VU

DHI'LACËMEyr RELATIF UE DELX CIIU IITS î^'

L'action de deux éléments de courant est mise ainsi sous la l'orme

2(1 sas' h , . . »

dsds'

242. Travail produit par un déplacement relatif de deux circuits. — Si nous donnons à /• un accroissement o/*, l'action de

l'élément AB sur A'B' produira un certain travail. Nous choisirons les signes, suivant les conventions ordinaires en électrodynamique, de façon que la force soit positive quand elle est attractive ; alors le travail élémentaire dû à une variation o;* est :

— ^dsds'Uor, —, — :-r = — '2dsds'o[j

dsds' — — '- dsds'

et le travail dû à l'action totale d'un des circuits sur l'autre est :

I I oU ■ ■ , , dsds'.

oT = 2

Transformons cette expression en intégrant par parties. Nous savons que,

car le contour d'intégration, qui n'est autre que le circuit C, étant fermé, itv a la môme valeur aux deux limites d'intégration. Donc,

?,UJ^}Ld8— f—^^d — C—l—ds dsds' f ds' ds I ds' ds '

FORMULE D AMPERE

par conséquent.

(is(ls\

et comme rien ne distingue C de C on a aussi :

Donc,

ou encore,

ds ds' "* '

0 T est par conséquent raccroissement de la fonction

rfU d\}

ds du'

tfsds^

Le tra\>ail élémentaire est donc la différentielle d'une fonction T

dépendant seulement des positions relatives des deux circuits. Cette fonction (') est le potentiel électrodf/namifjue mutuel des deux circuits. Cette forme élégante donnée a l'expression du travail élémentaire est due à M. Bertrand (*).

243. — Xous avons ainsi démontré Texistence d'un potentiel pour l'action de deux cou- Fig. j-. rants fermés, en nous appuyant simplement

sur le fait que l'action d'un courant fermé sur un élément de courant est normale à l'élément.

{*) Le travail est, en grandeur et en signe^ raccroissement du potentiel, si l'on convient, comme nous l'avons fait, de considérer comme positive une force nllirnnte.

{') Théorie mathématique <fe Vt lectricitc (1890), § i3i, p. 17.1.

DÉTERMINATION DE LA FONCTION U iiy

On peut, réciproquement, montrer que ce fait expérimental est une conséquence nécessaire de l'existence d'un potentiel.

Soit un élément AB (fig. 87), mobile suivant sa propre direction. S'il se déplace en A'B\ le courant conserve la même position dans l'espace, il décrit le même circuit. Le potentiel électrodynamique, s'il existe, n'a pas varié, donc pas detravîiil, ce qui prouve que la force est normale au chemin parcouru.

244. Détermination de la fonction U. — Pour aller plus loin, il faut de nouveau recourir à rexpérlence. Nous nous appuierons sur ce fait que l'action d'un solénoïde fermé sur un élément de courant est toujours nulle.

Nous avous vu précédemment que,

ce ({ui peut s écrire, en remarquant que

ds ds ds' ds'

ou, en tenant compte des équations (4)

T= / ds\^ I l]'^±,.f^ds'

l\n dr y-l dz r„ dr z-^^^^

J ds' r ds J ds' r J

On peut encore écrire pour abréger :

T=j\Fdx-hGdy-\-Hdz),

j-io FORMi'LF D\iMPFJŒ

on posant :

(Si ■ G=

J as r

Kn eirecluant les intégrations le long du contour C on peut rorire :

VU posant :

Intégrons par parties ; le terme fini est nul et Ton a :

car

ci (.i — .«•^) (/.t'

ris' ""~T?7*

Sous cette forme il est aisé de voir qu'on a :

rfF (iG (iU

Kn ellct

<iv ~ j dx ~ J d.r' '

car

POTENTIEL ÉLECTRODYSÀMiqUE D'Uy SOLÊSOIDE :i4l

dx dx' '

Donc,

d¥ dG dW dx dy

^—Çdf=o.

Les quantités F, G, H définies plus haut sont ce que Maxwell appelle les composantes du potentiel vecteur dû à un courant d'intensité I parcourant le circuit C. Pour avoir le potentiel vecteur dû a un courant d'intensité / parcourant le même circuit, il faudrait multiplier par i les intégrales (8).

245. — Proposons-nous maintenant de calculer le potentiel clectrodynamîque d'un solénoïde par rapport au courant C, et d'exprimer que ce potentiel est nul quand le solénoïde est fermé.

Nous avons trouvé,

T =J{Vdx + Gdy + lldz) ,

F, G, H étant les composantes du potentiel vecteur dû à C et l'intégrale étant prise le long de C.

Nous allons transformer cette intégrale de ligne en une intégrale étendue à l'aire d'une surface passant par le contour C et limitée à ce contour. AppH(jnons pour cela le théorème de Stokes. Ce théorème nous donne

(yjj: + Gd7j-i-Udz) =

f['iw-^)

dV du

dz dx / \ dx dij

Donc,

Poing ARE. Electricité et Optique. iG

24a FORMULE D'AMPÈRE

dio étant un élément de l'aire considérée, et /, w, n les cosinus directeurs de la normale à cet élément.

Rappelons brièvement la définition d'un solénoïde. Un solénoïde est un ensemble d'une infinité de courants infiniment petits construits de la manière suivante :

Soit un arc de courbe quelconque que Ton appelle Taxe du solénoïde. Partageons cet arc de courbe en une infinité d'éléments d'y tous égaux entre eux,

A chacun de ces éléments correspondra un courant élémentaire défini comme il suit :

1° L'intensité de ce courant sera i ;

2^ Ce courant parcourra un circuit infiniment petit dont le plan sera normal à l'élément d<j ;

3° Ce circuit limitera une aire plane infiniment petite égale h rfo) ;

4® Le centre de gravité de cette aire coïncidera avec le milieu de rf<T ;

5^' Les valeurs de i et de r/to seront les mêmes pour tous les courants élémentaires.

L'ensemble de ces courants élémentaires constituera le solénoïde.

Nous sommes convenus plus haut de supposer provisoirement i = I pour abréger un peu les écritures.

Soient donc un solénoïde et un élément d'arc di pris sur sou axe et dont les cosinus directeurs sont /, m, n. Dans le plan normal à l'axe mené par l'élément rfo-, circule un courant qui embrasse une aire infiniment petite dio. Le potentiel T du à Taction de ce courant se calcule aisément. L'intégrale (lo) se réduit eu ellet à un seul élément qui peut s'écrire,

, r , / dU dG \ I d¥ dll \ I dG dV \ \

doi \ , fdll dG

dT I \ ^// </-S^ / \ dz dx / \ dx dy

en remarquant que

dx = hh, dy = md(jy dz = ndy.

ACTIOy DE DEUX BLÉMEyTS DE COURAST a^i

Comme (ho et di sont de» con&tantesy quand on passe d'un élément du solénoïde à un autre, il faut, pour avoir le potentiel dii au solénoïde total, intégrer par rapport h dx, dy^ dz le long de Taxe. On obtient ainsi,

, fdW dG\ , fd¥ d^

"' \ dx dy 1 J

246. — L'action d'un solénoïde fermé est nulle ; donc la quantité sous^le signe 1 est une difFérentielle exacte, ce qui s'écrit:

j^/^^\ d fdÇ^ dV\

dz \ dz dx I dy \ dx dy ) ^

d^¥ ou encore en ajoutant et en retranchant

dx'

d (dV dG d\\

dx \ dx dy

Or, d'après l'équation (9}

par suite Mais (244)

rfF dC, , d{\

d.v a y dz

AF = o.

W = — flf{r)dx'.

11 faut donc que A/'^r) soit une constante, pour que l'intégrale précédente, prise le long d'un circuit fermé quelconque, soit nulle. En effet celte intégrale ne peut être nulle que si A/*(/) est fonction de x' seulement. Mais A/'(/) est une fonction de r seulement. Elle ne peut donc être fonction de x' qu'en se réduisant à une constante. Ecrivons donc ;

On tire de la :

FORCE ÉLECTROMAGXÉTIQUE ET POTENTIEL VECTEUR li'i

OU en remplaçant U' et U" par leurs valeurs,

^y d^V I dr dr i d^r

dsds' 2r* ds ds' r dsds'

La force attractive exercée entre deux éléments est donc,

*'//// 'IT' ^^ ii'dsds' / dr dr d^r \

dsds' /•* \ ds ds' dsds' I

En tenant compte de la relation,

dsds

Y = cos 8 cos 8' — cos s.

et des relations,

-7- = — cos Q, ds

--— = cos Q\ ds

cette force attractive peut encore s'écrire,

lii'dsds' l 3

, X lii'dsds' 1

(II) -p^ ^cose —

-cosOcosQ' )•

247. Relation entre la force électromagnétique et le potentiel vecteur, — On a vu dans la première partie (111), que Taction exercée par le circuit C, sur un pôle magnétique égal à I (*) est une force qui dérive d'un potentiel et dont les composantes sont,

dû

__dQ

^~ dz'

û est le potentiel magnétique dà a un feuillet limité au con»

(*) On peut avoir un p6le magnétique isolé, en considérant un solénoïde magnétique de longueur infinie dont un seul pôle est à distance finie.

^FORMULE ''D'AMPERE

tour du circuit C, et de .puissonoe égale à Tîntensité du courant. Soit dtù' un élément de Taire limitée au contour C/, et /', m\ n\ les cosinus directeurs de la normale ; ce potentiel a pour valeur,

dy'

dz'

diù'

Or ~ est fonction de x — x\ y — y', ^ — '•' ; par sui

suite

dx dx' ' dy dy' ' dz dz!

Il vient donc, pour la vûleur du potentiel magnétique,

iî = —

diù'.

Cela donne pour les composantes (a, jî, y) de la force magnétique les valeurs suivantes,

di.o'.

Transfovmons maintenant

F= i f{r)tia' =

FORCE ELECTROMAGNETIQUE BT POTENTIEL VECTEUR 247

en une intégrale étendue à l'aîre | rftu' limitée au contour C II vient,

F= 1 —d.v'= I ilo)'\ ni' —j-i n'

dz' dy'

— I rfo>'» ■-'

dy dz

Nous aurons de la même manière,

„ , , dïl dG

Calculons -^ = — : nous avons,

dy dz

dG f ( '^' T '^'t]

\ dxdz dz^ / •

et, en ajoutant l'identité suivante,

il TieBt,

\ dxdjc dx^ /

d\V de ■ 7 i'4

a — I diùl à

dy dz I /•