M;.is, si lu concordance de
rience justiGc l'inlroduction des dérivées -|-
duns les seconds membres des équatïous du molécule d'éther, aucune considération théorique ne préside au <:huix de ces dérivées, il l'exclusion des autres ; on ne possédait donc pas encore de théorie de la polarisation rotatoire magnétique. Il est vrai que Airy n'avait pus proposé ses formules comme donnant une explication mécanique de la rotation du plan de polarisation mais seulement, dit-il, <' pour faire voir qu'elle peut être expliquée par des équations qui semblent de nature ii pouvoir se déduire de quelque hypothèse mécanique plausible, quoique l'on n'ait pas encore formulé celte hvpothësc. »
Quelques années avant les expériences de Verdet, M. Ch. Neumann ('] avait tenté de combler cette lacune. Neumaiiii suppose que les molécules du Uuide électrique des courants particulaires qui, d'après Ampère, prennent naissance il l'intérieur d'un corps aimanté agissent sur les molécules d'éther ; en outre il admet que ces actions réciproques, comme celles qui s'exercent entre deux molécules électriques dans la théorie de Weber, sont modiliées par le mouvement relatif de ces molécules. 11 résulte de ces hypothèses qu'une molécule d'éther est soumise non seulement aux forces résultant de l'élasticité de réther,maîs encore ii des forces, variables avec le temps, provenant des actions des molécules électriques voisines. Neumann démontre que la résultante de ces dernières forces est à chaque instant proportionnelle il la vitesse de la molécule d'éther et à la force magnétique cl perpendiculaire au plan de ces deux directions. Par conséquent, si nous considérons une onde plane se propageant suivant la direction du champ magnétique, et si nous prenons le plan des jy parallèle ii l'onde, les composantes suivant les axes des X et des y, de cette résultante auront respectivement pour valeurs
dr (i\
{•) Die magntlUrbc Drehung Jer Polar
icrficient propoi'tîoiincl a l'inlcnsïté du rhamp. otic pour les êquiitîoiis du mouvement d'uue mole-
dr- -
Ces équntiuiis ne dilfcrcnt des équations de Mac-Cullngh (213) ([ue pnr la substitution des dérivées de r^ et £ pur rapport à t aux dérivées du troisième orJre de ces mêmes (juantités par rapport à ~; par suite elles doivent conduire pour la valeur de la rotation du plan de polarisation It la formule (IH), Tormulo en complet désaccord avec l'expérience. La théorie de Nenmaiin, bien que remarquable par la simplicité des hypothèses, doit donc ftre rejetêe.
216, Théorie de Maxwell. — Ainsi, au uniment où Maxwell écrivait suu Truilo, il était reconnu que la théorie de Neumann conduisait ii une formule en compliite contradiction avec les résultats expérimentaux, et que, des rurmutcs proposées par Airy, la formule (I) était celle qui s'accordait le mieux avec ces résultats. Il suflisait donc, pour obtenir une théorie acceptable de In polarisation rotutoirc magnétique, d'expliquer par des hypothèses plausibles, l'addition des deux dérivées du troisième
ordre -\ tti- cl j-^rr- "ut équations du mouvement d'une
molécule d'éther dans un milieu isotrope.
Faisons obseï
rver qu
l'introduction de ces dérivées dans les
équations du mouvement peut, indépendamment de toute idée théorique, s'effectuer de deux manières différentes.
Pour le montrer rappelons en quelques mots comment on arrive aux équations du mouvement d'une molécule d'éther dans un milieu isotrope ('). Si nous appelons U la fonction des forces qui résultent de l'élasticité de l'éther lorsqu'un ébranlement se propage dans ce milieu, le mouvement d'une molécule de
igS POLAHISATIOy BOTATOIHE MAGfiÉTlQiE
masse m subissant un déplacement Ç suivant Vuxc Aei donné par l'équation
dt'
di
où £ a'est ([u'une des composantes du déplacement ; v; et Ç étant les deu\ îiulres composantes, nous aurions en outre deux équations analogues. Lorsqu'on admet que les forces qui s'exercent entre les molécules n'agissent qu'à des distances excessivement petites, la fonction U peut s'écrire
W étant la valeur de lu l'onction des forces, rapportée ii l'unité de volume, au point occupé par l'élément (/-r, et l'intégrale étant étendue à tout l'espace occupé par l'éther. L'étude de \V montre que c'est une fonction des dérivées parlielles des divers ordres de Ç, t,, Ç par rapport aux coordonnées .f, ij, z, et, par diverses transformations, on arrive à mettre les équations du mouvement (i) sous la forme
—\JL rt" V ■' rfw
~' 2éd.r dV '^JLd.r' dV
4' élanl l'une ijuelconque des dérivées de \ par i"ip î" une quelconque des dérivées secondes de ç pai mêmes variables. Ces équations nous montrent que les termes de \V qui ne contiennent ces dérivées qu'à la première puissance doivent disparaître lors(]u'on suppose les déplncemeuts périodiques. Par conséquent, si nous négligeons les termes du Iroisièoie degré par rapport à ces dérivées «'t si nous désignons par \V, l'ensemble des ternies du second degré, l'équation précédente devient
dl' ~~2j^~^' Zj''--'
En général, le second membre de cette équation contient des dérivées de S, r,, ^, pur rapport à x, y, :, de tout ordre â partir du second, mais pour les milieux isotropes les dérivées d'ordre
riIEOHlE UK MAX]yi;LL lyy
iiiipuir (lisparutssent, Cotte équation se simplifie encore diiiis ce cas. lui'squ'on considère une untle phine perpendiculaire !i l'iixe lies z; il 110 reste plus que les dérivées d'ordre pair de \ pur rapport ii z. 1. 'équation précédente peut alors s'écrire
df
Les deux iiutres éi[uatioiis du mouvetucnt s'ol rempluçuiit clans cellc-eî, ^ pur r,, puis par ï.
Mais les équatioas générales telles que {2) pet sens la lerme in.li.iuée par l.agrange,
j jn dJ dV
dl dV di ~ dl '
liliratiii
l'énergie kinétique.
que pr
;'^)rfT,
i par
leiu/fs. Cette dernière équation n'uLaiit qu'une lriiiianniii.nn.i. de l'équation (a), il est évident qu'elle ne peut contenir, comme cflle-ci, que des dérivées d'ordre piiir dans le cas d'un milieu isotrope. Par conséquent, pour que les équations du mouvement contiennent des dérivées d'ordre impair il laut introduire des termes comptémenlaircs, soit dans l'expression de la fonction U relative aux corps isotropes, soit an contraire dans l'expression T ergie kinétique. On a donc deux moyens différents pour 'sd'Airv.
de l'é
aux fol
217. — Dans les théories ordinaires de la lumière c'est lu fonction V qui, rlninjjêe de signe, réprésente l'énergie potentielle du milieu, que l'on modifie toutes les foi les phénomènes présentés par les milieux anisutropc!
qu'il s'agit d'expliqu
thé
Je la polarisation lotatuire de Maxwell, c'est, au contraire, l'énergie kinétique T qui est modifiée, U conservant la ra6me expression que dans un milieu isotrope. Quant aux
•iOO POLARISATION ROTATOIRE MAGMATIQUE
raisons invoquées par ce physicien pour justifier cette modification et surtout pour arriver aux termes complémentaires qu'il convient d'introduire dans T pour retrouver la formule (I), elles laissent beaucoup à désirer comme précision et comme clarté. Nous y reviendrons plus tard ; pour le moment acceptons sans explications le résultat des spéculations de Maxwell et montrons comment Téquation (4)> et les deux qui s'en déduisent par la substitution de r^ et ^ à ly conduisent dans le cas d'une onde plane, ii la formule (I).
Si nous posons
df do Q do do
e/v d.r dy * dz ^
o étant une fonction quelconque et a, p, y les composantes de la force magnétique, le terme complémentaire introduit par Maxwell dans l'énergie kinétique a pour expression :
f L' dy \ dy dz ) ' rfv \ dz d.v )
X>±.{Ali —Wd',.
dy
Dans le cas d'une onde plane parallèle au plan des xy^ les
composantes ;, r,, !J ne dépendent ni de x, ni de î^ ; par suite,
on a :
do do
rfv ' dz
et le terme complémentaire se réduit à
L'énergie kinétique est donc égale à
THÉORIE DE MAXWELL aoi
218. — Cherchons ce que devient Téquation (4) lorsqu'on y porte cette valeur de T.
Si nous supposons y constant, nous avons
d di r ( d'\ d\ \.
Le terme principal de T ne donne rien dans--^ ; quant au terme
complémentaire, il faut le transformer pour pouvoir calculer sa dérivée par rapport ii ç. Or, on peut écrire
j '^-dz^'^'=J ^"> m'^'^-J -dTih'^''
la première intégrale du second membre étant étendue à la surface du volume considéré, et A désignant le cosinus de Tangle formé par Taxe des x avec la normale à l'élément rfa> de cette surface. Si nous supposons les intégrales de volume étendues à l'espace tout entier les éléments de l'intégrale double se rapportent à des points situés à Tinfini. Comme on peut supposer que S, r,, ï sont nuls à l'infini, les éléments de cette intégrale sont également nuls, et nous pouvons écrire
dz
En effectuant une transformation analogue pour Tintégrale du second membre de l'égalité précédente, nous obtenons
df,' di ,
dz dz
La dérivée par rapport à $ de cette dernière intégrale est
dz
202 POLAHISATlOy HOTArOIRE MAGyÉTïQUE
par suite le terme complémentaire de T donne
dans Téquation (4) et celle-ci peut s'écrire :
d'I ^ d\ dW
— aC
D'après Caucliy » a pour expression dans un milieu isotrope
' dz^ "^ ' dz''^'"
C'est d'ailleurs ce qui résulte de la forme du second membre de l'équation (3). L'équation (4) et celle qui s'en déduit en remplaçant \ par Y, deviennent donc
. 0 —1 — iC- ' — V 4- \ ^ I
^^^ / d\ , ^, ./-; , d\ , , rf^r,
+ ^^u izrTT — ^^0 T:r + ^V "Trr +
il' ' ^ ^/r.V/ ' dz' • ' c/c'
