Cherchons à satisfaire \\ ces équations en posant

i î = /• cos l/^/ — (iz) f 7, = /• sin \tit — qz)

égalités qui expriment que la molécule considérée décrit une circonférence de rayon /*. \\\\ substituant ces valeurs de \ et tj, nous obtenons, après suppression des facteurs communs^ l'équation de condition.

(8) ^n} — :iO;q^n = A/y*^ + A//^ -j- . . .

Va\ divisant les deux membres par (j^ nous avons une équation du second degré en — .Ce rapport exprimant la vitesse de propagation du mouvement, nous avons donc deux valeurs pour cette vitesse. Mais le cofficlent A^ étant positif et les coenicients A,...,

TUf:OR!E DE MAXWELL 2o5

Si maintenant, dans l'équation (8) nous regardons y comme constant nous avons en dérivant par rapport à n

ap«-2CY,/«-4Cy/«-^=(2A//+4A//+ )-^=^J-

Pour la môme raison que précédemment le terme 2Crfj^n peut être négligé par rapport à 2p/i et le terme 4^79/2 . par rapport à ceux du second membre ; par suite nous obtenons

dq df/ ^ dfj dn

Si nous portons dans la relation f 10) la valeur de — ; — tirée de

^ ' df/

cette dernière égalité, nous avons pour la valeur de la dérivée partielle

Pour exprimer cette dérivée en fonction de la longueur d*onde dans le vide X, de la lumière considérée et de Tindice de réfraction /du milieu, remarquons que Ton a

^A = 2711 et n\ = 27îV,

V étant la vitesse de propagation dans le vide. De ces deux relations nous tirons

in

df/

dy'

df/ Cf/^ df/ d^ p dn

et par conséquent

En outre, en différentiant la seconde, nous obtenons

Xdn + ncD. = o,

d'où

n }, di ^ di

et n —, — = — A

dn (ûs dn fi/s

If diflerenles el de signes conlniires; ou bien, ce ([ui revient UU même, il une valeur de ij doivent correspondre deux viileiirs de n diflerant par la valeur absolue et par le signe. Mais le milieu considéré constitue un système dynamique dont l'état est déteiniiné, it chaque instant, par un certain nombre d'équations. .Nous avons donc ii rendre compte de ce lail que, pour une valeur déterminée donnée îi l'une et ii l'autre des quantités t/ el /', il y n deux valeurs distinctes de n qui satisfont ii ces équiitions. écrivons l'équation de Lagrange relative au p.irami'lrc /■,

rf rfT^ rfT j/V^

Ce pai'iiinélre ayant une vaji'ur dclernil avec le temps, ;' est nul; pur cunst'({ne[it U rait de l'équation pi-écédente, qui devient

'/T. , dV

c\unm.

Mais T, énergie kinétique du système, est une roiictimi homogène du second degré des vitesses de ce système; T contient doue n', puisque n est la vitesse angulaire d'une molécule d'éther. 11 peut également contenir des termes où se trouvent les produits de n par d'autres vitesses et aussi des termes dans lesquels ces vitesses entrent au secoud degré maïs ofi ne iigure pus n. Quant a U, Maxwell suppose qu'il conserve la valeur qu'il possède dans nn milieu isotrope non soumis îi l'action dn magnétisme; par suite, U ne renferme que des dérivées de 5 et t, par rapport ii :; il no contient donc pas n. Par conséquent l'expression la plus générale de l'équation de Lagrange que nous venons de considérer est

l'uisi(ne, d'après ce i|ui précède, cette équation doîl ^tro satisfaite pour deux valeurs de n inégales en valeur absolue, il fuul nécessairement que B soit dîfl'érent de zéro. Comme les termes Dn proviennent uniquement de l'énergie kînétique, cclle-cî contient donc au moins deux séries de termes. L'une, An', est homogène et du second degré par rapport ii n; c'est l'expression de

ao8 l'OLJIHS.lTIOy ROTATOIRE MAOyj-rjlQIE

l'énergie kinctiqiie d'un milieu non soumis a l'action iln magnétisme. L'autre contient la première puissance de n; ellfi est due au champ niagnétifjue et, par siiilc, clic représente le terme complémeiilaîre (iii'il s'agîl <.i'rxpli(]iier ou au moins une partie de ce terme.

223.— Voici mainteniiril les conclusions (pu- Maxwell détluil de ce tjiii précède :

« Tous les termes de T sont du second degré pur rapport aux vitesses. Donc les termes qui renferment n doivent l'enfcrmer quelque autre vitesse. Or relie autre vitesse ne peut être ni r' ni 1/', puisque, dans le cas que nous considérons, r et y sont constants. C'est donc une vitesse existant dans te milieu, indépendamment du muuvement qui constitue la lumière. De plus, ce doit être une quantité ayant avec n une relation telle qu'en la mnltipliant par n le résultat soit une quantité scalaire; car, T étant une quantité scalaire, ses termes ne peuveni être que des quantités scalaires. Donc celte vitesse doit être dans lii même direction que ii ou dans lu direction contraire, c'est-à-dire que ce doit être une vitesse ani^iilnire relative a l'axe des z.

« Or celte vitesse ne peut être indépendante de la force magnétique; car, si elle se rapportait à une direction fixe dans le milieu, les phénomènes seraient différents quand on retourne le milieu bout pour bout, ce qui n'est pas le cas.

<i Nous sommes donc amenés il cette conclusion, que celle vitesse est obligatoirement liée ii la force magnétique, dans le milieu où se manifeste lu rotation magnétique du plan de polarisation (rrniVérf'é/ecr/vV/fe, t. Il, îj 8ao). n

Un peu plus loin [S SaaJ, Ma.xwell ajoute :

ft Lorsqu'on étudie 1 action du magnétisme sur la lumière polarisée, on est dune conduit ii conclure que, dans un milieu soumis il l'action d'une force magnétique, une partie du phénomène est due a quelque chose qui, par sa nature malhématîque, se rapproche d'une vitesse angulaire agiiisant autour d'un axe dirigé suivant la force magnétique.

i< Cette vitesse angulaire ne peut être celle d'aucune partie de dimensions (înies du milieu, tournant d'un mouvement d'ensemble. Nous devons donc penser que cette rotation est celle de

•iio POLARISATIOy ROTATOIRE MAGSÉTIQUE

du milieu ont pour valeur

/ I rf / </; rfr; \

1 '~ -i dt\dy dz )'

,.,. \ i d /dl rfC \

I d / d'/\ dl \

' 2 dl\dx dy )

Or, puisque d'après les conclusions du § 223 l'énergie kinétique doit contenir cette vitesse, le terme correspondant, dans le cas où les axes de coordonnées sont quelconques par rapport à la direction de la force magnétique, doit être de la forme

et le terme complémentaire de Ténergie kinétique d'un certain volume du milieu a pour expression

aC / ((o,a'H- tù^^' + (O3Y') d'z.

Si dans cette expression nous remplaçons a', ^\ ^ par les valeurs (12) et ui,, w^, tos, par les valeurs (i3) nous obtenons

/ | ds \dz dx ) ' djj \dz dx J ^ dz \dz dx / \ ^ I dx \dx dy / dy \dx dy / * dz \dx dy J \

Montrons que si Ton étend l'intégration à l'espace tout entier

JSTERPRETATION DU TERME COMPLEMENTAIRE an

la première intégrale de cette somme est nulle dans le cas qui nous occupe. En effet, en intégrant par parties, le premier terme de cette intégrale donne

7x:dxdtj - / j;'-^ rfT.

L'intégrale de surface se rapportant à la surface limite, qui est à rinfini d'après notre hypothèse, s' et a sont nuls ; par suite l'intégrale elle-même est égale à zéro. Dans l'intégrale triple du

second membre entre la dérivée -7- ; si donc le champ magnétique est uniforme, comme c'est généralement le cas lorsqu'on étudie la polarisation rotatoire magnétique, cette dérivée est nulle et l'intégrale triple l'est aussi. En prenant ainsi successivement tous les termes de la première intégrale de l'expression du terme complémentaire, on verrait qu'ils sont tous égaux à zéro. 11 n'y a donc à considérer que les trois autres intégrales de cette expression.

Celles-ci peuvent se mettre sous une autre forme. Considérons en effet le premier terme de la première d'entre elles ; nous obtenons, en intégrant par parties

ou, puisque l'intégrale de surface est nulle pour les mêmes raisons que précédemment

I dx dtj ^ J ^ dxdy

Le second terme de l'avant-dernière intégrale du terme com-

au roi.AitisAriiis norMuiiiF M.u;.\/:ri(ji f

Une triinslormalion analogue efTccluée sur lous les termes et lin groupement convenable de ceux-ei montrera ieiit que l'expression (i4) se l'éiluit bien ii l'cxpiession [À'j que nous avons intiodaite [211] comme terme complémentaire dans l'énergie kinétique (lu milieu soumis ii ructinn du magnétisme.

1226- DifBcultés soulevées par la théorie de Maxwell. — Dans la théorie que nous venons d'analyser, Maxwell semble iivoir complètement abandonné la Ihéorie électromagnétique de In lumière. Nous avons, en effet, implicitement admis avec ce physicien, que lorsqu'une onde se propage dans un milieu placé dans un champ magnétique, les composantes Ç, r, et !J du déplacement d'une molécule il'éther ne dépendent pas directement de la l'orée magnétique. Or, nous avons vu (189) que la concordance de la théorie électromagnétique de la lumière avec les théories actuellement adoptées pour l'explication des phénomènes lumineux exigeait que les dérivées par rapport au temps de Ç, r,, t^ soient respectivement égales aux composantes sr, 3, y de la force magnétique. Pour que la théorie de Maxwell sur la polarisation rotaloire magnétique s'accorde avec lu théorie électromagnétique il faudrait qu'il en fiU encore ainsi ; c'est ce qui ne semble pas avoir lieu.

D'autre part les formules de Helmholtz semblent assez dîHlcilement applicables au cas qui nous occupe. Hlles s'appuient sur les principes de l'Hydrodynamique qu'il serait sans doute malaisé d'étendre â l'éllicr, puisqu'il faudrait y supposer une pression uniforme dans tous les sens.

DIFFICULTÉS SOI LEVÉES PAR LA T/IÉORIE DE MAXWELL ai 3

Elles supposent en outre qu'il y a entre les composantes du déplacement et celles du tourbillon, certaines relations qui pourraient s'écrire :

dydt dzdt '

^ dzdt dxdt '

^ dxdt dydt '

et dont Maxwell ne tient pas compte.

227. — Admettons pour un instant que les dérivées ç', 7/, ^' sont respectivement égales à a, p,^ et cherchons les conséquences de cette hypothèse .

Le terme principal de l'énergie kinétique devient

^jV4-P^ + f)^/T.

Les binômes alternés qui entrent dans l'expression (i4) du terme complémentaire ou les dérivées par rapport' au temps de ceux qui se trouvent dans l'expression (5) de ce même terme ont alors pour valeurs

d^i^ dr^' d'f d^

dy

dz

'ly

dz'

dV

<rc:

dx

dy

dz

dx

dz

dx'

dr{

dl

doL

dx dy dx dy

Mais d'après les équations (II) du paragraphe 167 les seconds membres de ces égalités sont respectivement égaux a ^tzu^ ^infj ^r^^v. Comme //, (^, ii», sont les dérivées par rapport au temps des composantes/) j^^, h du déplacement électrique nous obtenons donc

uiG POLARISAriOy ROTATOIRK MAGSICTIQI'E

ne contient pas y'. Par conséquent Téquation précédente se réduit

ou, en remplaçant T par la valeur précédente et eflectuant la dérivation,

Pour que y soit constant il suffit donc que le second ternie le soit également. Or, si nous tenons compte des relations (i5) qui donnent les composantes du déplacement, nous avons pour ce terme

ou, puisque l'onde est perpendiculaire à Taxe des z, ou enfin

Mais ; et 7, étant les composantes du déplacement d'une molécule d'éther, ces quantités satisfont aux écjuations

; = r cos [ni — (jz), r^ = /• sin [ni — fjz].

Si nous calculons les dérivées de ; et y, par rapport à / et leurs dérivées secondes par rapport à :; et si nous portons les valeurs ainsi trouvées dans le terme précédent, nous obtenons

Cr'nfj- [ — cos (/// — fjz) cos [ni — fjz)

— sin (ni — fjz) sin [ni — (jz)^ = — Cr'nrj,

(l'est donc une quantité indépendante de l: par suite y ^^^ constant.

tKontE DE M. POTIER

- fne

auliT

dilteullé de

e«ll..u ili

riélés

des tuurbillun

molécula

ires d

un m

lieu .ouinis n

iiécessai

enient

que

■énergie de ce

lii théoiie découle de l'appliis d'Ilfïlmtioltz aux tourbillon»

Il mcignétismp. Ku pffel il fiiul ; milieu ait pour viileur

Or, si a. 3, •• sont, comme l'admet Maxwell, les composantes d'un tourbillon d'Ilelmliult^ l'énergie kinêlique du milieu a une valeur toute dilTérciile,

Il paraît assez difficile d'aplanir cette dillicultê. On ne pourrait ^uère y parvenir qu'en modifiant prulundêmeut la théorie de Maxwell et ces modilicattons la rapprocheraient de la théorie proposée par M. Potier.

230. Théorie de M. Potier. ~ Celle tluorie est fondée sur les deux hypothèses suivantes :

1° La matière pondérable participe dans une certaine mesure, variable avec la longueur d'onde, au mouvement de l'èlhcr ;

a" I.cs molécules d'un corps pondérable deviennent de véritables aimants sous l'action d'un champ magnétique.

I.a première hypothèse, déjii admise par Fresnel, semble conlinnéc par les expériences de M. Fîzeau sur l'entraincment de l'éther; la seconde est conforme au mode ordinaire d'interprétation des propriétés magnétiques on diamagnétiques des milieux pondérables.

De ces deux hypothèses il résulte que chaque molécule aimantée du milieu éprouve un déplacement périodique lorsqu'un rnyon traverse ce milieo. Kn général ce déplacement n'est pas une translation, les deux pôles de l'aimant se déplaçant de quantités illégales; lu direction de l'axe magnétique d'une molécule change donc périodiquement ainsi que les composantes de son moment magnétique et, par suite, des forces électrouiotrices d'induction prennent naissance dans le milieu. Ces forces s'ujoutant il celles qui résultent de la perturbation magnétique constituant la lumière, la foi qui lie celle perturbation au temps se trouve modifiée et on c-oiicoît que le pliin de polarisalitm cliunge d'azimut

ii8 poLjitis.iTioy Hor.iTuiliE mag.\-/-:tiqi E

231. — Montrons, en cffel, que les hypotht'Bes de M. Potier conduisent b introduire dans l'expression de l'énergie kinétique le terme compK'nientaire de Maxwell et, par conséquent, permettent de retrouver la formule (I) d'Airy.

Soient .r, i/, ; cl .r -}- ô.r, y -\- iy, ; -|~ 3; les coordonnées des pôles d'une molécule uimantée dans sa position normale, et -|- fli et — m les masses magnétiques respectives de ces pôles; nuus avons pour les composantes du moment magnétique de la molécule,

•alcurs nouvelles de ces composantes lorsque la ngée de su position d'équilibre par l'cH'et de la lineusc, il nous faut connaître la direction sui- ; pondérable est entraînée par cette per-

Pour avoir les v molécule est dér perturbation hii vant laquelle la

turbation. Nous admettrons, ce qui est le plus naturel, que cette direction est celle du déplacement électrique. Comme d'ailleurs, dans la théorie électromagnétique, le déplacement électrique est perpendiculaire au plan de polarisation (189), cette hypothèse revient a admettre que la matière pondérable se déplace suivant la direction de la vibration de Fresnel. Si donc/, g, li sont les composantes du déplacement électrique au point j-, y, r, et s un coeirictcnt de proportionnalité, nous aurons pour les coordonnées de l'un des pôles de la molécule déplacée.

et pour les

r+ôr + .A + .ÔA.

La variation o/ de la cunqiosaute /du déplacement pour les variations Zx, Ztf, 5; des coordonnées peut se développer suivant les puissances croissantes de ces dernières quantités; en négligeant les termes du second degré et des degrés plus élevés, nous

^ôr.

■onstquent Icf

létique de la