CHAPITRE III
THÉORIE DE WEBER
254. Explication des attractions èlectrodynamiques, — Weber a voulu rendre compte des attractions èlectrodynamiques, en considérant les courants comme produits par des masses électriques se déplaçant dans les conducteurs, et supposant qu'entre deux masses électriques s'exerce une action qui dépend de leur mouvement et qui se réduit à Taction déterminée par la loi de Coulomb quand elles sont au repos.
Soient deux masses e et e', au repos : la force répulsive qui
ee s'exerce entre elles est égale iiH j- , en unités électrostatiques.
Weber admet que si elles sont en mouvement, la répulsion devient :
A et B étant fonctions de /• seul.
Il s'agit de déterminer A et B de manière à retrouver la formule d'Ampère, en vertu de laquelle la répulsion entre deux éléments de courant est, en unités électromagnétiques :
ii^dsds' I (Pr dr dr \
^""^ '^ 7' v''lhd:'~'lh 17)'
Les quantités d'électricité e et e' sont supposées parcourir les
(') Eleclrodynamischc Maassbesttmmungcn, p. kKy.
ATTRACTIONS ÊLKCTRODYNÀMIQVES »6i
deux circuits avec des vitesses constantes if et {>' . La distanee r est fonction de s et de s' et on a :
ds , ds' ^/ —
dt' dt '
dr dr dr ,
d( ds ' ds' '
dh' d'r , , dh' , , rfV „
dl^ ds* ^ dsds' ^ ds'* '
La répulsion électrodynamique [le second terme de l'expression (i)] devient ainsi :
sces'' -f- 2|jLer ri* + vpe f* "*, en posant, pour abréger :
rf^/- rf/- dr
d*r .. f dr
dr y
ds' ) '
as ^
Supposons que ds contienne e d'électricité positive, e^ d'électricité négative (e, est un nombre essentiellement négatif; quand le corps est à l'état neutre e + e, = o). La vitesse de e est r, de e^ est (',. Dans ds' on a de même une quantité e' d'électricité positive et une quantité r'^ d'électricité négative animées respectivement de vitesses f*' et if\,
La répulsion totale de ds sur ds^ s'obtient en composant les répulsions des quantités e et e^ d'électricité contenues dans ds sur les quantités e', et e',, contenues dans ds' .
Il vient donc :
i6a THÉORIE DE WEB EU
en posant :
De même
VecV* = (e + e') (eV* + eîf'î).
F.e débit électrique du premier circuit est :.
e ef
pour l'électricité positive ;
ds
Ci*
Il est égal à --J-* pour l'électricité négative. Le débit total est
[lonc
ef +^,f,
ds
D'autre part l'intensité / est par définition le débit total exprimé en unités électromagnétiques. Le débit total exprimé en unités électrostatiques est donc c/, c étant le rapport des »inilés, de sorte <[u'pn a :
' — — — ri
ds '
Donc :
y ce's>\'' = c^ii'dsds .
La répulsion électrodynamîque est nulle entre un conducteur chargé d'électricité, mais où ne passe pas de courant, et un autre parcouru par un courant sans être chargé.
R doit être nul si le conducteur C n'est pas chargé mais est parcouru par un courant, c'est-à-dire si e+e, =^o, et si le conducteur C est chargé mais n'est parcouru par aucun courant, c'est-à-dire si \>' = f^'^ == o ;
JTTH.ICnoys ÉLFCTHOUr.VA.MIQVES a63
Mais si 1^ =^ 1^, ^ o les ileux (iernîers lermes de II s'iinmikTit ; le premier teinic doil dont s'annuler également ; donc (tu a :
/. !>' + p|l ^ecî + Pii-ï) =o.
). n'est pas nul en géiiéiiil ; e -f- c',5o si le comluctetir C est chargé ainsi (jue nous I':ivons suppose. Donc on a :
et de ui6me :
yé d'électricilé et i alors
B d'un I
Voilii lies conditions liicn étranges et bien aitilieielles. V.n outre elles obligent d'jidmetlre l'existence réelle des deux fluides. Il y a plus : Ilowhind a réalisé des actions électrodjna-
mïqiies avec un disque chargé d'électrf""'" -' — ■■-- -''■•"
vement i-:ipide (voir plus loin, p. iî8a) ;
i- = (',, d'où (•('- + *-,vf =: (e-f- C|) ('',
et ni i-uie + e, n'est nul. Il esl vrai qu'en faisant le calcul on reconnaît que ce facteur esl al)si>lunnnl né^ligcidile diin» les expériences de Rowland.
255- — On peut présenter la théorie de Weber sous un jour plus favorable. Rien n'est plus loin de ma pensée que de la défendre; mais je veux montrer seulement en quoi on pourrait la rendre moins étrange. On peut supposer e et c, séparément très grands, trts supérieurs en valeur absolue it leur somme algébrique e-|-e, ; B et e, seraient de l'ordre de grundcur d'une quantité très grande N, e + e, de l'ordre de grandeur de l'unité et, au contraire, (' et 1), de l'ordre de -^ . Ceci pourra paraître assez naturel d'après la vitesse que certains physiciens attribuent à l'électricité dans les éicctrolyles, vitesse qui, il les en croire ne dépasserait pas quelques millimètres par seconde; je ne veux discuter ici eu aucune façon leurs conclusions. Il n'est pas nécessaire d'ailleurs que v et c, soient si pelils pour pouvoir être regardés comme très petits. Il sullît en eiret que c soit petit par rapport à c, qui est égal à la vitesse de l.i Inmièro.
264 THÉORIE DE WEBER
^^"H^i^i ^^^^ ^^ Tordre de grandeur de i; ^f^^ + ^ji'*,, de
Tordre de — . Le produit {ev^ -\- e ^s*^ ^ (^+0 ^^^^ ^^^ ^^^^ ^^^^
petit, de Tordre de :j^ ; et deux des termes de R, les termes
en A et en v sont complètement négligeables en présence du terme en jjl. On n'a plus alors les mêmes dilTîcultés, et Ton rend compte des expériences de Rowland.
256. — On trouve en somme, en ne tenant compte que du terme en [jl et remplaçant
ee'çv' ,
par sa valeur,
\ dsds'^ ds ds' r en identifiant avec (2), il vient,
/ ' ^~ ic'r' '
donc Texpression de la répulsion électrodynamique entre deux masses en mouvement est :
ec r I d^r \ / dr \ - 1
'IFyT'dë 17\dtl \
257. — Une question se pose : Thypothèse de Weber est-elle conforme au principe de la conservation de Ténergie ? Le travail de la répulsion électrodynaml([ae est :
ee' r dr d^r dr / dr \ ' l
7^1 r di' ~7?'\dr) y
et doit être égal à — d'I s'il existe un potentiel et qu'on appelle A ce potentiel. Mais on a :
dr d^r i dr . dr
r ' dl' T'dT' ' dl '
rOTENTlEL KLECTRODyyjMIQlE a6>
d'où :
,, ee' \ I dr . dr dr i / dr\^~\
Le potentiel tota/ (obtenu en tenant compte à la fois de la répulsion électrostatique et de la répulsion électrodynamiqiio) de deux masses e et e' est donc,
^ /• L' ac^* \d( / y
Cherchons, d'après cela, le potentiel mutuel de deux éléments de courant (en nous bornant ici au potentiel électrodvnamique) ; c'est :
=-^[(£)'I-.+lÏ4iw.+(-)>.|
Le premier et le dernier terme disparaissant, il reste Jr
dt* dr terme du milieu qui est 2c'^ii'dsds' -j- • "TT î '^ potentiel électro-
^ ds ds
dynamique est donc,
— n dsas —. r-y •
ds ds
258. — Nous avons là une différence avec la théorie d'Ampère, d'après laquelle l'action réciproque de deux circuits fermés admet bien un potentiel, mais non l'action réciproque de deux éléments, ni même l'action réciproque d'un courant fermé et d'une portion de courant. Je dis que dans la théorie d'Ampère un élément de courant n'a pas de potentiel par rapport à un courant fermé ; en effet, soit un élément AB qui se déplarr sous l'action d'un courant fermé et vient en A'B'; je puis choisir AA', tel que le travail effectué dans ce déplacement ne soit pas nul. Je pourrai toujours ramener l'élément en AB sans travail, si la loi d'Ampère est vraie; en effet, je fais tourner A'B' autour de A', jusqu'à ce que sa direction coïncide arec A A'. Le travail effectué dans cette relation est un infiniment petit d'ordre supérieur. Je fais ensuite mouvoir l'élément dass sa propre
direction : il i courant fermi
;i'l en efFet les
THEORIE bF. iVEIIER
enl en AB" : uucun travail, puisque riiclion d'un est normale » rélément; une rotation autour de A le ramène ensuite en AB, et en u'efTectuant encore qu'un travail infiniment petit d'ordre supérieur. 11 n'existe donc pas de potentiel, puisqu'on a pu l'amener l'élôment i) sa position initîali? sans que le travail total effectué soit nul ; ce travail total se réduit à ecluî qui a été efîectué pour amener AB en A'B'.
La contradiction avec la théorie de Weber n'est qu'apparente. On a supposé, dans cette théorie, les muléculcs électriques animées d'un mouvement uniforme ; cela n'est possible que pour un courant renne, non pour un courant ouvert. A l'extrémité d'un courant olécules électriques s'mrêlenl; leur accélé-
ration n'est donc pas nulle. Les éléments voisins des e.vttémités n'obéiraient pas à lu loi d'Ampère, parce qu'il y aurait à tenir compte de l'accéiéralion des molécules électriques qui y circulent, accélération qui n'est plus nulle. Il y aurait donc divergence entre les deux théories si on avait ii faire, par exemple, à un courant fermé et si une portion de courant entièrement libre.
Mais ce n'est pas le cas ou l'on se place d'ordinaire quand on examine expérimentalement l'action d'un courant fermé sur un élément do courant.
En eirel, quand ou étudie l'action dun conducteur fermé sur un élément mobile AMB, cet l-g ^, élément mobile AMB fait partie lui-ménic d'un
courant fermé et ses extrémités A et B sont mobiles le long de conducteurs fixes. Il n'y a pas alors d'accélération pour la molécule qui arrive en A ou en A' ; et, dans ec cas, la théorie de Weber nous conduit ii la loi d'.\mpère. On
' qu »i
liquei
nt les deux loi
trouve alors, en effet, que les for<
admettent toutes deux un potentiel, et le même potentiel ;
ISDVCriO\ B.I.V.S /..( niEORIE Dt: WKttHH ï6;
leiiif nt dans la tht^orip d'Anipi-re, il n'y a un potentiel qu'en vertu dpB liaisons particulières imposées au système. SJ, nu contraire, un ronsidérilit deH courants instantanés, ouverts, lu loi d'Amptre et riiypotht'se de \Veber eunduiraîenl ii des résultats diU'érents ; mais dans ce cas l'expérience ne semble guère possible.
259- L'induction dans la théorie de Weber. — l,a lui de Weiier satisliiil ;ni prinripe de la coiisiMviilî(in ilc l'énergie. Dune, d'après Maxwell, les l..is de linduelion doivent s'en déduire. Dans l'espèce, ce rnisonnemcnt ne vaut rien : on ne Ironverail les lois ordinaires de l'induction en partant de l'hypo- Ihêse de Weber, (juVn supposant qu'un n"a que des courants rennes, cl nullement si on suppose qu'un a des circuits ouverts. Maxwell a commis dans son calcul ('; des erreurs graves, mais il en a commis deux qui se compensent.
(Ihcrclions l'induction de C sur C Les deux circuits sont mo-
i fonction non
i,ii.-»
la distance r de deux
nts
ih et ils' est i
• cul.'
ncnl
d.- « et Je .',
du temps / :
.-Ib
ictiondcK el f.
..-fi
on de «'et/'.
ctiou
électrojviian
e est
S'y il' "
-df)']^
(jcre
présente par des
'S (Je
■!vt
es totales, et
dérivées partielles).
i • iV
i uni ,...,.r V
lei
Ôr.
d'r ilr dv dr
di- + rfT l'i "•" 17
dr dr
!i6H THÉORIE DE WEBEB
Maxwell oublie les deux termes que nous avons mis entre parenthèses.
Dans ds nous avons e d'électricité positive, animée de la vitesse i* ; et e^ de négative, animée de la vitesse r^ ; dans d^y on a des quantités d'électricité e' et e',, animées de vitesses r' et ç^^.
Si R, est la répulsion de e sur e', R^ de <?j sur e',
R3 de e sur e',,
R^ de e^ sur e\,
la répulsion totale, précédemment trouvée, est
La force électromotrice d'induction est évidemment proportionnelle k la force qui tend a séparer Télectricité positive de Télectricité négative dans Télément ds ; ce seraR, + R, — R,
— R^; et il faudra multiplier par cosÔ'=— , pour avoir la
composante de la force dans la direction du fil. La force électromolrice cherchée est donc égale à
4; K=Acose'(R, + R,— R,-RJ,
k étant un coenicient constant qui dépend de l'unité à laquelle sont rapportées les forces électromotriccs.
Pour délerniiner ce coedicieiit /: examinons nu cas particulier, par exemple celui où les masses électriques sont au repos et où les forces électromotrices se réduisent par conséquent aux forces éloctrostiitiques.
Dans ce cas, si Ton pose pour abréger
Il = cos 0 (R, + R, — Ra — H,), il vient :
Il -^ T-^'e —e[) -— = [e'—e[) — rV,
/•' ^ '' ds' c '' ds"
en représentant par -^ le potentiel électrostati([ue
INDVCTIOS DASS LA THÉORIE DE WEliER .469
La force électroiiiotrice électrostatique est d'ailleurs
as e — e ^
et, comme par définition E^=A*H, il vient :
Nous pourrons donc en général déduire la force électromotrice E de la connaissance de
n = cos 6' (R, + R,— R, — RO-
2oO. — Kn se reposant aux expressions de 1 — j et 'yt' ^'^
reconnaîtra que H contient des ternies en f^, v'^y iH»\ (^, f'', qui sont
, di» dv' di» ,d^*'
tous connus ; et des ternies en -r-, — r , ^ -7- et r -ri.
dt ' d( ' ds ds'
Si on laisse de côté un coefficient dépendant seulement de la
position et du mouvement relatifs des deux éléments ds et ds'
mais qui est indépendant de e, e^^ v et r, et de e' y e\y s^' et f', :
les termes en f* seront [ev^ -^e^v^^) [e' — e'J, en 9^>' (<^^'H-^i^'i) (<^'^' — ^'i^j)>
en v" (e + ^i) (eV^ — ^>?;,
en i' (^^ + ^1^',) («' — ^'i)»
en v' (e+^;) (^V — cV/),
connus : (^ + ^1) (^' — ^'J î
on aurait de même ce que donnent les termes en— 7-, v -p , etc.
^ dt ' ds
Dans les courants voltaïques ordinaires, on a :
Tous les ternies disparaissent, sauf le terme en ^> et le terme
dv l . ^ rff ,. . , , . ,
en -7- I le terme en p -r- disparaissant pour la même raison que le
terme en v^\. Les seuls termes qui importent dans l'expression
•i70 THEORIE DE WEBER
, î)^/- . , , dr dv , d^r
„ . T- sont donc le terme -^--j- et le terme 2 -7—7- <', qui est un de ù/' é/5 dl dsdl ' ^
ceux que Maxwell a oubliés.
Dans (rr-j qui a pour valeur,
dr dr
ds dt dr dr . dr dr
ds ds' ds' dt
dr dr
on aura a conserver 2 r- ^.
ds dt
l/action électrodynamique (3) s'écrit donc, après Tavoir multipliée par
cos W = —rr ds
pour avoir la composante de la force dans la direction du fil,
II (^' — ^\) r dr l di> . dv,\ i d^r , .)
dr dl
Or,
ds dt
d^f dv. di ,
^//! ' ' dt dt
dr , 1 dr
Donc,
c-/"' I r/if dl ^ dsdl ) ds dl \ ds'
D'où la valeur de la force éleclromotrice,
K 711 <^^'^' (e' — e\) , r dr di ( . d'r )
dr dr . 1 rf/* dsds' V dr dl ^ . d'r ^
~~d7'iir'\'ii7^~7^V'iir IF '^ {''''' '^^
. dr dr 1 dr ds dt J ds' '
FORCE ELECTROMOTHICE ^7»
Oi-,
dsds' r dr di dr . dr dr dr ~\ , , / ^'* àr d / i /•* L' ~ds Ht 117 ^ ~d7~dr 117 \ * * IslÛ^ dl\r
Donc,
dr dr d
E = dsds
(j\i { 2idsds' dr d^r )
ds ds' dt W+ \ 1^ ds' ITdîS'
Maxwell néglige le second terme et écrit le premier ^ d( \ ds ds' r )
ce qui n'est pas exact. Car,
d \ dr di
dsds'
= dsds
dt I ds ds
. dr dr d
ds ds' dt
idsds' r dr d^r dr d^r ~|
""7~| "rf7 rf?rf7 "^"^7 lûdt] '
il oublie donc le second terme.
En dernière analyse, la somme algébrique des termes négli gés
2id'sds' dr d^r
/• ds dsdt
et
idsds' r dr d^r dr r L ds ds'dt ' ds'
dh^ dsdt
s'écrit
idsds' 1" dr d^r dr
r ds ds'dt ds'
dsdt
Ainsi donc, d'après M«x\vell, la force électromotrice totale (i) a pour valeur, en intégrant par rapport à s et s',
dt j j ds ds' r dt '
à-ji TUEORIE DE WERER
l'C qui n'est vrai que si riiitégrale des termes négligés,
/ / idnàa' ï dr d'r dr d'r T
/ / r 17? lûdT ~ iritTlT y
est nulle.
Or, cette intégrale n'est nulle que si les Jeux circuits auxquels on étend l'intégration sont fermés.
Montroas cela. Considérons si cet effet l'intégrale,
rf»' d*r dr
r dsdt ds' '
<iui, intégrée par parties, donne.
ds' dh' dr r d'r I /
/• dsdl ds' L ^^ ' * dsdt \ J
- I ^""^''iMdï'^''
Le circuit considéré étant fermé, le premier terme du second inenibre de cette expression est nul, sa valeur étant la même ;iux deux limites. Il reste donc,
/ds' d^r dr l d^r
ds' .
Intégrons par rapport à s; il vient
r Cdsds' d-r dr r r d^r
J j ~l~~d^'d7'~~ j j ^S'*' dsds'di
(Isds.
Cela veut dire que le premier membre est égal à une expression qui ne change pas quand on y permute soi s'. Par suite,
dsds' d^r dr
r dsdl ds'
dsds' d^r dr
r ds'dt ds '
ol c'est précisément ce que nous voulions montrer.
Mais, je le répète, ceci n est vrai que pour deux courants fermés.
