CHAPITRE VI

La formule du binôme conduit à la même propriété ; car en remplaçant b par d — î', l’expression c-t-C|6-f-c,6*-|-ctc., dp N devient .

(2). N = c + c,(rf — $■) -|-c,(d-r- ^)*-^C3(d — <f)34-ctc.,

et le développement de ( d — /)" faisant voir que ( d — 41)" est un multiple de d, augmenté ou diminué de î selon que n est pair ou est impair, l’expression (2) de N peut se mettre sous la forme (i).

Cela posé : la relation {2) revient à

N == md -f- (c + c,<T* + c4/‘ 4- etc.) — (c, 4- ojJ'3 + etc.).

Lorsque

(c + -f- etc.).— (c,^ cj<^ 4- C5^J 4- etc.) ,

est un nombre positif N', on a

N = md 4- N' ;

et par conséquent, le reste de la division de N par d, est le même q'ue celui de N' par d.

Quand c 4- c»/* 4- 4" etc , est moindre que

C|J'4- 03^ 4* etc., on ramène ce cas au précédent en empruntant sur md un multiple pd de d assez grand pour que

(c 4- cj* 4- cgt* 4- etc.) 4- pd — (c,^ 4- c3^3 4- etc.) ,

soit un nombre positif N'; on a

et le reste de la division de N par d est le même que celui de N' par d.

On en déduit cette règle générale : Pour calculer le reste de la division d ’ un nombre entier N, par un diviseur dj plus grand que la base b , prenez la différence £ entre d et b ; multipliez h i'r chiffre à droite de TS par l, le Z* par <f*, le 5* par et ainsi de suite ; de la somme de ces produits , augmentée, s1 il le faut , d’un multiple de d , retranchez la somme des chiffres de rang pair multipliés respectivement par à', par

ALGEBRE.

é3, par J'ij tic. ; si N' désigne le résultat de cetUy soustraction, le reste de la division de N par d, sèra le même que celui de N' par d. Opérant sur N1’., comme vous avez opéré sur N, et continuant les calculs jusqu'à ce que vous obteniez un nombre moindre que d, ce nombre sera le teste de la division de N par d. i

Exemple. Déterminer le reste de la division de N par 1 1 , dans le système décimal.

On a b = 10 , ij la valeur de N' devient

N'=(c + f» + c4 + etc.) +pd— (c, + cs -f- es ■+* etc ). Ce qui conduit à la règle qui a été donnée ( Arith . n“ 3j).

199. Il rés.ulte du principe fondamental de la numération (n° ig4) > que lorsqu’on avance successivement d’un rang vers la droite d’un nombre écrit dans la base b, se? .chiffres expriment des unités de b en b fois. plus petites.

Par conséquent , si pour distinguer le chiffre des unités simples , on place une virgule de cette forme , à sa droite, le premier, chiffre à droite de la virgule exprimera des unités dont la

valeur sera chaque unité du chiffre suivant vaudra

Et en général, le n,im ' chiffre à. droite de la virgule vaudra des unités dont la valeur sera j; .

Par exemple ,

200. Un nombre est multiplié ou est divisé autant de fois par. la base b, que la virgule a été avancée de rangs vers la droite ou vers la gauche de ce nombre j car en avançant successivement d’un rang vers la droite d’un nombre, ses chiffres expriment des unités de b en b fois plus petites.

201. Quaiul un nombre N contient » chiffres à droite dè la virgule, ce nombre esf exprimé par une fraction ordinaire , dont le numérateur est le nombre donné dans lequel on a fait abs-