COMPARAISON ENTRE LES ÉQUATIONS DE HERTZ ET MAXWELL

COMPAHAISOX ENTHE LES RELATIONS FONDAMENTALES DE HeRTZ

ET CELLES DE MaXWELL

3H. — Y a-t-îl identité entre les équations (1) de Hertz et les équations (i3) de Maxwell ? Remarquons que si les deux systèmes d'équations paraissent avoir une certaine analogie quant à leur forme, il n'en est plus de même des vecteurs qui y figurent : le vecteur de Hertz a pour composantes jjia, [jl^, [jlv, tandis que celui de Maxwell a pour composantes

Pour qu'il y ait identité entre ces deux vecteurs, il faut que

a = ;jia, h = |jl|j, c =: [/

c'est-à-dire qu'il n'y a identité entre ces deux vecteurs que dans les corps dépoiinnis de ma^nctianie permanent ; n'ayant par conséquent que du nia^nèlisine induit.

Cependant les équations (I) et (i3) peuvent à certaines conditions se ramener l'une à l'autre.

Posons en effet,

a = [i.a + 47: Ao, /. = JX.3 + 4-B,,

\, B„, C,, étant les composantes de l'aimantation permanente. On tire de ces relations

car a, jj, y entrent linéairement dans [aj, f ^j ',

376 ÉLEClRODYSAMiqrE DES CORPS ES MOUVEMENT

(lela posé, retranchons membre à membre les relations (i3)des relations (I); il vient

et deux autres équations symétriques de celles-là que je n'écris pas.

Ces équations doivent être satisfaites pour qu'il y ait identité entre ces é(iuations de Hertz et celles de Maxwell.

Tirons [;ja] — \a\ des relations (i4) et substituons sa valeur dans (i5), il vient,

d\}.% du .ri

ou, en remplaçant a par sa valeur

r« = [xa 4- 47:Ay,

dt ~ L^^«''

les deux dernières de ces é([uations s'obtenant comme la première.

Ainsi il y aura identité entre les écjuations de Hertz et celles de Maxwell si les écfiialions 16 ont lieu.

Supposons maintenant (jne les aimants permanents soient des corps s{dides qui, en se déplaçant, (Mitraînent avec eux leur aimantation permanente. Je dis i\\u\ dans ce dernier cas, les relations i() sont léjriiimcs. Considérons, en eiret,dansun solide aimanté (|ui entraine avec lui son aimantation |)ermanente, une snrlaer (jtn'leoncpu' et évaluons le llux \^\^) (jni traverse cette surface et cpil correspond au vecteur , A^^, H^, C,,). L'aimantation permanente étant entraînée en bloc, on a alors

COMPARAISON ESTRE LES ÊQUATIOys DE HERTZ ET MAXWELL 377

Or nous avons, pour le vecteur (Ay, B^,, CJ (p. Syo),

'"^ ' ^Wu. ^'''^"

fH f Zj \ dt

donc

et par conséquent,

[Aol,

- - [Bol,

-=[Co].

Ce sont bien les relations (16) que nous obtenons. Il y a donc identité entre les relations (I) de Hertz et les relations (i3) de Maxwell, h condition que Taimantation soit permanente et qu'elle ne soit pas modifiée par le déplacement de Taimant. Ces relations cesseraient d'être équivalentes si les corps aimantés ne conservaient pas leur aimantation permanente, si par exemple ils étaient désaimantés par la chaleur. Si les corps aimantés ne sont pas des corps solides, mais se déplacent en se déformant, il n'y aura pas non plus équivalence enti-e les deux systèmes d'équations, à moins qu'on ne fasse des hypothèses particulières sur l'influence de ces déformations sur l'aimantation.

Donnons un exemple d'un cas où les deux systèmes d'éqnatibns conduisent h des conclusions contradictoii-es. Considérons un tore d'acier aimanté uniformément ; il n'a pas d'action sur un morceau de fer placé à l'extérieur, mais sa magnétisation n'est pas nulle : on peut, en effet, la faire apparaître en coupant le tore en deux parties qui agiront comme deux aimants ; par contre, il n'y a pas de magnétisme vrai à l'intérieur du tore. — Modifions maintenant son aimantation en le chauffant

^78 KLECrnODYiSAMIQl'E DES COUPS ES MOIVEMEST

apri'S lavoir entouré d'un fil conducteur enroulé en hélice. Que va-t-11 s'y passer? Les relations de Maxwell annoncent un courant d'induclîon dans le fil ; d'après les relations de Hertz, il ne doit pas y avoir de courants d'induction dans le fil. On obtient donc des conclusions contradictoires. — Peiit- (^tre d'ailleurs aucune des deux fornuiles n'est-elle applicable ii un cas de ce genre.

312. Deuxième loi fondamentale, — Nous avons trouvé pour les corps en repos la relation suivante,

où le premier membre représente l'intégrale de ligne de la force magnéti(|ue, le j)remier tertne du second membre exprime la (juanlllé d'éleclricilé qui traverse la surface S par conduction et le dernier terme du second membre représente le flux d'induction électrique qui traveise cette même surface.

dette relation est- elle encore valable pour les corps en mouvement ? Rn d'autres termes, faut-il supposer la surface S fixe ou bien entraînée dans le mouvement de la matière ?

Par analogie avec le cas j)réeédent, où on considérait le (lux (rindnelion magiH'ti([u<\ llerlz (uhtiet qu on doit considérer la suiraee S comme étant enliaîn<'c dans l(» mouvement de la malièic.

(. est (loue aux vérilicalioiis expérimentales de confirmer ou <1 inlinncr cctlc hvjxjllirs*' dr Ib'itz. Nous verrons dans la suite <|iie lK':mcnii|) d'expéiieiices eoiidinienl les coiiséijuences qu'on lire (les loiiiuiles de Hertz *l)àlies sur cette livjiothèse.

La l'clalion i i- devient donc jiour les cor|)s en mouvement,

- Vw.,

i- / V//„/i,, + ,i / V/KPt/w,

• •t elle constitue la seconde loi fondamentale de l'électrodvnamique des corps en mouvement.

CO^PARAISOS ESTRE LES ÈQUATlOyS DE HERTZ ET MAXWELL 379

313« Courant toted de Hertz. — Transformons cette relation (18). Le premier membre devient en lui appliquant le théopème de

Stokes,

fi'--fi

D'autre part, le dernier terme du second membre a pour valeur, d'après un théorème précédemment démontré (p. S^p)

La relation (18) devient donc.

d'où Ton tire,

(/Kl>

rfKQ dt

A-rr

dKR

KPi.

KQl,

Posons maintenant,

~dr ~dr

</KR