FORMULE D AMPÈRE
Or,
donc,
dU dG
c/y dz
Un calcul analogue au précédent donne de même,
dV d\\
dz dx dG dV
dx dy
Or on a, d'une manière générale, entre la force et Tinduction magnétique les relations suivantes,
Si le milieu n'est pas magnétique, A = B = C = o et a, i, c se confondent avec a, p, y.
Les formules précédentes peuvent donc s'écrire dans ce cas
d\\ dG a =
dij dz
dz dx '
dG dV
dx dy
248. — Ces formules sont démontrées pour un milieu non magnétique ; on a toujours supposé, dans les calculs, que — et
ses dérivées restaient finies, ce qui suppose que le point où est placé le pôle-unité est extérieur aux masses attirantes ; il n'y avait ici de masses attirantes que le feuillet C.
Nous verrons plus loin (276, 277) que les formules (i3) sont encore vraies dans un milieu magnétique ; on n'a plus alors
FORMULE D'AMPERE
or (ll^ 246),
donc,
L'expression précédente peut alor« s'écrire
dxdx' -f- difdy' + dzdz
' i / dsds'o^s s
Si les intensités qui étaient jusqu'ici prises égales à i, étaient quelconques, on aurait :
1 =zll
dsds^ cos £
et, en posant,
dsds' cos £
il vient finalement
M est ce qu'on appelle le coefficient d'induction 7nutnelle des circuits C et Cf.
.250. — Soit maintenant
dsd s' cos t
le coellîcient d'induction mutuelle du circuit C et d'un autre qui coïnciderait avec C. L est ce qu'on îippelle le coefficient de selfinduction du circuit C.
TRAVAIL DU AUX ACTIONS ÉL'ECTRODYNAMIQUES ijii
Les divers éléments du circuit C exopoeirt évidemment J*un sur l'autre une certaine action ; si le circuit se déforme, cette action produira un certain travail oT. Proposons-nous d'évaluer ce travail.
Nous avons vu plus haut quel est le travail dû à Faction d'un courant sur un autre courant. Quand on veut en déduire Texpression du travail dû à Taction d'un courant sur lui-même, on rencontre une petite difficulté que nous tournerons par l'artifice «uîvaiut :
Si|]]yao60j>s dejux .courants différents C et C d'intensités i et i' parcourant un même ,«. ^
circuit C. Nous pouvons appliquer à ces
deux courants différents la formule (i4) et, si nous appelons oT, le travail dû à leur action mutuelle nous pouvons écrire :
5T, = SLiV'.
Il nous reste à comparer oT ii oT,.
Soient di un élément du courant C d'intensité /; dn'^ l'élément
du courant C d'intensité T qui coïncide avec dz ; soient ^/t, un
autre élément de C, et d^^ celui des éléments de C! qui coïncide
avec rfy.
Si \k est le travail de l'action de d^i sur d^[^
si [jl' » de d^ sur rfy,,
si ). » de dv sur rf^,,
et si oTj est le travail élémentaire total de l'action du courant (\ sur le courant C et oT le travail de l'action de C sur luimême, on a :
oT. = 0 {Ui') =/(;. + .u')
Or :
et
donc,
'àS'2 FORMULE D'AMPÈRE
L'expression du travail 2T, Jde vient ainsi,
Le potentiel électrodynamique total du système voltaïque formé par deux circuits C et C, par rapport à lui-même, a donc pour expression :
N étant le coefficient de self-induction de C
Le travail dû aux actions électrodynamiques est :
11 se compose en effet,
1° Du travail de l'action de C sur lui-même, égal à,
— oL ;
2^ Du travail de Taction de C sur C, égal à,
3° Du travail de Taction de C sur lui-même, égal à,
— oN.
CliAIMTUK II
THKU1UI-: UI-: LINDL'CTION
251. — L'upiniun reçue est qu'une fois connues les luJs de rélectrudynnmique, t'iipplicatioit ilii piiiicipe de lu conservation de l'éuergio suflil à trouver les lois de l'induction. M. Bertrand a cherche h réfuter celle opinion ('). Je viiis discuter ses objections en détuïl, mais on verra que hi plus grande piirlie du champ de bataille restera il M. Bertrand.
On a deux courants en présence. Chacun est alimenta par une pile ; les conducteurs s'échaullent. S'ils sunt mobiles et se rapprochent, il se produit un travail mécanique, ce travail a dû être emprunté ii quelque chuse : il faut donc admettre qu'un phénomène ignoré jusigu'ici introduit dans les équations un terme nouveau, l-a loi d(^ = lM*ilt est-elle encore applicable? l'uurquoi, dit M. Bertrand, de même que la vapeur qui travaille refroidit le vase qui la contient, rêleclritité u'aurait-eile pas un effet analogue ? On pourrait concevoir que les conducteurs s'échunll'ent moins quand le courant travaille et ne serait ce pas aussi vraisemblable que de supposer que les intensités varient ?
On peut répondre : non, celte hypothèse ne serait pas a priori aussi vraisemùlali/e que celle qui est confirmée par l'expérience, Supposons que la loi de Joule ne s'applique plus ; les conducteurs s'échauU'ent moins; on a </Q =^ Rc'f — ildt, H étant une quantité positive dépendant de la vitesse des conducteurs. On pourra rendre 11 trts gi-und, en dunnaiil à la vitesse une valeur très grande, et il pourra arriver que c/Q soit négatif. On emprunterait donc de la chaleur au circuit qui se refroidirait et
{•) ncri,
.aUj... .le .
:i34 TIIKOIUE DE L'ISDL'CTIOS
l'on pourrait la transformer en travail mécanicjue susceptible d'être transformé à son tour, par frottement, en chaleur à température aussi élevée qu'on voudrait ; ce serait contraire au principe de Clausius.
Une autre conjecture est possible : la loi de Joule s'applitpierait, mais la pile consommerait davantage pour donner le même courant. En d'autres termes la loi de Faraday ne s'appli- (juerait pas aux courants qui produisent un travail mécanique. — Cette hypothèse est fort invraisemblable ; si j'ai une pile à Paris et que je la relie par des fils à une machine située à Creil, il serait étrange que, l'intensité restant toujours la même, lu loi de Faraday cessât de s'appliquer à Paris quand le courant travaille à Creil.
Malgré Tin vraisemblance de ces deux hypothèses, on a peutêtre eu tort d'en regarder la fausseté comme évidente, mai» j'appellerai plus particulièrement l'attention sur deux autres olijections de M. Bertrand qui me semblent beaucoup plus graves. Il ne s'agit plus en effet d'hypothèses que l'expérience démontre fausses et qu'on n'aurait pas di\ pourtant rejeter a priori^ mais de circonstances réelles dont on a souvent oublié de tenir compte en s'exposant ainsi à des erreurs.
En premier lieu, lorsque deux courants s'attirent, ils deviennent solidaires, et l'on n'a pas le droit, quoiqu'on le fasse constamment, d'applitjuer le principe de la conservation de l'énergie à l'un d'entre eux seulement : il faut considérer le sf/stèmc des deux courants.
Ce n'est pas tout : l'éther a une force vive variable dont il fîiul tenir compte dans les calculs, comme de la force vive de l'air que met en mouvement un moulin à vent. Ici il y a deux manières de présenter l'objection : on peut supposer qu'un courant permanent rayonne de la force vive comme une lampe constante rayonne de la lumière ; on peut supposer au contraire ([ue la force vive de l'éther reste constante dès que l'état de régime est atteint et qu'il n'y en a point d'empruntée au courant : c'est seulement pendant la période variable que la force vive de l'éther varie ; quand le courant croît, l'éther absorbe de la force vive qu'il restitue au moment où le courant décroît.
COEFFIClEyTS D'iyDi'CTIOy iVi
La première hypothèse, celle du rayonnement indéfini, est contredite par rexpérience, puis([iie avec un courant permanent la chaleur produite dans les conducteurs est l'équivalent de rénergie voltaïque de la pile. Il est vrai de dire que Vexpcrience seule nous Ta appris.
Quant a la seconde hypothèse, non seulement elle n'est pas à rejeter, mais il y a certainement à tenir compte de la force vive communiquée à Téther, sous peine de ne pas tenir compte des faits. En la négligeant on sVxpose à Terreur.
On pourrait varier les objections à l'infini, et Ton sérail conduit à des conjectures plus ou moins invraisemblables qu'il faudrait rejeter l'une après Tautre. C'est en quoi M. Bertrand a raison de dire que Y expérience seule pouvait montrer (juc les lois de Joule, de Faraday et de Ohm sont encore applicables aux courants qui travaillent.
252. — Nous allons prendre comme point de départ ce fait expérimental ; et, de plus, nous admettrons que l'élhor a une énergie éleclrocinétique constante quand le courant est constant, mais variable avec l'intensité du courant. Mais nous devons emprunter plus encore à l'expéricMice.
Soient deux circuits fermés C et C, parcourus par des courants / et /', rexpérience montre (ïue ([uand i varie, il en résulte dans C ^* ^*''
une force éloctromotrice A — 7- , A étant un coefjicienl dinduc-
dt ' ''
tion de C sur C, coefficient indépendant des intensités. Si (^' se déplace et est parcouru par un courant constant /', si au bout du temps dl^ C prcîud une position infiniment voisine C, le déplacement du circuit de C en C" pendant le temps dl produit une
force électromotrice i' —, — , —7— étant aussi un coefficient ne
dt dl
dépendant que des conditions géométriques des deux circuits.
Ici se présente une hypothèse toute naturelle, il est vrai,
mais qui a besoin d'être confirmée par l'expérience ; soient A
iinioHiK lii-: 1.
iMit crray
U' f(.(.-riifii-nt d'itul.iction .1.- C
siir C; A + */A. celui de
rm
Supposons qu'h
l'épotiue /, nous ajons en C
un courant di' ^H
l'L en C." un t'oiirfiii
