Je dis que dans un milieu magnétique, les équations A C
(14) doivent être remplacées par les équations: rV
dy dz
dx dy et que les équations (15) sont encore vraies.
87. Considérons un aimant; supposons qu*il n'y ait pas de courant extérieur. L*aimant peut être considéré comme constitué par un système de courants particulaires d'après les idées d'Ampère.
La composante F du potentiel vecteur dû à Tun de ces courants est : -
tous les courants particulaires étant fermés, la dérivée -^
dx ^.
disparaît, et il reste <^/ /%/J ' ^^ -^y^
En transformant cette intégrale de ligne en une intégrale de surface il vient
dîù étant rélément de Taire embrassée par le courant; celle aire est infiniment petite ; donc Pintégrale se réduit au seul élément
.-rfo,' \ m' -: - «' ^,
Le courant est équivalent à un élément magnétique, dont le moment a pour composantes A'^t', B'rfr', C'rfr'
A'rfx' = i'tdd}' B'dV = i'm'dUJ
par suite la composante F du potentiel vecleur dû à cet élément est
Pour avoir la composante due à Taimant entier il faut intégrer par rapport aux éléments c?t' du volume de Taimant, ou, ce qui revient au môme, intégrer dans tout l'espace car, à rexlérieur, A' = B' = C = o.
Voici le point délicat du calcul : r est la distance de deux
éléments dz et rfr', et l'élément d-z est à l'intérieur de la masse ;
donc r peut être infiniment petit ; - est alors infiniment grand :
s'il est infiniment grand du premier ordre, —, Test du second,
et y-Tj- du troisième; et ainsi de suite.
J*ai à prendre des intégrales triples ; si j*ai sous le signe /
des termes en -> l'intégrale est finie et déterminée, de même
pour des termes en -^i mais il n'en est plus ainsi si l'on a
des dérivées secondes. Si on ne faisait pas attention à cette remarque, on démontrerait aisément que AV est nul même à Fintérieur du corps attirant, ce qui est faux.
Je dois donc m'arranger pour ne pas introduire, comme aux
§ 8 et § 9, les dérivées secondes de - par rapport aux coordonnées.
On a, en intégrant par parties dans tout l'espace :
On a donc en transformant l'expression de F que nous venons de trouver
de même :
Calculons
dy dz
dy J dx' dy '' J dy' dy (21) 1 rfG I dC'^r ,, l dM'^r ,.
0=/ ^lid,-/ ^'i^rf.- J dx dx J dx dx
Transformons ces intégrales :
dy^^ dy'
parce que r est fonction de a? — x\ y — j/ et ^ — z. On a donc en tenant compte de cette identité et intégrant par parties par rapport à y' :
dx
:^cix'=- i ^tldx'= / j^irf^'
dy J dx' dy' J dx'dy r
et, en intégrant de nouveau par parties par rapport à <c'
De même,
fda'^-r.,fd^-'^-r.
D'autre pari, si on pose :
l'équation de Poisson nous donne :
AV = — 4;rA, D'autre part
dx J dœ J dx' J dx r
et
dx'^
' J dx' dx
Les équations (21) s'écrivent alors :
J dx' dx
^y ""t/ ^y dy
rfG I dC^ r^ ,
dx^
dy^
d^\ dz^
dy dz J \dx dy' ' dz) dx
^ d-,' — AV
= ot -j- 47rA :::= a.
éLKCTAlClTll^ ET OPTigUE.
tô ÉLECTRICITÉ RT OPTIQCS
88. Prenons maintenant un milieu magnétique parcouru par des courants finis ; u, v, to sont les composantes du courant; «1, p|, Yi sont les composantes de la force électromagnétique due aux courants finis, F|, G|, H| les composantes de leur potentiel vecteur. De même, 94, p^, y^ seront les composantes de la force magnétique due aux courants pariiculaires; a^, 6^, e, les composantes de Tinduction qui leur est due, et F], G^, U^ les composantes de leur potentiel vecteur. On a pour les composantes de la force magnétique totale, de rinduction totale et du potentiel vecteur total : a = a| -j- «2 et deux équations analogues ;
a = «1 -j- aj et
AZ / r^ On a, pour les courants finis, d*après le §29
et / -^ ^ = 47CW — A -5-^
/ dy dz dœd
;rV
* dy dz ^^ I dy dz ' da:dt
Pour les courants parliculaires, d*après le J 36
a=^-^» et ^^:^o
2 dy dz dy dz
d'où, en ajoutant :
d\\ di\ , ^T ^ . , ^?
dy dz dy dz dxdt
i ce qui était à démontrer.
