CIRCUIT EN MOU VE M EST

En intégrant cette expression il vient,

La relation (3) peut maintenant s écrire,

rfZ\

Xin ~ Iji) '

/ 2'''''•'2'rf^

ou encore

et en remplaçant X, Y, Z par leurs valeurs,

iVt» I \r^ . . r dj.

0, ~ / ^"i^r+TT :'--•?'

-i««— )+^Iè]

l^osons pour simplifier,

PoiNCARK. Eleclricité et Opliquc. 'i\

ËLECTRODYSAMIQUE DES CORPS ES MOVVEMEyT

lii relation en

devient

ho

C'est la rormule que nous voulions établir.

Les considérations qui précèdent s'appliquent à un vecteur quelconque : on n'aura qu'à remplacer dans (lo"!- le vecteur (a, j,v, pjir un vecteur quelconque; on aura ainsi des expressions analogues à [a], [ j]. [^j qu'on déduira des relations (9^ en remplaçant le vecteur a par le vecteur considéré.

308. Théorème, — Nous nous proposons de démontrer encore le théorème suivant qui nous sera utile dans la suite.

Prenons un vecteur quelconque — 'a, |3, y pour préciser les idées — et considérons la valeur a]>solue de ce vecteur, valeur que je désignerai par N de sorte que

je dis que

- . ON VI dy. .

(V ^ (Il

Pour (lénionlrcr cette relation, considérons un élément de

surface (h*) quelconque et exprimons le flux (jui traverse cet élément.

Soit N' la normale à cet élément et désignons par 0 langle que fait le vecteur (y., j, V avec cette normale.

Le flux en (juestion a alors pour valeur,

Ki^^ "il. ^ ^^(J)

(Calculons -:-— . Su])posons pour cela

(jue nous ayons alFaire à un corps solide ; dans ce cas si $, 7,, ^ sont les composantes de la viles.se de la matière, ces composantes satisftîront à une certaine relation qui exprimera que le

TUÉORÈyiE 371

coFp5 solide se déplace sans se déformer, c'est'»-dlre qu'on aura,

rfE dr^ (TC,

dx dy dz '

d\ d'f^ dr^ dJ^ d^ dl

dt/ d.v dz dfj dx dz

Formons -t;— . Il vient

COS !««!> >i Sin 1 -r

(^t dt dt

Supposons qu'à Tinstant t le vecteur N soit perpendiculaire h rfoj ; on a alors

0=0; cos8= I ; . sinO=o;

et la relation précédente devient,

= -T — ato.

dt dt

Cette nouvelle expression de (V«D doit être égale à celle trouvée précédemmeîit (10). Kn identifiant ces deux expressions il vient

OX , , VI , / doL flit^ = ato 7 / •

OL

dt Âj\dt

en multipliant cette relation par X et en remarquant que

11 vient finalement

c'est la relation annoncée. Mais n'oublions pas que cette démonstration suppose que Vêlement de surface dt}> appartient à un corps solide.

372 ÉLECrRODYyAMIQVE DES CORPS EN MOUVEMENT

309. Equations fondamentales de Hertz. — Ces préliminaires étant établis voyons comment fait Hertz pour trouver les équations fondamentales de Télectrodynamique des corps en mouvement.

Rappelons pour cela les lois fondamentales que nous avons trouvées pour les corps en repos.

Considérons une surface S limitée par une courbe C.

Première loi. — L'intégrale de ligne de la force électrique, étendue à la courbe C, est égale à la dérivée par rapport au temps du flux d'induction magnétique qui traverse la surface S limitée par le contour C, c'est-h-dire

Comment cette loi doit-elle être interprétée pour les corps en mouvement ? Doit-on supposer la surface S fixe, ou bien entraînée dans le mouvement de la matière ? — Cette question est tranchée par Tcxpérience : Texpérience prouve, en efiet, qu'on doit supposer la surface S comme étant entraînée dans le mouvement de la matière.

C'est ainsi (ju'un circuit mobile dans un champ invariable est \o sii'j^<î de courants d'induction. Je n'insisterai pas sur ces faits (•\[)ériin(Mitaux : j'admettrai seulement la conclusion. C'est donc

\\\ cléi'ivée -r — i avec dos i) ronds' qu'on doit considérer pour les

corps on mouvomont.

Première loi fondamentale. — Il résulte do ce qui précède que : L' iiitêi^rale de li^nc de la force électrique^ étendue au contour C, est éi;ale à la f^érirée par rapport au temps du flux d induction niai^nétiijue f/ui t rare/se la surface S limitée par le contof/r C, cette surface étant siipposée comme entraînée dans le /noif renient de la /fiatière.

L expression analyti<juo de celte loi est la suivante.

(12 I 7 P^/.r z= —- / 7 hk'yjho.

ÉQVATIOSS FONDAMENTALES 873

Transformons cette expression. Le théorème do Stokes nous donne pour la première intégrale,

Quant au second membre transformons-le en lui appliquant le théorème que nous avons démontré plus haut (formule 10) et qui, avons-nous dit, s'applique à un vecteur quelconque.

Nous avions pour le vecteur (a, ^, y)

pour le vecteur ([xa, [jl^S, (xy), qui nous intéresse en ce moment, nous aurons donc,

La relation (12) peut alors s'écrire,

Idiù

et en identifiant les coefficients de Ww, /«rfw, ndiù des deux membres de cette relation, il vient

dii.y. __ di) rJR

. dl ~~ dz dy ■T"L' >

ce sont les équations fondamentales de Hertz pour les corps en mouvement.

374 KLECTnODYyAMlQVE DES COUPS EN MOUVEMEST

Rappeloiii^ que [[-ta^, [[JlJj], | [jty] ont pour valeurs,

310. — Maxwell raisonne de la même manière, seulement au lieu de considérer le vecteur ([xot, |jlJj, [jl^J, il considère le vecteur (rt, /», r) qui représente l'induction magnétique suivant lui ; obtient ainsi,

da d(l dl\ , ,

. d( dz dy

\ dh dR dP ..^

^ ' ï dt r/.r dz ' ^ -■

[a\, \ù\y ir' ayant pour valeurs

/» ^-r — (ry. — /yîTi j- 7>; — <'///• ,