Ce potentiel est inversement proportionnel à r
Comme, en vertu du principe des courants sinueux, ce poteiîtiel doit être linéaire en cos s et cos 0 cos H' (Cf. n° 240, p. 234 ) Helmholtz est conduit à lui donner pour expression :
ii'dsds' ( A
^ cos 6 cos V
où A et B sont des coeflicients constants.
PoiNCARÉ. Electricité et Optique. i8
27 î THÉORIE DE HELMIIOLTZ
Celle expression peut s'écrire, en se rappelant que (n" 240),
cos 9 cos 6' = cos e + /•
dsds' ' d'r
Si Ton a deux courants fermés, leur potentiel électrodynamique mutuel sera l'intégrale double
yj,r^.4(A + B,i^+B^]
Le second terme est nul, l'intégrale étant prise le long d'un circuit fermé ; donc,
'^'-d;dP = ''-
Le potentiel électrodynaniique se réduit alors à,
dsds^
cos £
L'expérience montre que Ton doit prendre (n*^^ 246 et 249)
Mais lanl ([ue rexpéricnce porte sur des courants fermés, elle
est impuissante à déterminer le coefficient B du terme . . . ; c*esl
dsds
pourquoi, dans diverses hypothèses, on a pu attribuer à B des valeurs diflerentes.
En posant avec Ilelmholtz
Texpression du potentiel élémentaire devient,
ii'dsds' (^
I A- d'r \ 2 dsds' /
a l"i'\pi'ossion du polentîel ijii'ava En faisant k = o, dit HelniLohz, • relmQveniit l'êleclrodyniiniique de Miixwell. Cette assertion < Hclmholtz a été purl'ois mal comprise ; nous y reviendrons phii
262. — La loiniule d'Aiiipi-ce peiit-dle ,Mre considér-^-c < un cas parliculiei' de celle di; lleitnliultx .' lin iiiicune rac;Dn. Nous avons vn, en elFet, (]ue duns la théorie d'Ampère l'action mutuelle de deux éléments n'a pas de potentiel. La formule d'AmpJ;ro est la seule qui explique les faits pur une ucliuD entre deux éléments, réduite il une force dirigée suivant la droite qui les joint. Dés (ju'<»n admet (jne celle action dérive d'un potentiel, comme le potentiel dépend de l'orienlalion des éléments, ses dérivées par rapport aux angles qui délinîsscnt cette orientation ne sont paa identiquement nulles, et il en est de même du travail virtuel quVntraîne une variation tuGuitésimnlv de ces angles ; c'est dirs qnc, outre la force dirigée suivant lu droite de jonction, existent des couples qui tendent il faire tourner les éléments et dont les moments sont de l'ordre de grandeur de la force. M. Bertrand a fait à ce sujet des objections à lu théorie de HelmhoUz iCumpie» rcWwj, LXXni,p.y65; LXXV.p. 860; LXXVIl.p. io4t));sftlon lui, tous cci couples, agissant sur tous les éléments d'un lîl conducteur parcouru par un courant et soumis a l'action d'un autre courant ou de la terre, devraient immédiatement briser le fil et le réduire en poussière, llelmhollz répondait qu'une aiguille aimantée ne se brisait pas sous l'action de la terre, quoique sur chaque élément de longueur agit un couple dont ;sl de l'ordre de grandeur de l'élément. M. Bertiand a répliqué que personne ne crovait plus aujourd'hui ii l'existence réelle des fluides magnétiques de Coulomb et que la réponse de IlelmholtK n'avait pas de sens ; il semble que Uelm-
EQUATIONS FONDAMENTALES 277
qui n'est qu'un cas particulier de celle de Ilelniholtz, on peut tout expliquer en supposant que Faction mutuelle de deux éléments se réduit à une force unique dirigée suivant la droite qui les joint. J'ai dit au w^ 258 comment cela peut se concilier avec le fait de Texistence d'un potentiel qui est en apparence contradictoire.
263. Équations fondamentales. — Nous avons mis le potentiel électrodynamique mutuel de deux circuits sous la forme (n° 249).
(i) T = if{F(U-\-Gdi/ + lldz)
dans le cas d'un circuit fermé.
Ici, on a, pour deux circuits quelconques :
Or on a d'autre part,
cos £ dsds' = dxdx' + dtjdij' + dzdz\
, , , as = -; — 7-; a.r -\ ; — r-r du -\ — -. — -, — az.
dsds' dxds' dijds' -^ dzds'
d^r En substituant dans T cette valeur de 7— rj , que nous venons
de trouver, nous pouvons donner à T la forme (1) déjà trouvée dans le cas d'un courant fermé, en posant,
F= I in. . .lui fi'js' '^'- .
/i'iLr' "
dxds
(3) G= 1 nr^ + -Llzi / i'ds' '^'
k l .,^^^, rfV
lijds'
dzds'
178 THÉORIE DE IIELMIIOLTZ
Nous dirons que F, G, II sont les composantes du potentiel vecteur.
Posons
las -7-7
rinlégrale étant étendue au contour C et étant nulle dans le cas d'un courant fermé ; en dlflerentiant par rapport à a*, il vient,
F, G, II deviennent donc,
i'd.v' I I — k rf'^
iUly' ,A- d'I
dy'
On peut ('crire aussi,
i',lz' I— /• d
/• 2 dz
et en efTel si on r(»<^arde ./', //, - coaime des constantes on a,
dr , dv , dr , dr , dr = -j-r ds ^ -j-r d.r -+- -r-r dij + -y-7- dz . as (i.v dij az
264. — Donnons ii ers écjnatloiis une forme applicable aux conducteurs à trois dimt»nsions.
Si z est la drnsité de réleclricité libre, zd-z est la (juanlilé d'électricité contenue dans le volume ^/t ; mho est la (juantité
