CONDUCTEURS A TROIS DIME S SI OS S
d'électrîcîté qui traverse dans l'unité de temps Taire rfw normale à Ox ; de même, vdiù c'est la quantité d'électricité qui traverse l'aire rfo) normale à O^; w'rfw, celle qui traverse rfw normale à Oz. On a :
dn (h dw rfp
dx dy dz dt
C'est l'équation dite de continuité (Cf. 1" partie, n® 29). Le fil conducteur peut être assimilé h un cylindre de section rfu). L'élément de longueur étant ds^ l'élément de volume a pour
valeur d'z = diùds.
di La section par un plan perpendiculaire h dx est -^ .
Donc,
dx '
d'où,
/ H d'z = idxy
çdz = idy^
et pour l'élément ds^
' u'di' = i'dx', ■ ^'dz' = i'dy\
Donc,
T: = Ç(Fu-]-Gç + lhv) dr
avec,
ii'dt
2 rfx '
h'Vt' I — A: d-!^ r 2 rf^
6H<> THÉORIE DE IIELMHOLTZ
Traiisformims niniiiten«nnt rexpression ;6; ; nous avons,
, dr , fi/' . .
Si nous cherchons le potentiel électrodynaniique mutuel total ntius avons ii prendre rélénient diH'érentiel :
où F, G, Il sont des intégrales étendues h tous les éléments </t' de tous les conducteurs, d-z excepté. Kn opérant de la sorte on compte deux fois dans Tiiitégrale double le potentiel mutuel d'un couple d'éléments dz et d'z'. Donc il faut diviser par s* l'intégrale ainsi calculée pour avoir T :
■H) T=— / (Fw + Gi'4-I^v;V-:.
On peut dire que l'intégrale est étendue à tout l'espace, car en dehors des conducteurs, //, f», tf sont nuls.
On pourra, dès lors, appliciuer le théorème de Green, relatif à l'intégration par parties dans tout l'espace ,^*;; cela nous donnera
j , . dr l du
, , dr t , d^v'
(l-z w —r-r =^ — I dzr
Iz' '~ f • dz! '
(' .N«ni«< iiilt-^rniis pnr parti*» pnr rapport à x onlro los limites œ ot — ac et. roiniiK' H <>st MiippoMe nul à riiifiiii, le tonne tout connu disparaît.
POTENTIEL ÉLECTROSTATIQUE 281
^ prend alors la forme
f ^ I I f / / du' di»' d^
265. — Considérons deux quantités d'électricité e\ e' ; elles se
repoussent avoo une force d'intensité — — 3- , a étant une cons-
tante. Si Ton adopte les idées universellement reçues, A est i dans le système d'unités électrostatiques et est le carré de la vitesse de la lumière dans le système électromagnétique. Je conserve A parce que nous serons conduits à modifier un peu les idées reçues. Le potentiel électrostatique cp est donné dès lors par,
d'où, par dilTérentiation,
Or :
et comme,
dr dx
il en résulte que
Donc,
1 d'z/ , , ^ do r dt dt
a8a THÉORIE DE IIELMHOLTZ
Appliquons maintenant aux deux membres des équations (7) Topérateur A ; il vient pour les premiers membres de ces équations, d'après le théorème de Poisson,
\ En ce qui concerne les seconds membres, nous avons,
/ =-7- *^'^ ; etc.,
(ix dx '
et, en tenant compte de (9 bis)^
dx * dxdt
, dij . d'o
dij ' dijdt '
dz dzdl
Donc,
(lo) ' AG = — 47i^^+(i —/•)).. ''"'"
Alï = — 47:^v + (i — /) X.
dzdt
Calculons maintenant
^F dO , d\\
dx dy dz
POTENTIEL ÉLECTROSTATIQUE a83
Nous avons en dîfférenliant la première équation (7) par rapport à .r,
Or,
dx djc
Donc,
et, en appliquant le théorème de Green,
En effectuant des transformations analogues sur
rfG / ^,^J Z I— A- d'^\ dij ~J ^ ^ dij 2 dy''
et
I — A- rf^'i
dz^ '
on trouve.
/ d-J du' i—k d''!^
r dx' 2 dx- '
ch' di>' i—k d''l
/• dy' 2 dt/^
/ d'z' d^K'' l—k rf^']/
r dz' 2 dz
284 THÉORIE DE IIELMHOLTZ
ï/expression que nous nous sommes proposé de calculer s'écrit donc,
dV flG dU
d.v dy dz
et en tenant compte de Téquation de continuité,
d¥ dG ^__ /^rf-y dp' i—k ^
dx dy dz 1 r dt 2.
ou encore, d'après (9 i/**),
On a donc finalement,
j r/F dG dll ^. d^
dx dy dz * dt
On voit que J serait nul en particulier si on faisait k =0, 266. Équations de la loi de Ohm, — La formule.
dt
s'applique aux courants fermés. Si on l'applique à une portion de coui'ant, il faut tenir compte de la difl'érence de potentiel aux extrémités. Appelons '^^ — 'j^ cette dillerence de potentiel ; on a donc dans ce cas,
*" ** dt
Si on a un élément rectiligne parallèle ii 0.r, cp^ — '^^ devient,
On peut poser,
