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-dF'

d'il

l58 THÉORIE ÉLECTnOMAGSÉnqUE DE LA LUMIÈRE

Pour avoir les équations clifTérentielles qui donnent F, G, H en fonction du temps, il nous faut exprimer //, (^, jv en fonction de F, G, Il et des dérivées de ces quantités. Pour cela adressonsnous aux groupes d'équations (1), (II) et (III).

Les équations (I) et (III) nous donnent

d\\ dC * dy dz

rfF rfll

rfG rfF

Au moyen de ces équations calculons les dérivées de a, [i, y, par rapport a j*, y, 5 et portons les valeurs ainsi trouvées dans les équations (II) ; nous obtenons

^ » dx '

^TZiki» = -= AG,

Anuiii* = —: AH ,

* dz

J désignant la somme des dérivées partielles :

j rfF ^/G , rfn

dx dî/ dz

L'élimination de //, r, iv entre ces dernières équations et les équations (2) nous conduit aux équations dilTérentielles cherchées.

di' dx '

^ ^ ' ' di' dîj '

KjJL -r^= AU

dl' dz

Sous cette forme, ces équations sont semblables à celles du

EQlATlO.\S DE I.A VHOI'ACATIOS Di'.\E l'EaTLHBATIOS 1Î9

mouvement d'une molécule dun milieu l'Iustique (') et pnr conséquent il celles du mouvement d'une molécule d'éther ; c'est une |iremière conËrmiition de l'hypothèse sur lu nnlnic olectruniEij^nétique des vibrations lumineuses.

178- Ces équations étant linéaires cl ii coi-HUicnls cunslanls, les dérivées pur rupport a nne variiible quelconque des fonctions F, G, 11 qui y satisfont, sont uussi des solnlions de ces équations ; en outre, il en est encore de ni^nie de toute combiniiison linéaire de ces dérivées. Pnr conséquent les lonipusantes «, h, r de l'induction mngnétique, liées aux conipostintes du moment électromagnétique piir les relations (Hl), satisfont îiux équations (A), D'ailleurs dans ce cas ces dernières se sïmplilienl car lu quantité J est alors

nulle {102}. Nous

partielles

Quant aux composantes a, ^, f de lu force magnétique elles doivent également satisfaire aux équations (A) puisqu'elles ne difFtrcnt de n, i, c que par un facteur constant ; la somme J des dérivées partielles subsiste alors dans les équations.

Enfin les composantes 11, v, h' de la vitesse du déplacement étant des fonctions linéaires et homogènes des dérivées de a, ^i, ■; sont aussi des solutions des éqnations' (A), l.'hvpothèac de l'incompressibilité de l'électricité étant exprimée par la condition tir, , ,/.■ , ,/.v

J disparail di's éqnalions.

yKT/QUf: ni': r.i i.i:Mih:iiE

lo suppose Maxwell(133), les cominirnl éiectrnmagnôtiqiie satifll'ont à

</G tin

les (rquatioiis (A) et celles qui donnenl lesciimposiiiili's delà force magnétique ne contiennent pjis J. Mais Tnliandon do celte hypo- Ihëse ne modifie en rien les résultats auxquels conduit la théorie électromagnéliqucde la lumière car J dlsparnil lorsqu'on suppose périodiques les perlurlialions du champ magnétique.

En effet dérivons les équations (A) par rapport à .r. ij, :, et additionuniiH ; nous obtenons après simplification

KiJL -— - = o ;

J doit donc ^trc une f<niction linéaire du temps, ou une constante, ou zéro ; il en est de même pour les dérivées de ) pur rapport ii ,r, y, :. Or, si F, G, H sont des l'nnctions périodiques du temps, J et ses dérivées sont également des fonctions périodiques ; pal' suite ces quantités ne peuvent être ni des fonctions du premier degré en /, ni des constantes ; elles sont donc nulles.

180. Caa des ondes pianes. — Supposons que les phénomènes électromagnétiques qui on! lien dans le diélectrique ne dépendent que du temps cl delà coordonnée z du point considéré. Dans ce cas ces pliénomènes sont, au même instant, identiques pour tous les points d'un plan parallèle au plan des xi/ ; on dit alors que les perturbations magnétiques forment des 0H(/e«/j^i7/ie«.

Les composantes F, G, Il du moment électromagnétique ne dépendant pas de .r ni de y, les dérivées de ces quantités par rapport à.f et à »/ sont nulles et les équations (A) se réduisent à

l ^ (/(* ~ dz'

(li)

rf-G

TIIKOHIE KLECr

JMAG.\Kr/QCf: DE I..I l.CMIflHf:

Le pouviiir inducteur spécifiqui: n'îiyiml pua île dinieusiuiis dans le svslèmc élefti-ostiitiquc. les dimensions du déplacement dîiiis ce système sont celles du quuticnt d'un polfutiel par une longueuiet, par suite, celle du quotieuL d'une ijuanlité d'électricité piir le cai'ré d'une longueur. Il s'ensuit que si ou passe d'uu système de mesures ii ui) autre dans lequel l'unité de longueur a conservé I» même valeur que dans le premier, les nombres qui mesurent le déplacement dans l'un et l'autre sysli-nio sont dans le même rapport que cens qui exprinieut nue nii^uie quantité d'électricité. Si doue nous appelons de rapport del'uuité éleetromagnétique de qnaulité d'électrîcîté ii l'unité électrostatique, le nombre ({ui exprime, suit nue quantité d'électricité, suit un déplacement dans le premier système est égal nu produit de

— pur le noml>re qui mesure la même grandeur dans le système

électrostatique. D'autre part on sait que le rapport des unités do force éieclromotrice dans les deux systèmes de mesure électrique est inverse de celui des unités de quantité ; donc le nombre qui

exprime dans le système électronuiguétique est le produit

de (' par la mesure de cette quantité au moyen de l'unité êlec- U'oslatique. Il en résulte que la valeur du quotient de/' par ~j^ et. par suite, la videur de R se triiuvenl multipliées par

—j- quand on passe du système électrostatique au système élec- Iromagnêtique. Le pouvoir inducteur spécifique du vide étant I dans le svstème clectroslatîquej sa valeur est , dans le svstème électromagnétique.

Si nous portons

;elte ■

de K dai

I de la

la vitesse de propagation d'une perturbation éleclromagriétinut est donc égale au rapport i' des unités de quantité d'électricité dans les deux systèmes de mesures électriques.

VITESSK D.iys LE VIDE tCÎ

183. — Cette dernière ((uuntité ii élé déterminée par de nombreux expérimentateurs au moyeu de méthodes que l'on peut classer en trois groupes suivant que i- est donné par le rapport des unilésdc (juanlité d'électricité, ou p«r celui des forées électromotrices, ou enfin par la comparaison des capacités. Voici les résultats de quelques-unes de ces déterminations pour le ([uutient par lo '" de lu valeur de v exprimée en unités C. G. S.

.'"' groupe. W'i'hcr et Kulilriiuttli . , , . ... i. 1071

Maxiïull. 1868 Ï.8410

I W. Thomson cl King, 1869 3,8080

l Mac Ki.:ha[i, i8:a »,896i>

1 Shid» 1880 ï.oSîo

/ Lord Kelvin. 18B9 l.onl

' Pollnl, 1891 3,0091

' UiirmuBGsni, iBgG î.oooi

I AjTlon et Pcrrj-, 1879 1.96

; Stnlctuv, 1881 3,99

J.-J. Tliornson, 1B8Ï a.gGio

\ KIcmL-ni-if i88.i ] 3.oi8i.

1 { r886 r î,oMï

^'"" «'■'"'P'- , .886 , -S.oori

1 Hiintlfcll. ; 1887 ] '1,0019

I [ 1888 ' 3,uo9ï

E.-B. RosB. 1889 1,0004

J. J. Tliornsori cl Si;arle, 1890 .... j.ggl'i

' AbrflliHiu. 1891 ... 3,9911

our la vitesse de la lumière dans le vide, M. Cornu a trouvé 1 3,oo4X 10'° centimètres : seconde aveu une erreur probablement I inférieure â '/|,,„. On voit que ce nombre ne diffère que d'une I quantité très petite, de l'ordre des erreurs cxpérimcatiiles, des rvaleurs de v données par MM, Klemcncic, Himstedt, Rosa, Kd' après des méthodes paraissant présenter la plus grande prêii- T sion, La théorie de Maxwell reçoit donc une confirmation aussi I satisfaisante qu'il est permis de la souhaiter.

D'autre part, M. Hertz, en mesurant la vitesse de propagation I des ondes électromagni'rtiques, a trouvé un nombre du même

l.VDICE Df: ItHfll.ICTIO.V ET POIVOIII LMIlCTElfl i6>

sîble :inais ce qui montre conibieu il faut peu se (icr ii des extrapolations de ce genre. C'est sans doute là la principale cause des divergences que uous signalons plus loin.

185. — Au moment où Maxwell écrivait son Traité, la piiralfine était le seul diélectrique dont le pouvoir inducteur ait été déterminé avec une exactitude sulTisnntc. Une seule vérification de lu relation K = /i' était donc possilile j encore était-elle peu satisfaisante. MM. Gibson et Barclay avaient trouve pour le pouvoir inducteur de la paraffine solide 1,975, dont lu racine carrée est i,4o5. Or ce nombre diffère sensiblement de lu valeur 1,422 de l'indice de réfraction, pour une longueur d'onde infinie, déduite des expériences du D' Gladstone sur la paraflinc fondue. Toutefois, les nombres comparés se rapportant à deux états différents de la paraffine, leur divergence ne peut infirmer la théorie ; aussi Maxwell en eonclut-il seulement que si la racine carrée de K n'est pas l'expression complète de l'indice de réfraction, clic eu forme le terme le plus important.

a fait de nombreuses détermin pécifiquos des corps transpa au point de vue qui nous occupe.

186. — Depuis, on a fait de nombreuses déterminations dt's pouvoirs îiiductei voici les résultats, :

Pour les solides la iticiiie carrée de K diilere de l'indice de réfraction d'une quantité quelquefois considérable. D'après M. Hopkinson les indices de réfraction des dïU'ércntes espèces de verre sont toujours plus petits que la racine carrée de leur pouvoir inducteur ; pour certains verres ils ne sont que la moitié de cette racine.

Lu relation K = h" se trouve un peu mieux vérifiée dans le cas des liquides. l'nur certains hydrocarbures liquides, les expériences de MM. Hopkinson, Négréano, Palaz montrent que la vérification est assez satisfaisante. Les deux tableaux suivants résument, le premier les résultats de M. Négréano, le second ceux de M. Palaz ; dans ces tableaux l'indice de réfraction se rapporte ii la raie D du sodium.

i66 rilÉOlllE EUCCrHOMAGSÉriQCE DE LA LIMIÈHE

Xj'lëiic (ini'lanjj;eilc |))iisioiirs leitmirps) 1,1679 •■^"Sg 1,4897

Mélaxyli>ac J.3781 i,ï4"' ^•'\'èll

Pseudocumi^nc 3,{3io 1,^^91 1.4837

, Cymènc 3.4706 1.5716 1.4837

Eiseneede tfri'bcnthini' a. 3618 i,5o3g 1,4736

Bcntinc ^1^377 i.5t7 i|4997

Tolufnc n" I 3.Î646 t.îî? 1,4949

Pi'lrolc OrdinaicL- n" i,ia34 1,437 1,4487

" " "" ■' -'-0897 '.'f'iS ',4477

n reciiiiî' ï,'9io 1.481 i,4;G6

I.a vérifiGation est beaucoup moins butine si l'on prend des huiles végétales on niiimules. Pour celles sur lesquelles il a opéré, M. llopkiiison a loiijours trouvé n > V'K. M. Piiliiï arrive il une conclusion inverse piiiir l'huile de navet et l'huile de ricin :

Huile dp niiïil vT^— 1,737 n„= 1,4706

Huile de ricin -1,147 ^.-'CT'.

En 1888, M. Gouy (') a mesuré le pouvoii* inductenr spccïfifjue de l'eau par l'attraction qu'éprouvent deux pluleaux électrisés entre lesquels se trouve une couche de ce liipiide ; il » trouvé K = 80. Il en résulterait, d'après la relation de Maxwell, fl = 9 environ, nombre il ppu près sept fois plus grand que l'indice de réfraction réel ; cette relation est donc dans ce cas, tout il fait en défaut. Il est vrai qu'elle n'a été établie que pour les corps isolants, condition qui est loin d'être satisfaite par l'eau, toujours plus ou moins conductrice pur suite des sels qu'elle contient. Mais au moins on devrait trouver pour K des valeurs de pins eu plus petites lorsqu'on prend de l'eau de plus en plus pure ; or c'est précisément l'inverse qui parait avoir lieu.

Enfin, si nous passons aux gaz, nous trouvons un accord très satisfaisant entre les valeurs de ^K et celles de n. Le tableau suivant donne les valeurs de ces quantités pour quelques gaz ;

i.\DicE Di: nf:r!iACï7o.y et vorvoiii lyniTTEiu 16;

i'Ioiici.-s (le M. Btiltzriiiinn.

Air t.oïKiSipo i,ooo3yS 1,000294

Acide cnrl)oniqui- i,ooih|,(6 i,000(S73 i.ooojîj

Hydrogène l,ouoa6.i i.oooi3a 1.0001(8

OiyJe (le carboni- 1,01)0690 i,ooa34ï i.oooïîî

Proloxyde il'nzoli' i,ooo9)ti{ 1,000491 i.oooïiG

Bicarbiirc il'hydrog^ni? .... i.ooiJi'i i,ooo6SR 1,000710

l'polot'nrliiil'i' d'hydrogcii!' 000944 1,000471 1,00044!

187, — En l'ésuiiié, la reluLion K =^ h' est viirifiée pour les gaz et qii<!l(|ues liquides ; elle est eu JéHiut pour lu plupiirt des liquides, des solides, et surtout pour Tenu. Malgré lu mulliplicité des reeherclics, nous ne sommes dune pas mieux renseignés que Maxwell sur le de^rrê d'exactitude qu'où doit jieeorder à eetle relation.

Mais si Von exeeple IV'iUi. qui s'éciule i-oiiij.H-temenl dos diélectriques p:ir sa nature êlectrolytique dès qu'elle reuferme une trace d'un set en dissolution, les divergences constatées entre n et la racine carrée de K ne sont pas de nature Ji faire abandonner eelte relation, surtout si Ton tient compte des conditions déroctneuscs dans lesquelles on l'applique. En premier lieu les substances étudiées en vue de su vérification sont souvent loin d'être des isolants parfaits comme le suppose sa dènionstration Comme isolants, la plupart des solides siuit beaucoup niuins bons que les gaz et quelques liquides lels que le pétrole et la benzine bien pure ; or ce sont précisément ces derniers corps qui vérifient le mieux la relation de Maxwell, Eu second lieu, le pouvoir inducteur et l'indice de réfraction varient avec la température, et gènéralonietit les mesures des deux quantités ii comparer sont faites il des températures dilTcrentes. Enfin, ou suit que, quelle que soit la méthode employée pour la mesure de K, les résultats dépendent de la rapidité des variations du champ dans lequel s

. pla,

I substance ; peut-être donc, la relation dont il

s'ugit se trouverait-elle mieux satisfaite si les variutions du champ étaient aussi rapides que les vibrations lumineuses. Pour ces diverses raisons il ne faut pas s'étonner si la vérification de cette relation n'est pas aussi satisfaisante que la comparaison du rapport c et de la vitesse de la lumière dans le vîde.

DIHKCrlOS Dr DhJPl

CF.MEyr Éi.Ecritutui-:

Ainsi cil un point d'une onile pliine, le déphicement électrique cl le mumt-nt éleclromagnétiijue ont même direction ; la force êleclronioIriiT cl l'induction leur sont perpendiculiiires ; ces directions sont d';,illcnis siluccs di.ns le plnn de Tonde.

— Miiis, lorsque les pcrlurbatioiis sseï! rnpides pour donner nuissiince a

Diugiiétiques K phénoniisnes lumineux, quelle est lu direction du dépluccmeut électrique pnr rupport !iu pliui de pohirisiitiuti de Iji lumière? L'hypothèse de Miixwell sur l'expression de l'ênergic kinctique du milieu qui transmet les ondes cl l'étude des diverses théories proposées pour l'explicution de lu téflexion vitreuse nous pcrnieltcnl de répondre fucilcmcnl :i celte question.

Nous savons que dans les théories ordinaires de la lumière, les phéiiomèues observes dans les utitteux isotropes s'interprètent tout aussi bien, soit eu admettant, avec Fresiiel, que les vibrations de l'éthcr sont perpendiculaires nu plan de polarisation, soit en admettant, comme le font Neumnnu et Muc-Cullagh, que ces vihraliniis s'elTectuenl dans le plan de polarisation. Nous avons montré, en outre, ii propos delà réflexion vitreuse ('), que ces deux hypothèses cunduisent il des résultats opposés pour la densité de l'éther ; si l'on adopte celle de Fresnel, lu densité doit filre considérée comme variable ; si l'on prend celle de Neumann et Mac-Cullagh, cette densité est constante.

Mais dans l'une et l'autre théorie l'énergie kinétlque a pour ! valeur

p désignant lu densité, ;', y/, C 'es composantes de lu vitesse de In molécule d'éther. SuivnnI Maxwell, l'énergie kinétique n'est uutre que le potentiel électrodynamiquo du système de courants qui existent dans le milieu; l'expression de celle énergie est donc. , dans le cas où le milieu est supposé magnétique (143),

- 'ib -

PliOPAGATIOy D.iXS iW M /LIEU A S ISOTROPE 171

anisotrope.

" 4rAdy / '

^TZ \dz / '

^{/ désigne le potentiel électrostatique, X, Y et Z, les composantes de la force électromotrice due h toute autre cause qu'une différence de potentiel. En supposant cette force éleclromotrice due uniquement à Tinduction produite par les courants et les aimants du champ, ces égalités deviennent

191. — Mais il n'est pas nécessaire pour établir ces formules de s'appuyer sur l'hypothèse de la constitution cellulaire des diélectriques.

D'après les formules (V II) du Chapitre précédent, les composantes du déplacement électrique dans un milieu isotrope sont proportionnelles à celles de la force éleclromotrice; par suite, l'hypothèse la plus simple qui se présente, est d'admettre que, pour un milieu anisotrope, /) ^^ h sont des fonctions linéaires et homogènes de P, (^, R,

f=\P -j-BQ +CR, ..= AT +B'Q+CR,

D'ailleurs les neuf coedicients A, B, C,... ne sont pas absolument arbitraires. Montrons en effet qu'ils forment un déterminant symétrique.

Si nous donnons aux composantes du déplacement des accrois-

i;2 rilÉOniE ÉLECTROMAGSÉTiqUE DE LA LUMIERE

scinents df^ dg^ dit, le travail correspondant de la force électromotrice est

OU, d'après les relations précédentes,

B (ArfP + Bdi) + CrfR) + Q [k'dV + B'rfQ + CdK)

+ R (A"rfP + B"rfQ + C'dR),

ou encore

( AP + A'g + A^'R) d? + (BP + B'Q + B''R) rfQ

(CP + CQ + C R) rfR.

Pour qu'il y ait conservation de Ténergie cette expression doit être une différentielle exacte. Cette dernière condition s'exprime par trois égalités dont la première est

rf(AP + AQ + A^^R) rf(CP+C^Q + C^R)

d)\ ~ dV '

nous en tirons

Les deux autres égalités nous donneraient

ce qui montre bien que le déterminant des coedicients est symétrique

Le nombre de ces coedîcients se trouve donc réduit à 6. Par le choix des axes de coordonnées nous disposons des valeurs de trois d'entre eux; nous pouvons donc faire ce choix de telle sorte que les coellîcients qui ne sont pas sur la diagonale du déterminant se réduisent à zéro; les valeurs de /*, g^ h se réduisent alors aux expressions (i).

192. — Xous devrions faire, pour les équations qui donnent les composantes dr, 6, r de l'induction magnétique en fonction des composantes a, Jâ, y de la force électromagnétique, la même hypothèse que celle que nous venons d'adopter pour exprimer fy gy h en fonction de P, Q, R. Nous serions ainsi amenés h remplacer

PROPAGATIOS DÀSS L\\ MILIEU AN ISOTROPE i:3

les équations (I) du Chapitre précédent par trois équations de même forme n'en différant qu'en ce que le coefficient jx aurait dans chacune d'elles une valeur différente [jl, jjl', jjl'. Mais la perméabilité magnétique des corps transparents étant toujours très voisine de l'unité, ce coefficient n'a guère d'influence sur le résultat des calculs. Pour ne pas compliquer inutilement la question nous admettrons que [jl est constant et égal h i .

193. — En dérivant les équations (i) par rapporta /, et remplaçant dans les seconds membres des équations ainsi trouvées,

--- , -.- et --- par les valeurs obtenues au ^ 177, nous avons les dt dt dt

relations

^'ïiu = — K

dt* '

47tiV = — K''

qui peuvent s'écrire

dû

Nous avons d'ailleurs (167)

d[f dz doL rfv dz dx '

rf3 d% dx dy

Enfin, puisque nous avons supposé a = i, les équations (III) du

174 rilÉORIK KLECTROMAGytnqi'E DE LA LIMIÈRE

S 167 deviennent

rfH dG

iK] '3=

^ dz d.v '

dtj dz

rfF dl\

dG rfF rf.r ^/y

Tels sont les trois groupes d'équations qui permettent de déterminer les valeurs, h un moment quelconque, des éléments d'une perturbation magnétique en un point d'un diélectrique anisotrope, lorsqu'on connaît leurs valeurs initiales.

194. — S'il est vrai que la lumière est due à une perturbation de ce genre, ces équations doivent nous conduire h l'explication de la double réfraction que présente la lumière lorsqu'elle traverse un milieu anisotrope. L'étude que nous avons laite de ce phénomène (*), nous permet de montrer qu'il en est bien ainsi, sans entrer dans de longs développements.

Nous savons que si on désigne les composantes du déplacement de la molécule d'éther par ;, yj, JJ dans la théorie de M. Sarrau, par X, Y, Z dans la théorie de Neuman^, par 11, r, tv dans celle de F'resnel, on a les neuf relations (*)

dl*