CHAPITRE II
THÉORIE DE LINDUCTION
12. L'opinion reçue est qa'une fois connues les lois de Télecirodynamique, Tapplication du principe de la conservation de l'énergie suffit à trouver les lois de Tinduction. M. Bertrand a cherché à réfuter cette opinion (^). Je vais discuter ses objections en détail, mais on verra que la plus grande partie du champ de bataille restera à M. Bertrand.
On a deux courants en présence. Chacun est alimenté par une pile ; les conducteurs s'échauffent. S'ils sont mobiles et se rapprochent, il se produit un travail mécanique, ce travail a dû être emprunté à quelque chose : il faut donc admettre qu*un phénomène ignoré jusqu'ici introduit dans les équations un terme nouveau. La loi dQ = Ri^dt est-elle encore applicable? Pourquoi, dit M. Bertrand, de même que la vapeur qui travaille refroidit le vase qui la contient, l'électricité n'aurait-elle pas un effet analogue? On pourrait concevoir
(^) Théorie mathématique de VéleCtricité^ chap. xi, p. 208
que les conducteurs s*échaufl*ent moins quand le courant travaille et ne serait-ce pas aussi vraisemblable que de supposer que les intensités varient?
On peut répondre : non, cette hypothèse ne serait pas apriori aussi vraisemblable que celle qui est confirmée par Texpérience. Supposons que la loi de Joule ne s'applique plus ; les conducteurs s*échauffent moins ; on a c?Q = RPdt — Ude^ H étant une quantité positive dépendant de la vitesse des conducteurs. On pourra rendre H très grand, en donnant à la vitesse une valeur très grande, et il pourra arriver que dQ soit négatif. On emprunterait donc de la chaleur au circuit qui se refroidirait et l'on pourrait la transformer en travail mécanique susceptible d'être transformé à son tour, par frottement, en chaleur à température aussi élevée qu'on voudrait; ce serait contraire au principe de Glausius.
Une autre conjecture est possible : la loi de Joule s'appliquerait, mais la pile consommerait davantage pour donner le même courant. En d'autres termes la loi de Faraday ne s'appliquerait pas aux courants qui produisent un travail mécanique. — Cette hypothèse est fort invraisemblable; si j'ai une pile à Paris et que je la relie par des fils à une machine située à Creil, il serait étrange que, l'intensité restant toujours la même, la loi de Faraday cessât de s'appliquer à Paris quand le courant travaille à Greil.
Malgré rinvraisemblance de ces deux hypothèses, on a peutêtre eu tort d'en regarder la fausseté comme évidente, mais j'appellerai plus particulièrement l'attention sur deux autres objections de M. Bertrand qui me semblent beaucoup plus graves. Il ne s'agit plus en effet d'hypothèses que l'expérience démontre fausses et qu'on n'aurait pas dû pourtant rejeter
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a priori y mais de circonstances réelles dont on a souvent oublié de tenir compte en s'exposant ainsi à des erreurs.
En premier lieu, lorsque deux courants s'attirent^ ils deviennent solidaires, et Ton n*a pas le droit, quoi qu'on le fasse constamment, d'appliquer le principe de la conservation de Ténergie k Tun d'entre eux seulement : il faut considérer le système des deux courants.
Ce n'est pas tout : l'éther a une force vive variable dont il faut tenir compte dans les calculs, comme de la force vive de l'air que met en mouvement un moulin à vent. Ici il y a deux manières de présenter l'objection : on peut supposer qu'un courant permanent rayonne de la force vive comme une lampe constante rayonne de la lumière; on peut supposer au contraire que la force vive de l'éther reste constante dès que l'état de régime est atteint et qu'il n'y en a point d'empruntée au courant : c'est seulement pendant la période variable que la force vive de l'éther varie ; quand le courant croit, l'éther absorbe de la force vive qu'il restitue au moment où le courant décroît.
La première hypothèse, celle du rayonnement indéfini, est contredite par l'expérience, puisque avec un courant permanent la chaleur produite dans les conducteurs est l'équivalent de l'énergie voltaïque de la pile. Il est vrai de dire que l'expérience seule nous l'a appris.
Quant à la seconde hypothèse, non seulement elle n'est pas à rejeter, mais il y a certainement à tenir compte de la force vive communiquée à l'éther, sous peine de ne pas tenir compte des faits. En la négligeant on s'expose à l'erreur.
On pourrait varier les objections à l'infîni, et Ton serait conduit à des conjectures plus ou moins invraisemblables
qu'il faudrait rejeter Tune après Tautre. C'est en quoi M. Bertrand a raison de dire que Texpérience seule pouvait montrer que les lois de Joule, de Faraday et de Ohm sont encore applicables aux courants quf travaillent.
13. Nous allons prendre comme point de départ ce fait expérimental ; et, de plus, nous admettrons que Téther a une énergie électrocinétique constante quand le courant est constant, mais variable avec Tintensité du courant. Mais nous devons emprunter plus encore à Texpérience.
Soient deux circuits fermés C et G', parcourus par des courants t et t", l'expérience montre que quand t' varie, il en ré-
suite dans G une force électromotrice A — j A étant un coeA
at
ficient d induction de G' sur C, coefficient indépendant des intensités. Si C' se déplace et est parcouru par un courant constant t", si au bout du temps dt C', prend une position infiniment voisine C, le déplacement du circuit de G' en C pendant le temps dt produit une force électro-
motrice i" -r » -r- étant aussi un coefficient ne dépendant que dt dt
des conditions géométriques des deux circuits.
Ici se présente une hypothèse toute naturelle, il est vrai, mais qui a besoin d'être confirmée par rexpérience; soient A le coefficient d'induction de C' sur G; A + c?A, celui de G" sur G.
Supposons qu'à l'époque t^ nous ayons en G' un courant di' et en G" un courant 0. Le courant di se déplace en conser-
Fig. 4.
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vant son intensité et vient en C au temps t-^dt : on sl alors un courant 0 en C, et un courant rft" en G*'.
On peut imaginer qu'on est passé du même état initial au même état final par une autre modification en faisant varier les intensités : l'intensité en G' primitivement égale k d% a décru jusqu'à s'annuler et pendant ce temps l'intensité en G'' primitivement nulle est devenue di' , Les circuits C'etC sont d'ailleurs demeurés fixes. Il est naturel de supposer que l'effet produit sur G est le même dans les deux cas.
Dans le premier cas, la force électromotricc née en A est
rfB d%
ai' -77 ; dans le second, elle est la différence entre — A -r-iet
dt dt
(A + ^^) "j» c'est-à-dire ' ; donc :
dk=zdB.
Si le courant se déplace et varie en même temps, les deux forces électromotrices ont pour somme :
.d£,dK d (\{) dt'^^ dt'" dt
Nous admettrons cette équation, conséquence de l'égalité d\ = dBf comme un fait expérimental.
14. L'application du principe de la conservation de l'énergie va nous permettre de déterminer les coefficients d'induction déBnis comme précédemment.
Soient A le coefficient d'induction de C par rapport à lui-même
lui-même
30 ÉLECTRICITÉ ET OPTIOUK
La loi de Ohm, appliquée aux deux circuits, donne . dt dt
^'-^-dT dT'
Écrivons que l'énergie se conserve. L'énergie vollaïque dépensée dans le temps dt est
(Et + E'»0 dt.
Elle se retrouve sous trois formes :
1° Chaleur de Joule ; 2® Travail électrodynamique ;
3® Accroissement d'énergie électrocinétique de l'éther. Si cette énergie de l'éther est représentée par U, l'équation s'écrit :
(2) (El -f. K'O dt = WPdt + Rr^dt
+ I {i^dL -f- âiï'rfM -f î'^c/N) + d{]
Je ne connais rien sur la fonction U ; j'écris seulement que dU est une différentielle exacte. Remplaçons dans l'expression de d\], E — Ri par sa valeur tirée de (1) :
(3) d[] = id (Aï) + id (BO + rd (B'i) + i'd (Dr)
— I {i^dL + '2itdM -f- i'^dN)
Supposons que les intensités varient seules. Le dernier terme disparaît et dV se réduit à :
d[] = kidi -f Bidt' + B'idi +- DiW ;
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dU étant différentielle exacte, il faut que
d'où :
Inté^ant :
U = -- + Biï' + ^ + const.
la constante ne dépendant pas des intensités. Gomme U est nul quand il n'y a pas de courant, que i = /' = o, la constante est nulle.
D après cela, quand les intensités sont constantes et que les conducteurs se déplacent, d\] se réduit à :
rfU = I {t^dk + âii'rfB + t'^rfD),
expression qui doit être identique à la valeur du second membre de (3), quand on fait di = di' = o, c'est-à-dire à :
i^dk + 2âVB + i*dD ^ 5 {t*dL + "iii'dM + 2*>^).
Identifions :
dk = c?L,
d'où
car A et L s'amiP^^* ""** *eurs sont à une dis-
tance infinie. De même
D = N B = M et
Le potentiel électrodynamique représente V énergie électrocinétique de Féther.
On peut écrire, d'après cela, la loi de Ohm :
rf(L. + MO d dT dt ~ dl di
dt dl
Cette forme rappelle celle des équations de Lagrange.
.Maxwell a montré, et c'est là une des parties les plus originales de son œuvre, que les lois des actions élecîrodynamiques et de Tinduction peuvent être mises sous la forme des équations de Lagrange; les forces électromotrices d'induction seraient ainsi des forces d'inertie (*).
(*) Voir le premier volume, { 151, p. 168 et suivre.
