I - Of ^ — V

ay *

donc

"rfT

Xrf.r,

la dernière intégrale étant étendue au contour C.

Transformons cette dernière intégrale par le théorème de Stokes, il vient,

Calculons maintenant o./I>.

Nous avons désigné par ce symbole la difFérence dts llux (jui traversent S-|- S'' et S'. Remarquons d'abord que ces surfaces sont limitées par une même courbe C.

Pour avoir o^<I> considérons un élément de sur lace r/to de S et par les difVérents points de cet élément menons des lignes de force ; nous déterminerons ainsi des tubes de force qui découperont sur S' un élément </to'. Quel est le flux total qui traverse le petit cylindre ainsi formé ? Si nous désignons par d'z le volume de ce cylindre infiniment délié, ce flux a pour valeur

rZa di

d.v dij dz

et il provient de l'excédent du (lux qui traverse (/to sur celui qui traverse dw et du flux qui traverse les parois latérales du cylindre.

368 ÉLECTRODYyAMIQVE DES CORPS ES MOIVEMEST

Mais remarquons que ce dernier est nul : à travers les parois d'un tube de force ne passe pas de flux. Le flux total (6) est donc la différence entre le flux qui traverse d^' et celui qui traverse rfcii : c'est précisément la quantité que nous voulions calculer.

Mais il nous reste encore à évaluer d-z. Or nous avons sur la figure

Il étant la hauteur du petit cylindre dont les bases sont rfwet rfo/, ^ ^(^ c'est-îi-dire la projection de AB sur

la normale h S.

Remarquons que le point A sur la surface S, à l'époque /, appartient à la surface S' à l'époque t-\-dt : il vient en C, voisin de B. D'autre part, on a,

proj. AB -^^ pi**>j- AC + pi'oj. CB,

«'l comme (IB est un arc situé sur S' , la projection de CB est un infiniment petit d'ordre supérieur.

Reste donc à évaluer la projection AC.

Or, les trois projections AC sur les axes sont

Idfy f.dt, r^df;

par conséquent

proj. AB -^^ /; + /;/r, +'N, f^f-

N'oilà donc la hauteur du cylindre (en supposant ([ue les deux surfaces S, S' sont infiniment lapprochées l'une de Tautre). La valeur du volume (h est alors

d^ .^i^ ,/; + ff^'f^ -\- /t'^i dfdo) -^^ diodf ^ /;, rt l'expression 6 devient,

' ^ \ dx a II dz I

/ i / ^ dx