ÉLECTRODYNAMIQUE DES COUPS EN MOUVEMENT
c'est le terme correspondant à la polarisation rotafoù'e magnetique et ^vi phénomène de Zeeman.
381. -^Pour les corps en mouvement ^ on obtient de la môme manière,
et par des transformations analogues à celles qiïe nous avons employées quand il s'agissait de l'électrodynamique des corps en repos,
^, rj, !^ re|)résentent ici les composantes de la vitesse de la matière. En eflet, si le champ magnétique n'est pas très intense, et en négligeant la vitesse relative de la particule par rapport à celle de la matière, c, r,, I^ représentent alors bien la vitesse de la matière elle-même.
En divisant par L les deux membres de la relation (6) on obtient,
clf
382. — Eu ce qui concerne la relation en u /- elle va être un
* ctt
peu modifiée pour les corps en mouvement. Nous avons.
le signe > indiquant que la sommation s'étend à toutes les particules qui se trouvent à l'intérieur du volume Dt.
Pour faire le calcul nous allons employer un artifice très utile toutes les fois qu'on aura à calculer des valeurs moyennes.
4 9*^ DIÉLFXTRiqVES
Nous savons que
W)-: =2je [x -- a\).
Considérons une fonction '^ quelconque ; nous n'assujettirons celle fonction qu'à une seule condition : qu'elle varie assez lentement pour qu'à Tintérieur du volume Dt elle puisse être considérée comme constante. Nous aurons alors,
'^XDt = \ cpe [x — .r^) .
Déccmiposons le volume Dt en éléments de volume d'z très petits (au sens ordinaire du mot) ; on peut alors écrire
j 'fXrfT=2]|?^G^— ^o)»
où le signe 1 comme le signe \ s'étend au volume Dt tout
entier.
Plus généralement la valeur moyenne U d'une fonction U quelconque sera donnée par la formule
on aura ainsi
dt
\y dx
jLJ ' dt
383. — Quelle est la valeur de la densité moyenne? — Il faut pour cela calculer 7 -zo.
/ Posons
-p,, représentant la valeur de la fonction '^ quand la particule passe
ÉLECTRODiyAMIQlE DES CORPS EN MOUVEMENT 49^
par sa position d'équilibre [x^^ t/^, z^. Or, h Tétat d^équilibre, la densité moyenne est nulle ; donc,
D'autre part (x, y, r) étant voisin de [x^, i/^, z^), on peut écrire,
et par conséquent
(i2) ^ cpe =y|e [^'^^ +y| e (.r — .rj -^J,
le deuxième signe > du second membre s'étendant aux trois
coordonnées.
En tenant compte de la relation (ii) et de la relation (9) qui, diilerentlée par rapport à x nous donne,
ax ^Lj ^ "' dx
la relation (12) devient
et, en intégrant par parties.
La formule
i94 DIELECTRIQUES
montre que la densité moyenne est
384. — Cherchons maintenant hi valeur du courant total //. Partons de Téquation (9) et diflerentions-la par rapport à / ; il vient,
rf.r.
En effet, '^ ne dépend pas directement de t : il est fonction de.r,//, 3 seulement ; mais dans le pr.emier membre .r,y, z représentent les coordonnées de Télément de volume di, tandis que dans le second membre a-, //, 3 réprésentent les coordonnées de Cy qui sont mobiles; ([ui sont par conséquent fonction de /. C'est pour cette raison que la fonction '^ est traitée dans le second membre comme dépendante de / et dans le premier membre comme indépendante de cette variable.
Or nous avons,
\v s'iiiuc y s'étcndant aux trois coordonnées.
Ll' premier terme du second membre de ( i3; devient donc,
„^ ^ '^ dl I ^^^ 1 ^ '
\\\\ inlégranl par parties, on obtient
KXPiiEssroy du courant total d'après lorentz 495
dy '
dz
et par conséquent,
(i5) 2.,r-.rJ--=:-J ?rf^(-^-
e/Xr. . ./X^
/// dz
Passons maintenant au troisième terme de (i4) ; quelle est la
dx signilication de ' " ? — C'est la vitesse du point (.rQ, y^, z^^ ce
point étant considéré comme entraîné dans le mouvement de la matière : c'est donc ce que nous avons appelé ;. On a alors
dx
et comme '.^\,, //y, z^^ est très voisin de (.r, //, -) on peut donc
écrire
dx
dt en posant.
(Ia
Le calcul de > cpe — ^^ revient donc maintenant au calcul de > cpe; et de > cpeo;.
Commençons par calculer > '^e;.
Nous avons,
^r/j DIÉLECTRIQUES
nous avons,
Kcrivons maintenant la relation {\^] en tenant compte des relations [i^j, 'i^>j et (ij; que nous venons d'établir; elle devient,
J * fil / * ' ^^^ /
Nous n'avons plus maintenant (|u'à identifier les coefficients de z>fhy car cette égalité doit subsister cjuelle que soit la fonction '^.
Kii l'aisuiil cette ideiitiliciition nous trouvons,
;// \ (Il I (ifj
(I Où enfin,
. r// (Il dz ' a y
^'('.s7 /('.r/ffcssio/i du coiii'aul lolnl diiprcs Lorenlz.
385. Comparaison avec la théorie de Hertz. — Comparons celle expression ii celle tlu eouranl lolal d après llerlz. Nous aNons vu (jue le courant lolal dans la théorie de Hertz est lu
COMPÂRAISOy A VEC LA THÉORIE DE HERTZ 497
somme de quatre courants : le courant de conduction, le courant de déplacement, le courant de convection de Rowland et le courant de Rœntgen. Nous n'avons pas ici de courant de convection analogue a celui de Rowland et cela se comprend, car la densité de Télectricité vraie est nulle, attendu que nous sommes dans un diélectrique. En ce qui concerne le courant de déplacement, on le retrouve dans la théorie de Lorentz, seulement il est dédoublé : îl se compose du courant de déplacement
proprement dit,-—-, et du courant de polarisation-^. Quant
au dernier terme de la relation (i8) c'est une expression analogue à celle qui représente le courant de Rœntgen à cela près que le vecteur (/*, g, h) est remplacé par le vecteur (X, Y, Z) dans la théorie de Lorentz. Nous avons, en effet, dans la théorie de Lorentz
dans la théorie de Ilcrtz, nous avions trouvé
Mais il importe de remarquer que Hertz désigne par /, g, h le dêplacenienl total (déplacement -f- polarisatioi>) que Lorentz représente par /*+ X, g -{- Y, h + Z. Avec les notations de Lorentz îl faudrait donc dans l'expression (19) remplacer Z*,^', A par /*+ X, g^ + Y, A + Z.
Maintenant si nous prenons l'équation
dl^ ' K — K
que nous avons trouvée précédemment et si nous y négligeons la dérivée seconde ., nous trouvons que X est proportionnel
à /'et que le facteur de proportionnalité est ^ — -, Le courant
de Rœntgen prévu par la théorie de Lorentz est donc à celui prévu par la théorie de Hertz comme X est a X +/, c'est-à-dire comme K — K^ est à K.
PoiNCARÉ. Electricité et Optique. 3'i
198 DIÉLECTRIQUES
Ainsi dans le vide (K = K J il n'y a pas de courant de Rœntgen, d'après Lorenlz, alors que d'après Hertz il doit y en avoir un. Mais comme nous l'avons déjà vu précédemment, quand nous nous sommes occupés de la théorie de Hertz, les expériences de Rœntgen sont tout à l'ait insuiïisantes pour trancher la qi|cstion.
3to. — Revenons maintenant à l'équation fondamentale,
'■# + ^xêK:=?^+j-('.r-'?)^
nous avons vu que le terme A ,■ du premier membre de cette
al'
équation est négligeable (sauf le cas où on a des oscillations rapides) de sorte qu'on peut écrire,
La ([uantité <[uc Hertz ou Maxwell appelle déplacement total est. ooinnie nous venons de le remarquer, X + /l Calculons cette (juantlté. 11 vient,
OU encore
(Irln veut dire (jue dans la théorie de I.orenlz le déplacement
(le Maxwell est le produit de deux facteurs : l'un — — , l'autre la
force éleelroniolricc M'aprcs Lurent//. Or, dans les conducteurs,
la force éleetromolriee a pour expression
■'1'* /• I '^rj\
on voit donc que la diil'érenee est seulement dans l'introduction du lacleur t-, .
