) par rapport à t et leurs dérivées secondes par rapport à ^ et si nous portons les valeurs ainsi trouvées dans le terme précédent, nous obtenons

Cr^nq^ [ — cos {nt — qz) cos [nt — qz) — sin (nt — qz) sin (nt — qz)]

:= — Cr^nq,

Cent donc une quantité indépendante de t; par suite y est constant.

229. Une autre difficulté de la théorie découle de l'application des propriétés des tourbillons d'Helmholtz aux tourbillons moléculaires d'un milieu soumis au magnétisme. En

effet il faut nécessairement que l'énergie de ce milieu ait pour valeur

Or, si tt; p, Y sont, comme l'admet Maxwell, les composantes d'un tourbillon d'Helmholtz l'énergie kinétique du milieu a une valeur toute différente.

Il parait assez difficile d'aplanir cette difficulté. On ne pourrait guère y parvenir qu'en modifiant profondément la théorie de Maxwell et ces modifications la rapprocheraient de la théorie proposée par M. Potier.

230. Théorie de M. Potier. — Cette théorie est fondée sur les deux hypothèses suivantes:

i® La matière pondérable participe dans une certaine mesure, variable avec la longueur d'onde, au mouvement de l'éther;

^ Les molécules d'un corps pondérable deviennent de véritables aimants sous l'action d*un champ magnétique.

La première hypothèse, déjà admise par Fresnel, semble confirmée par les expériences de M. Fizeau sur l'entratnement de l'éther; la seconde est conforme au mode ordinaire d'interprétation des propriétés magnétiques ou diamagnétiques des milieux pondérables.

De ces deux hypothèses il résulte que chaque molécule aimantée du milieu éprouve un déplacement périodique lorsqu'un rayon traverse ce milieu. En général ce déplacement n'est pas une translation, les deux pôles de l'aimant se déplaçant de quantités inégales ; la direction de l'axe magnétique

d'une molécule change donc périodiquement ainsi que les composantes de son moment magnétique et, par suite, des forces électromotrices d'induction prennent naissance dans le milieu. Ces forces s*ajoutant à celles qui résultent de la perturbation magnétique constituant la lumière, la loi qui lie cette perturbation au temps se trouve modifiée et on conçoit que le plan de polarisation change d'azimut.

281. Montrons, en effet, que les hypothèses de M. Potier conduisent à introduire dans Texpression de l'énergie kinétique le terme complémentaire de Maxwel et, par conséquent, permettent de retrouver la formule (I) d'Airy.

Soient a?, y, z eiœ -{• Sa?, y + 8y, -a- -f- 5-3- les coordonnées des pôles d'une molécule aimantée dans sa position normale, et -[- ^ 6t — m les masses magnétiques respectives de ces pôles ; nous avons pour les composantes du moment magnétique de la molécule,

mSo?, m5y, mhz.

Pour avoir les valeurs nouvelles de ces composantes lorsque la molécule est dérangée de sa position d'équilibre par l'effet de la perturbation lumineuse, il nous faut connaître la direction suivant laquelle la matière pondérable est entraînée par cette perturbation. Nous admettrons, ce qui est le plus naturel, que cette direction est celle du déplacement électrique. Gomme d'ailleurs, dans la théorie électromagnétique, le déplacement électrique est perpendiculaire au plan de polarisation (189), cette hypothèse revient à admettre que la matière pondérable se déplace suivant la direction de la vibration de Fresnel. Si donc /*, g, h sont les composantes* du

POLARISATION HOTATOCRE MAGNÉTIQUE 273

déplacement électriqae au point x, y, 3, et ■ un coefficient de proportionnalité, nous aurons pour les coordonnées de l'un des pôles de la molécule déplacée,

et pour les coordonnées de l'autre p6le,

œ + Sai + */•-!- tZf, y -f- îy + tjf -|- «S^, «-f-S» + t A+ (SA.

La variation If de la composante f du déplacement pour les variations %x, Ey, Ix des coordonnées peut se développer suivant les puissances croissantes de ces dernières quantités ; en négligeant les termes du second degré et des degrés plus élevés, nous aurons

Par conséquent les composantes du moment magnétique de la molécule déplacée sont données par

t»{Ba:-|-«B/) = m!a:-f- 1 -r-mZx -{-^-r wÔy + * -j-mZx,

et deux autres expressions analogues.

282. Introduisons les composantes de la magnétisation. Soient A, B, C ces composantes au point x, y, z ; A', B', C leurs nouvelles valeurs quand ce point s'est déplacé de tf, tff, %h; nous avons

kdf = m&r, BSt ^ mSy, Cdt := tnlx

Kdt=m{%a->r*ii). B'tfr— «(Sy-|-sV}i C<it^m{lj-\-,lh),

274 ÉLKCTRICÎTÉ ET OPTIQUE

dx étant le volume de la molécule aimantée. Par suite la dernière égalité du paragraphe précédent peut 8*écrire

Mais les composantes de la magnétisation sont liées à celles de la force magnétique (103) par les relations

A = xa, B = xp, G = xy

X étant la fonction magnétisante. Par conséquent Tégalité précédente devient, lorsqu'on y remplace A, B, C par ces valeurs,

OU

233. D'autre part Tinduclion magnétique a pour composantes a = a + 47r A, 6 = p -f- 47rB, c = y + ^'^^

et ces composantes deviennent après le déplacement de la molécule

a' = *' + 47rA', *' = ?' + ^ttB', c = y' + 47cC'.

Montrons que les composantes a', p', y' de la force magnétique qui entrent dans ces dernières égalités sont respectivement égales à a, p, y.

Nous avons en décrivant par rapport à x les deux membres de Téquation (i).

dx cfa? *" d>t dx

En dérivant B' par rapport à y et G' par rapport à z et additionnant les trois dérivées partielles ainsi trouvées, nous obtenons

dx "^ dy ~^ dz cte ' û?y dz

Mais par suite de Tincompressibilité de rélectricité la somme des dérivées partielles -J-j ^> -r- est égale à zéro ; par suite, Tégalité précédente se réduit à

e/A' . dB\ dC dk , dB , dC

dx ^ dy dz dœ dy ^ dz

Le premier membre est, au signe près, la densité au point 07 + e/; y + 6^, ^ + eA de la distribution magnétique fictive pouvant remplacer dans ses effets le corps soumis à rinfluence du champ ; le second membre représente la même quantité au point û?, y, z.

Par conséquent la distribution fictive n*est pas modifiée par le déplacement des molécules aimantées. La force magnétique en un point doit donc conserver la même valeur que ces molécules soient, ou non, dans leurs positions d'équilibre.

234. Puisque nous avons nous obtenons en remplaçant A' par sa valeur (1)

Or on sait que

i + 47CX = jx ; par suite si on pose

xe = SttG,

(C ne désignant pas la composante de la magnétisation suivant l'axe des z), on obtient pour les composantes de Tinduction

a' = |xa + 327r»C ^^ 6' = H^p + 32,r»C ^, e' = |xy + 327r^C f .

L'énergie kinétique du milieu,

aura donc pour valeur

Nous retrouvons donc la môme valeur que dans la théorie

/ de Maxwel, le terme complémentaire étant mis sous la

f^.2ày forme (16) (<).

(1) Postérieurement à Tépoque où ces leçons ont été faites d'après les in- / dications verbales de M. Potier, ce savant a exposé sa théorie de la polarisation rotatoire magnétique dans deux notes publiées, Tune dans la traduction française du Traité de Maxwell (t. II, p. 534), l'autre dans les

I Complet rendus de l'Académie de* Sciences [t. CVllI, p. 510). Dans ces

285. Théorie de M. Roi^land (<). — Avant M. Potier, M. Rowland avait essayé de concilier la théorie de la polarisation rotatoire magnétique avec la théorie électromagnétique de la lumière en introduisant une hypothèse dont l'origine résulte d*une interprétation d'un phénomène découvert peu de temps auparavant par M. Hall (*).

Rappelons en quoi consiste le phénomène de Hall. Soit ABGD

deax notes, M. Potier détermine les composantes de la force électro motrice induite par le déplacement des molécules aimantées et démontre qu'en chaque point du milieu cette force étectrOmotrice est normale au courant qui passe par ce point, dirigée dans le plan de Tonde, proportionnelle au courant et à la composante suivant la direction du rayon de la force magné- Uque. Introduisant ensuite les composantes de cette force élertromotrice dans les équations du champ magnétique, il en tire les équations différenliellés qui donnent à chaque instant les composantes de la perturbation. Il arrive ainsi dans le cas d'une onde de plan parallèle au plan des xy, soit aux équations

„ dPQ ^„ ^ d>F d*G

qui donnent les composantes du moment électromagnétique, soit aux

équations

qui donnent le mouvement d'une molécule d'éther. Ces deux groupes d'équations contenant des dérivées du troisième ordre conduisent comme nous l'avons vu, à la rotation du plan de polarisation.

Le mode d'exposition de M. Potier, qui n'est d'ailleurs pas Identique dans les deux notes, diffère donc beaucoup de celui que nous avons adopté; il se rapproche de celui que nous suivrons dans l'exposé de la théorie de M. Rowland. "^'^ '^

"^'^ 'PhTloéàphîecU }fagaiine, avril 1881 ; Mascart et Joubrrt. TraiU i'électrieité t. I, p. 702 et suiv.

(<) American Journal of Maihtmaiic$, t. 11,1879.

C et '-i

(fig, 35) un conducteur métallique très mince taillé en formé de croix, parcouru par le courant d'une pile de A en B et dont les extrémités CD de la branche transversale communiquent avec un galvanomètre. En déplaçant les points d'attach^des fils du galvanomètre on arrive facilement à ce qu'aucun cou-

Fig. 35.

rant dérivé ne traverse le galvanomètre. L'appareil étant ainsi disposé, si on le place dans un champ magnétique très intense de telle sorte que son plan soit perpendiculaire à la direction du champ on voit l'aiguille du galvanomètre dévier. Pour la plupart des métaux et pour un champ magnétique traversant le plan de la figure d'avant en arrière la déviation du galvanomètre indique que le courant qui traverse cet instrument va de G en D dans la branche transversale du conducteur; le courant AB parait donc entraîné suivant la direction de la force électromagnétique qui s'exerce sur le conducteur lui-même. ÎPourle fer, le déviation de l'aiguille du galvanomètre et, par suite, le courant dérivé changent de sens; néanmoins on peut encore dire que le courant est entraîné suivant la force magnétique, puisqu'à l'intérieur d'une lame de fer, par suite de l'aimantation sous l'influence du champ extérieur, le sens des lignes de force et la direction de la force magnétique ont changé de signe.

Ces faits peuvent évidemment s'interpréter en admettant ^^une forcejlectromotrice prend naissance sous racliqn du, ^hampmMnétig^ei quelle est dirigée suivant la force mô,gnétique qui agit sur la matière pondérable du conducteur. Quant à sa grandeur, comme Teffet observé est toujours trôs petit, on peut admettre quelle est proportionnelle à la force magnétique. Toutefois cette explication est peu satisfaisante, car elle devrait s'appliquer à tout conducteur quelles que soient ses dimensions, et le phénomène de Hall ne se produit plus dès que Tépaisseur de la lame dépasse quelques dixièmes de millimètre. D'ailleurs, elle a été mise en doute par des expériences récentes, notamment par celles de M. Righi et M. Leduc, qui ont montré qu*une hétérotropie // ^. /^ Fpéciale du conducteur sous l'action du champ était la meilleure explication des faits.

286. Quoiqu'il en soit, M. llowland adopte l'hypothèse de la production d'une force électromotrice et suppose qu'une force électromotrice du même genre se développe dans un milieu non conducteur placé dans un champ magnétique lorsque ce milieu est parcouru par les courants de déplacement résu^ tant de la propagation de la lumière. C'est d'ailleurs cette même force électromotrice que M. Potier introduit au moyen d'hypothèses plus acceptables que celles de M. Rowland.

Cette force électromotrice étant proportionnelle à la force électromagnétique et ayant même direction que celle-ci, nous aurons pour ses composantes

P^ = t (et? — ôw), (i) { Q^ = t (aw — cy^,

R^ = c (ÔM — av).

L*induclion magnétique se compose de Tinduction du champ constant auquel est soumis le milieu et de Tinduction du champ périodique donnant naissance à la lumière. Lies composantes de la première sont il%^, (xp|, jjlyi, les composantes de rintensité du champ constant et uniforme étant dp Pi« Yo celles de la seconde sont données par les équations (TII) du § 167. Nous avons donc,

(ffl dG , . dF du , ^ __^ dF.

287. Si Ton considère une onde plane parallèle au plan des xy les variables ne dépendent ni de^o?, ni dej/et les équations précédentes se réduisent à

dÇj ,

Les équations (II) du § 167 qui donnent les composantes w, r, 10 de la vitesse du déplacement électrique deviennent

47rM — — -^ — dz

1 db (i, dz

A-kv = -T- = dz

(X dz

Amo — 0.

En y remplaçant les dérivées de a et de ô par rapport à Zj

par leurs valeurs déduites des équations (2), nous obtenons puisque a^, ^^, Y|, sont constants

{i. dz^ dz {i. dz^

\L dz^ "^ dz \L dz^

4ictt? = o.

Nous pouvons donc, à l'aide des relations (2) et (3), exprimer les composantes de la force électromotrice données par les équations (i) en fonction du moment électromagnétique; nous trouvons pour les composantes parallèles au plan de Tonde

^'- 47r dz^'

^' " 4ir dz^'

quanta la troisième composante il est inutile de la considérer car étant perpendiculaire au plan de Tonde elle ne peut avoir aucun effet sur la perturbation magnétique constituant la lumière. Les composantes de la force électromotrice résultant de celte dernière perturbation étant (177)

^^ dt ^-^ dt

nous aurons pour les composantes parallèles au plan de Tonde de la force électromotrice totale

P— c?F ey^ d^G dt 47r dz^'

^ "" cf^ "T" 47r dz^'

et» par suite des équations (YIII) du § 169,

dt^ 47r dz^dt

dfi^ Anz dz^dt

En remplaçant les premiers membres de ces équations par leurs valeurs (3), nous obtenons enfin

rf^» "^ 4z dzHt ~" |x rfz»'

rf^G Keyi <i?F i e^G

D* après la remarque faite au § 178, a, p, y satisfont à des équations de même forme ; par suite il en est de même des composantes S, tj, C du déplacement d'une molécule d*éther dont les dérivées par rapport à rsont S, T|, (. Nous retrouvons donc les équations du mouvement qui ont conduit Airy à une expression de Tangle 0 de rotation du plan de polarisation d'accord avec Texpérience.

288. Phénomène de Kerr. — A la polarisation rotatoire magnétique se rattache un phénomène découvert en 1876 par M. Kerr (*) et qui consiste dans la rotation du plan de polarisation d'un rayon pelarisé réfléchi sur le pôle d*un aimant.

La lumière d'une lampe, polarisée par un nicol et réfléchie par une lame de verre inclinée à 45®, tombe normalement sur le pôle, s'y réfléchit et, après avoir traversé la lame de

(1) Philosophieai Magatine, 5* série, t. III, p. 321 (1877) ; t. V, p. 161 (1878).

verre et un nicol analyseur, est reçue par l'œil. Une masse de fer, qui est percée d'un trou conique pour permettre le passage aux rayons lumineux, est placée très près de la surface réfléchissante, dans le but de rendre très intense l'aimantation de cette surface.

Ayant placé le polariseur dans une position telle que les vibrations qui tombaient sur les pôles étaient parallèles ou perpendiculaires au plan d'incidence, et ayant tourné l'analyseur jusqu'à l'extinction, M. Kerr vit reparaître la lumière, bien que faiblement, en aimantant par un courant le pôle réfléchissant. Mais comme M. Kerr ne disposait que d'une faible force magnétique, pour rendre l'action plus évidente, il déplaçait légèrement le polariseur ou l'analyseur avant de faire l'expérience, de manière à ce que l'extinction ne fût pas complète. Au moment où l'on fermait le courant dans une certaine direction, la lumière reçue par l'œil augmentait; dans la direction contraire, elle diminuait et souvent Ton arrivait tout à fait à l'extinctiQn. Cette diminution de l'intensité se produisait si, avant le passage du courant, on avait tourné l'analyseur dans une direction contraire à celle du courant d'aimantation. M. Kerr en conclut qu'il se produisait, par l'aimantation, une rotation du plan de polarisation, en sens contraire aux courants d'Ampère.

M. Kerr observa également une rotation lorsque le rayon tombe obliquement, sur la surface réfléchissante ; mais dans ce cas les phénomènes se compliquent de la polarisation elliptique due à la réflexion métalUique, à moins cependant que les vibrations du rayon incident soient ou parallèles ou perpendiculaires au plan d'incidence.

289. M. Gordon (^) et M. Fitzgerald (») répétèrent bientôt ces expériences avec des champs magnétiques très puissants ; les résultats qu'ils obtinrent confirmèrent les travaux de M. Kerr. Plus récemment Tétude de ce pliénomène a été reprise par M. Righi (^) qui Ta rendu plus facilement observable en l'amplifiant par des réflexions successives du rayon lumineux sur deux pôles d'aimant convenablement disposés. Enfin M. Kuntz {*) s'est également occupé de cette question; il a montré que la réflexion sur le nickel et le cobalt donnait aussi naissance au phénomène de Kerr *, de plus, il a reconnu que la rotation du plan de polarisation dans le cas de l'inci^ dence normale, qui change de valeur avec la couleur de la radiation, est plus grande pour les rayons rouges que pour les rayons violets : la dispersion est donc anormale.

Mais malgré ces nombreux travaux et les recherches théoriques de M. Righi (') l'explication complète du phénomène de Kerr fait encore défaut. On ne peut affirmer si c'est un phénomène nouveau ou s'il est dû uniquement au pouvoir rotatoire magnétique de Tair qui environne les pôles. Aussi, n*insisterons-nous pas plus longuement sur ce sujet.

(J) Philosophical Magazine, 5* série, t. IV, p. 104 (1877). (S) Philosophical Magasine, 5» série, t. III, p. 529 (1877). (>) Mémoire présenté à rAcadémie royale des Lincbi (14) décembre 1884. (*) Wied, i4nn., octobre 1884.

(^) Loc.cit. et nouveau Mémoire Inséré dans les Annales de chimie et de physique t septembre 1886.