A CELLE DE MAXWELL

39. Pour se rendre compte de la façon dont on peul passer de la théorie de Helmholtz à celle de Maxwell, qui n'en est qu'un cas particulier ou plus exactement qu'un cas limite, il faut connaître les diverses hypothèses faites au sujet du magnétisme induit et de la polarisation diélectrique. Le présent chapitre est intimement lié uu chapitre III du premier volume où j'ai exposé des idées analogues à celles de Helmholtz sous une forme différente.

Avant d'aborder la question de la polarisation diélectrique, rappelons les théories du magnétisme induit. Nous commencerons par celle de Poisson, la plus importante au point de vue de ce qui va suivre. Mais comme les calculs ont été exposés en détail dans le premier volume, paragraphes 52 à 59, nous nous bornerons à rappeler succinctement les résultats. Je dois avertir toutefois que la théorie exposée dans les numéros cités, 52 à 59, se rapportant plus particulièrement aux diélec-

triques, il faut, pour en déduire la théorie du magnétisme qui n'en diffère pas au point de vue mathématique, changer quelques-unes des notations.

C'est ainsi que ce que j*ai appelé — -^ et A dans ces paragraphes s'appellera ici a et £. En effet U représentait le potentiel électrique ; il doit être remplacé ici par le potentiel magnétique dont les dérivées changées de signe ne sont autre chose que les composantes de la force mugnétique. De même ce que nous appelions K s'appellera ici (jl.

Induction magnétique. — Poisson attribue les phénomènes magnétiques à deux fluides, austral et boréal. Un corps magnétique est constitué par de petites sphères conductrices du magnétisme, distribuées irrégulièrement dans un espace intermédiaire isolant. Chaque sphère peut être regardée comme étant la superposition d'une sphère solide de fluide austral et d'une de fluide boréal : l'effet de l'aimantation est de faire glisser l'une de ces sphères par rapport à l'autre d'une quantité plus ou moins grande : on a ainsi des couches de glissement (* ).

Poisson admet que les actions mutuelles de toutes les autres sphères sur l'une d'elles se neutralisent Si m est la masse de chacune des sphères, australe et boréale, et si S, t\, î sont les composantes du déplacement du centre de la sphère qui glisse, on a

77ll^ =:z Cc/t

(*) Voir pour ceUe théorie des couches de glisseiuem, I" vol., cbap. m, p. 41.

ArfT, Bc?T, CdT étant les composantes du moment magnétique de cet élément sphérique.

Pour pouvoir déflnir la force magnétique en un point intérieur il faut supposer une cavité creusée autour du point, et la force dépend de la forme de cette cavité, contrairement à ce que croyait Poisson. Elle a pour composantes a, p, y à. rintérieur d'un cylindre infiniment long par rapport à sa base et dont Taxe est dirigé suivant Taimantation ; les composantes sont a + ^Tf A, p -f- iTcB, y + 47rC à Tintérieur d'un cy; lindre infiniment plat, parallèle aussi à l'aimantation ; enfin, elles sont

a + -7rA, p+^7cB, y -f ^ ttC

à rintérieur d'une sphère.

Décrivons autour du point o une sphère <y de volume d-z, très petite d'une façon absolue, mais grande par rapport aux éléments sphériques ; écrivons qu'il y a équilibre à l'intérieur d'un de ces éléments, s. L'action des corps extérieurs à la

sphère <r a pour composante parallèle à Oo?, a + ^ ttA.

A. B, C sont les composantes de la magnétisation. Si e est

le rapport du volume des petites sphères * au. volume dx de <r,

l'aimantation de chacun de ces éléments s a pour composantes

—>—»-• L'action sur un point intérieur à s des éléments sphc-

s Se

riques extérieurs à «, mais intérieurs à <t, est supposée nulle (Cf. I" vol., n* 55). L'action de rélémentx lui-même apour com.

posante parallèle à Oa?, — - ^ - •

L*équilibre s*écrit ainsi :

(1) a-f--irA — -7c^=o

« = :; TcA

a = tt -f" ^^^ = .~ a = {jLoi

1 4- 2e C'est -T-^ — = {jL, qu'on appelle Xbl perméabilité magnétique.

J'insiste sur la signification de l'équation (i).

Une molécule magnétique située à l'intérieur de la sphère s qui est conductrice du magnétisme doit être en équilibre sous l'action de toutes les forces qui agissent sur elle. Si Ton considère seulement les composantes parallèles à Taxe des a?, la somme de ces composantes doit être nulle. On a donc :

(Action des aimants extérieurs et des éléments magnétiques

extérieurs à d = a -f - :tA) -f- (action des éléments magné-

tiques intérieurs à a et autres que s= o -|- (action de* = — 4 A

La théorie présente des difficultés; e doit être < ^> ce qui

impose à fx une limite supérieure qui est dépassée pour le fer. On peut dire, il est vrai, que rien n'obligeait à considérer des éléments sphériques; on peut, comme l'a fait M. Mathieu, prendre des éléments d'autres formes, et l'on échappe à cette

PASBAGK OK LA TRËORIK DB HBLHHOI.TZ A CELLE DE MAXWELL A7 difficulté. Une autre difficulté c'est que^i n'est pas une cons-

tante mais varie avec la force v'"* + P* "h l'-

Weber suppose des éléments déjà polarisés, mais orientés d'une manière quelconque: la force magnétique les ramène k unedircclion commune, ce qui se rapproche des idées d'Ampère,

Quant au diamagnétisme, remarquons que pour s'en rendre compte dans les idées de Poisson, il faut admettre que le vide est suscepliMe de polarisation magnétique et que les corps dia magnétiques sont seulement moins magnétiques que le vide. Alors le |* du vide n'eut plus 1 : on nous avait déflni l'unité de magnétisme en admettant que deux pôles égaux à 1 s'attirent avec une force 1 'i l'unité de dislance ; si [* ^= 1 pour le vide, l'attraction observée dans le vide est bien l'attraction réelle. Il n'en est plus de même si |/ > 1.

40. Polarisation diélectrique. — Mossotti est arrivé & rendre compte des phénomènes que présentent les diélectriques dans les idées de Coulomb, en transportant les théories de Poisson & l'électricité, et ces théories, qui ne sont plus que de l'archéologie en magnétisme, peuvent encore servir dans l'étude des diélectriques, sans pourtant correspondre probablement à aucune réalité objective.

Les diélectriques seraient composés de sphères conductrices plongées dans un milieu isolant. Ce qui joue le rMe de l'aimantation, c'est lu polarisation diéiectn'ijue, que Maxwell appelle iléplacemeiit éCecln'i/ue : f, g, h.

mE =

m-ti=^ gdz

Un diélectrique constitué de la sorte est tout à fait assimi*lable à un aimant; je veux dire que le fluide électrique y est distribué absolument de la même façon que le fluide magnétique dans un aimant constitué comme le suppose Poisson.

Le potentiel magnétique d*une masse magnétique m par

rapport à un point extérieur est —• Le potentiel électrique

d'une mctôse électrique m est de même, d'après les notations

quenous avons adoptées, r-.

Le potentiel d*une des sphères de Poisson par rapport à un point extérieur est, en appelant Arfr, Bc?t, GcifT les composantes du moment magnétique de cette sphère :

^* rf* rfi

De même le potentiel d'une des sphères de Mossotli par rapport à un point extérieur sera :

De même donc que le potentiel d'un aimant est représenté parTintégrale :

r l a'- di ci'-

celui d'un diélectrique sera représenté par Tintégraie :

La force magnétique (parallèle à Taxe de a?) due à un aimant est en un point extérieur a == — 'J'^^^ force électrostatique

due et un diélectrique sera de même — -^'

Si Ton veut calculer cette force en un point intérieur, on retrouve l'analogie avec les aimants. 11 faut pour la définir supposer une petite cavité creusée dans le diélectrique autour du point considéré ; on voit alors que la composante parallèle à Taxe des x est égale :

à — -r^ si la cavité est un cylindre 1res allongé; à — 3^ + "T^ si elle est un cylindre très aplati ; à — 3^ + "ô^ si elle est sphérique.

Ecrivons comme précédemment les équations de Téquilibre, il faut seulement ajouter ici les forces électromotrices d*induclion, et d'autre part les forces électromotrices d'origine quelconque, chimique par exemple ou thermoélectrique, et dont j'appelle les composantes X^ Y et Z.

a doit être ici remplacé par — ;^'® étant le potentiel électrostatique.

Une molécule électrique située à l'intérieur d*une des sphères^ de Mossotti doit être en équilibre; si donc on considère les forces électromotrices d'çrigine diverse auxquelles cette molécule est soumise et les composantes de ces forces suivant l'axe des a?, la somme de ces composantes doit être nulle, ce qui nous donne une équation lout à fait analogue à

l'équation (1); nous supposerons comme plus haut que Tod a creusé dans le diélectrique une cavité limitée par une sphère a concentrique à $; on aura :

(action des conducteurs extérieurs et de la portion du diélectrique extérieure àd = — 7""t"Q'^i) + (action des sphères de Mossotti intérieures à d et autres que 5 = o) -|- ( action de«=: — ^ir ^J + f^orces d'induction = — — j -f-

(forces électromotrices extérieures, d'origine diverse=X)=o c'est-à-dire :

3 X e dx dt

ou en posant :

on a :

\^i K — X "" dx dt^ *^

K est le pouvoir inducteur spécifique du milieu.

Proposons-nous d'évaluer le courant de déplacement qui se produit dans un diélectrique quand son élal de polarisation se modifie. Nous avons défini plus haut les composantes u, r et w? du courant. Celte définition peut encore s'énoncer comme il suit : wc?t est la projection sur taxe des x de la quantité de mouvement de toutes les molécules électriques contenues dans télément de volume dx. Considérons un

élément dt contenant une sphère de Mossotti. Quand cette sphère est polarisée on peut la regarder comme formée de deux sphères, Tune de fluide positif, l'autre de fluide négatif, dont les masses électriques sont égales et de signe contraire, qui ont même volume et dont les centres ne coïncident pas (voir P' volume, n** 47). Soient + ^ et — m les masses des deux sphères; soient oc^, y^, z^^ les coordonnées du centre de la sphère positive ; a?^ = a?^ — Ç, y^ = y, — tj, ^j = -y^ — Ç celles du centre de la sphère négative.

Alors S, Y), Ç, ont la même signification qu'au début du paragraphe.

On a pour la composante parallèle à Oos du courant dû au déplacement relatif des deux sphères :

- dœ. dx^ d!i . df

dt dl dt dt

De même

dh

41. iiC potentiel électrostatique 9 est dû à l'électricité répandue dans les conducteurs et à celle qui polarise les diélectriques : ceux-ci se comportent comme des aimants.

On a donc

ni ri'- rfi

en appelant 9 la densité au point [x, y, z) du conducteur.

Dans cette équation la première intégrale représente le potentiel dû à Télectricité libre des conducteurs, la seconde le potentiel dû à Télectricité polarisée dans les diélectriques.

D*ordinaire il n'y a d'électricité libre qu*à la surface des conducteurs. Appelons [o] la densité superficielle de cette électricité au point a?, y, z de cette surface, [a"] la densité superficielle au point x\ y\ z\ S'il y a de Télectricité non seulement à la surface, mais à Tintérieur des conducteurs j'appellerai de même 9 la densité de volume de l'électricité au point x^ y, z du conducteur.

Nous avons alors :

la première intégrale doit être étendue à tous les éléments de volume dx des conducteurs, la troisième à tous les éléments (h* des diélectriques et la seconde à tous les éléments dta' de la surface qui sépare les conducteurs des diélectriques.

La troisième intégrale peut se transformer par l'intégration par parties et donne :

dfi dh' \ ,

Dans le second membre, la première \ptégrale doit être étendue à tous les éléments diù de la surface qui limite les diélectriques et la seconde à tous les éléments de volume des diélectriques.

Pour abréger les écritures dans Téquation (3), j'ai supposé (]ue les propriétés du diélectrique varient d'une manière continue de telle sorte que /, g, h soient des fonctions continues ; si donc on a plusieurs diélectriques différents je supposerai, ainsi que je Tai expliqué dans la préface, qu'ils sont séparés les uns des autres par une couche de passage très mince. Au contraire je regarderai les diélectriques comme séparés des conducteurs par une surface géométrique de telle façon que les propriétés du milieu varient brusquement quand on traverse cette surface.

Posons maintenant

p = a dans les conducteurs

0= ^ r- — "7" dans les diélectriques;

dx dy dz n »

Ip1 = W + ^/'+»*^ + w^*

ù la surface de séparation des conducteurs et des diélectrique ; il viendra :

En d'autres termes tout se passera comme si l'on avait de l'éleclricité répandue dans tout l'espace avec une densité p et d'autre part de l'électricité répandue à la surface des conducteurs avec la densité superficielle [p].

il est aisé de se rendre compte de ce résultat : Si Ton considère un aimant, on sait que tout se passe comme si la densité magnétique à Tintérieur était

; -z r et la densité superficielle à la surface de

dx dy dz ^

Taimant égale à A/ -|~ ^^ ~l~ ^^* ^^ diélectriques étant assimilables à des aimants, tout se passe comme si on avait à l'intérieur des diélectriques une densité électrique

r* — "T" — T et à la surface une densité égale à

dx dy dz

lf-\- mg + nA.

Si on considère donc la surface de séparation d*un conducteur et d'un diélectrique, qui sera par exemple extérieur à cette surface, nous aurons à l'intérieur de cette surface une couche électrique infiniment mince de densité [a], provenant de Télectriciié qui, libre de circuler dans le conducteur, s*est portée à sa surface ; et nous aurons d'autre part à l'extérieur de cette surface une couche infiniment mince, de densité lf-\-mg-\-nh^ provenant de la polarisation du diélectrique.

Tout se passera en définitive comme si nous avions une couche unique de densité [p].

Il [importe de ne pas confondre ces deux densités superficielles [p] et [a] dont la définition est très différente.

Dans un diélectrique, on a :

dx '^ dv'^ dz'~^ P'

dy

et en différentiant par rapport au temps, on retrouve l'équation de continuité :

«[m , G?t? , dw^ ^ e/p dx dy dz dl

42. Il y a une remarque à faire. Une molécule électrique située à Tintérieur d'une sphère de Mossotti est soumise à une force électrostatique dont la composante parallèle à Ox est :

dx K — X

On peut s*étonner de voir que la force n*est pas la dérivée du potentiel, changée de signe. C*est que le diélectrique n*est pas un milieu homogène, le potentiel vrai varie irrégulié-

Klg. 8.

rement; à Tétat statique, par exemple, il est constant à Tintérieur de chacune des sphères de Mossotti et variable au' dehors^ Un observateur traversant le diélectrique en ligne droite verra le potentiel varier suivant une courbe telle que la courbe M'N' de la figure 8; cette courbe présente des sinuosités.

La fonction (p définie par les équations du n° 37 est au contraire continue ainsi que toutes ses dérivées; ce n'est qu*à cette condition qu'elle peut être introduite dans les calculs avec avantage ; cette fonction op , qu'on pourrait appeler

potenliel moyen, n'est donc pas rigoureusement égale au potentiel vrai, mais la différence est très petite et du mén[ie ordre de grandeur que la distance qui sépare deux sphères de Mossotti (*).

Ce potentiel vrai oscille autour d'une valeur moyenne qui est<p, les deux courbes représentant le potentiel vrai (M'N') et le potentiel moyen (MN) sont extrêmement voisines, Mais les tangentes sont très différentes, et c'est pourquoi la force, qui est la dérivée du potentiel vrai (au signe près), est très différente de la dérivée du potentiel moyen.

43. Expression de l'énergie électrostatique dans le cas de diélectriques. — Une force électromotrice (X, Y, Z) appliquée à une masse d'électricité m placée en un point

< si on coQsidôre par exemple uu point situé en dehors de ces splières le potentiel moyeu est égal à VinUgrale

et le potentiel vrai est égal à la somme

v/ d\ rfl d'\

obtenue en décomposant le volume du diélectrique en éléments At contenant chacun une sphère de Mossotti et une seule et par conséquent finis quoique extrêmement petits.

On volt ainsi avec quel degré d*approximalion le « potentiel moyen » représente le € potenliel vrai >. Ces différences n^ont aucune importance, puisque d^une part rien n*em pêche de supposer les sphères aussi petites qu'on le veut, et que d'autre part les hypothèses de Mossotti ne doivent être considérées que comme une manière commode de considérer les choses et n^ont probablement aucun rapport avec la réalité des fuils. J*ai cru néanmoins devoir entrer dans tous ces détails atiu de lever une apparente contradiction.

{x, y, z) produit dans le temps n?/ un travail.

("f+ïf+^O-*

Pour toutes les masses de Télémenlf/T, le travail rapporté h Tunité de temps est :

dx

X V m-j- ^= Xudr,

et pour le volume entier, on a le travail :

f(Xu + Yr 4- Zw) fh

On a (4) p. 95 :

y rfj Aizf (i — e) t/cp 47r/*

dx 3A6 dx K — X

Y ^? ^'^•^ rfy ' K — X

AkH

dz K — X