K — A /rf?y
K — )/ ~" 8- U:ry '
Il vient donc :
^■=/-[wS(*)V^2(è)"l
le signe \ indiquant une permutation circulaire sur les lettres .r, Ou enfin,
D'autre part, nous avons l\ l'intérieur des conducteurs : (6) '^:=const.
A l'intérieur des diélectriques, l'équation de Poisson nous donne :
3a6 PASSAGE DE LA TUÉORIE DE UELMUOLTZ A CELLE DE MAXWELL
le signe ^ ayant la même signification qne plus haut; d'où, en remplaçant /'par sa valeur n** 284,
>v^^vJLr(K-).)-f-|
^^ ax^ ^^ dx L^ ' dx J
ce qui peut encore s écrire,
dx
Considérons maintenant un point de la surface de séparation des conducteurs et des diélectriques. Nous poserons, conformément à une notation généralement adoptée :
^ dn dx dy dz
Nous aurons alors (en nous rappelant que '^ est constant h l'intérieur des conducteurs) en un point situé dans le diélectrique mais infiniment voisin de la surface de séparation ; .
Nous avons posé
nous supposions alors (jur /, ///, /? étaient les cosinus directeurs do la iioi inalo diiiiivc s'Cf s le conducteur ; si nous supposons coinnu' dans la fornuilc 8 (rue /, /;/, n sont les cosinus de la normale dirii^vc vers le diclecir/fj/iej il faudia écrire :
d'où
et en remplaçant /j i,»-, // par h'urs valeurs
ÉNERGIE ÉLECTROSTATIQUE 3 27
il vient,
- rf'r , r ^ /i' -Nv/, ^'^ d'^ ^'^
OU
OU enfin :
J'observe encore que Ton a :
(10) charge d'un conducteur quelconque = j [t] rfw,
rintégration étant étendue à tous les éléments rfw de la surface de ce conducteur.
Les équations (6), (7), (9) et [10) suffisent pour nous faire connaître la fonction '^ quand on connaît la charge de chaque conducteur.
L'équation (5) ilous fait connaître ensuite Ténergie U et comme nous savons que le travail virtuel des attractions électrostatiques est égal à raccroissement virtuel de cette énergie, nous pouvons en déduire la valeur de ces attractions.
Ainsi, si' nous connaissons la charge et la position de chaque conducteur, les équations (5), (6), (7), [\y. et (10) nous feront connaître les attractions électrostatiques. iLiis dansées équations la constante a ne figure pas ; nous n'y voyons figurer que le pouvoir inducteur K.
Les attractions électrostatiques, pour des charges et des positions données des conducteurs, (jui sont Vnnifjne objet des expériences idectrostaùqiies, ne dépendent donc pas de A. Ces expériences ne peuvent donc pas nous faire connaître A, mais seulement le pouvoir inducteur K qui est fonction à la fois de A et de t.
Nous désignerons par K^ le pouvoir inducteur du vide et par £„ la valeur de £ relative au vide.
Dans les théories anciennes on suppose que le vide ne contient
328 PASSAGE DE LA THÉORIE DE IIELMIiOLlZ A CELLE DE MAXWELL
pas de sphères de Mossotti, qu'il ne s'y produit pas de polarisation diélectrique, c'est-à-dire que s^, = o d'où :
et pour un diélectrique quelconque : ^
K + aK,
Mais rien n'oblige h supposer e^, = o. C'est ainsi que dans la théorie du magnétisme induit, après avoir supposé que, pour le vide X = o, [JL = I on a été conduit, pour expliquer le diamagnétisme, à supposer que le [jl du vide est plus grand que i, c'est-àdire que le vide est faiblement magnétique (Cf. n° 274). On peut faire ici une hypothèse analogue.
Comme les expériences électrostatiques ne nous font connaître que K et Ky, les phénomènes électrostatiques peuvent s'expliquer quelle que soit la i'aleur plus petite que K^, attribuée à \ pourvu que l'on suppose en même temps :
et pour un diélectrique quelconque (')
K est exj)rimé en fonction de A et de s, mais ni A, ni t n'entrent séparément dans l'expression de l'énergie électrostatique. Si on change A on nic'^me temps ([ue t de manière h laisser K invariable.
') (>«'s forinulca .supposant qin', foiniiie Poisson ol Mossotti. on ntlribuo hi forme xplirriquc «ux parties <'on(ln<'tricos du (li«!*lcrti*ique. Cette }iyp«»llièse ne joue duna !ii théorie îiueun rôle essentiel, elle sert soulenienl à simplifier les ejih-iils. Si on siipposiiit «pie la forme des j)arties eonduetriees est <pieleonque, on arriverait ù un n'"^ultat analogue vV on trouverait :
; (i; étant une fonction (pii se eonij>orte eoinn.e , je v<*ux dire qu'elle
eroîl avec i, rpi'elle est égale à i pour i = o et infinie pour i z— \ .
DIÉLECTRIQUES 3 a 9
on ne changera rien a rexpression de ce que nous pouvons connaître expérimentalement. L'expérience ne nous fera donc pas connaître X si n^ous nous en tenons aux phénomènes électrostatiques.
285. — Dans les idées de Mossotti, ordinairement reçues, £= o. Alors
Deux unités d'électricité placées à Tunité de distance, se repoussent avec une force
Mais on peut aussi expliquer les phénomènes en admettant que £y ne soit pas nul, même pour Tair et pour le vide. Alors
La répulsion réelle entre deux unités d'électricité est plus
grande que-jr-, mais la répulsion observée dans le vide est tou-
jours rr- : elle n'est pas modifiée. Elle est seulement plus petite
que la répulsion réelle h cause de l'action de sens contraire due h la présence des sphères polarisées. La (liéorie de Max^'ell con- . sisfe à faire X = o. Pour que K soit fini, il faut que e soit égal à i . C'est-à-dire que les parties conductrices occupent la totalité du volume du diélectrique. Cela revient à se représenter les diélectriques comme des cellules conductrices séparées par des cloisons isolantes d'épaisseur infiniment petite par rapport aux dimensions de ces cellules (') (CI. i*^*^ pîulle, n^ 61 sqq.). La répulsion réelle entre deux molécules unités serait infiniment grande, X
(') Ceci ne doit pas ùlre pris à la lettre. Il serait difficile d'admettre que le vide eût une semblable constitution. 11 ne faut voir là qu'une façon d'exprimer ce fait que, dans le diélectrique, l'électricité ne circule pas, ne se déplace pas, il y a seulement polarisation.
3io PASSAGE DE LA TIIÊOniE DE IlELMIIOLTZ A CELLE DE MAXWELL
étant nul, mais la répulsion observée entre ces deux molécules, plongées clans le diélectrique, est finie.
Les phénomènes électrodynamiques ordinaires ne dépendent pas non plus de la valeur de A et ne peuvent nous faire connaître
'^1' 11 re-
cette valeur, — r— est nui pour des courants constants. L équation
(>/;, n'' 280. s'écrit donc :
(puisque les forces électromotrices d'origine diverse que nous avons représentées par X sont généralement nulles K On retombe donc sur les équations du n® 280.
(fV Dans le cas des courants variables ordinaires, — ; — est ffénéra-
' df ^
Icment négligeable, il faudra avoir recours à des courants alternatifs très rapides, comme dans les expériences de Hertz si Ton
dV v(uit que -j— soit assez grand pour que 1 influence du terme en X
se fasse sentir.
La théorie de Maxwell n'est donc en définitive qu'un cas limite plutôt qu'un cas particulier de la théorie de llelmholtz. 11 faut pour |)asser de Tune à l'autre attribuer à A une valeur infiniment j^etite.
Voyons ce que deviennent dans e(* cas les diverses quantités ipie nous avons envisagées :
i" \.o potenliel électroslati([uo ,5, ainsi (jue les densités o* et •tI (|iii, d'après le n" 280, n»» dcqxMulenl pas de la valeur attribuée il ).. restent finis ;
•a" Au contraire h's deiisilés (pie nous avons appelées p et [p] sont des infiniment petits A\\ niènic ortlie (pie a.
On peut s'étonner (juc \e potonliel '^ et les attractions électi(»stali(pies restent Unis bien (pie les densités éleetritjues p et "^j soient infiniment petites : mais je ra[)p(?llerai :
I <)ne nous avons trouvé :
DIÉLECTRIQUES 33 1
d'où il soit que cp est Gni si o, [p] et X sont des infiniment petits de même ordre ;
2** Que le travail des forces électrostatiques qui est égal à la variation de la fonction U définie par Téquation (5) du n° 284 est également fini.
On peut d'ailleurs s'expliquer lu chose d'une autre manière.
Rappelons, ainsi que je Tai exposé dans la première partie, que, d'après la manière de voir que nous avons été conduits à adopter, les diélectriques sont constitués par des cellules conductrices séparées par des cloisons infiniment minces et que chacune de ces cloisons isolantes représente un condensateur dont les deux cellules voisines sont les armatures.
Ces deux armatures ont des charges égales et de signe contraire q et — (j'y comme la cloison est infiniment mince, l'action de ces deux charges sur un point extérieur est du môme ordre de grandeur que l'épaisseur o de la cloison divisée par A et multipliée par q ; si donc, comme nous le supposons, Z et X sont de même ordre, cette action sera de même ordre que q.
Il y a deux remarques à faire au sujet du calcul des actions électrostatiques :
I** Nous avons fait ce calcul en partant de l'expression de U. On emploie souvent en électrostatique une autre méthode qui est applicahle à un conducteur libre phicé dans un diélectrique impolarisablc {i^=6). On considère les diverses molécules électriques répandues à la surface des conducteurs et les forces auxquelles elles sont soumises et on les compose d'après les lois de la statique. Cette méthode appliquée à un conducteur placé dans un diélectrit|ue polarisable constitué d'après les idées de Mossotti donnerait des résultats erronés et si on l'appliquait au cas d'un diélectrique constitué conformément à la théorie de Maxwell et aux idées exposées dans le présent numéro, on trouverait une attraction infinie. En efl^et ce conducteur ne pourrait se déplacer sans déranger les sphères de Mossotti ou les cellules conductrices, ce qui produirait un travail électrostatique négatif et par conséquent une résistance dont il y a lieu de tenir compte ;
J32 PASSAGE DE LA TIlÉOIilE DE IIELMIIOLTZ A CELLE DE MAXWELL
2^ Il ne faudrait pas non plus pour calculer U partir de la formule :
ce qui donnerait U=o puisque p==o.
En efFet la fonction n'est pas continue puisqu'elle varie brusquement quand on passe d'une cellule à Tautre. Si nous revenons aux petits condensateurs dont je parlais tout à Theure et si nous appelons q et q' les charges des deux armatures, ^ et o' leur potentiel ; ^ -f-^' sera de l'ordre de )., mais ce n'est pas une raison pour qu'il en soit de même de yf + y'-p' puisque o — r^' n'est pas un infiniment petit de l'ordre de \,
On a d'ailleurs
les intégrations étant étendues à un volume quelconque et les sommations à tous les petits condensateurs contenus dans ce volume.
On conçoit donc comment la première intégrale peut être nulle sans que la seconde le soit.
286. Vitesses de propagation des perturbations électromagnétiques. — Cherchons comment se propagent, dans les diverses théories é]eelroinagnéli([ues en présence, les perturbations éleelr()dvnanii(iues. Si les vitesses de propagation qui sont fonctions des (juanlités A, X* et K sont accessibles à l'expérience, ce sera un moyen de d<''terniiner quel([u'une de ces quantiti's.
( )n a dix é(|nations aux dérivées partielles définissant les dix ([uantités ^/, i», n', a, 3, •% F, G, II et '^.
Considérons en effet un diélectricjue de pouvoir inducteur K.
On a ;n'280, éq. 'oV,
i-f fh (IF
K A (ij- (Il
PERTURBATIONS ÉLECTROMAGyÉTIQlES 333
Eu dlfférentiant par rapport à t^ et en tenant compte des
- . (if .,
relations n = —^^ etc., il vient
cit
K— A d.id( dt' '
47ri> d^'f d^G
K—l^~~d^ dF'
47rjv d'o dm
K — 1 dcdt d?~'
d'autre part on a les équations (i5) du n*^ 268
dy rf3 . d"^
at/ az axât
doL rfv . d^'f dz dw di/df '
di d% . rf-'v
r/.r dij dzdt
les équations (19) du n** 275
d\\ dCr
a = [jia
df/ dz
dV d\\
dG dV
c = av = — -— ,
' ' de dji
et
dV dG d\\ ,. d-:,
dx atj dz dl
Cx^nsidérons maintenant une perturbation électromagnétique dans le milieu diélectri([ue. Supposons qu'on ait une onde plane perpendiculaire à Ox : les quantités qui figurent dans les équations précédentes seront donc fonctions seulement do x et de /.
{J.'l PASSAGf: DE LA THÉORIE DE IIELMIIOLTX A CELLE DE MAXWELL
Ces équations deviennent par suite,
, 4-" rf*? '^F
K — À dsdt
dt' '
^T.^^ dK\
K A dt' '
