CHAPITRE VI

Exempi-e. Soient »i=ioo,> h= 10, £.= 13.

Si l’on prend les logarithmes dans le système tabulaire. dont la base est 10, on aura lb=. i , et'oti trouvèra- -

* <93,6 etc., *>91,7 etc.

•Le nombre des, chiffres cherché est donc 92 ou g3.

197. Les méthodes exposées {Arithmétique i n° 222) pour opérer sur les nombres duodécimaux j s’appliquent à tous les systèmes.

On trouve ainsi , que la «o/nzree'des nombres (37)g>,(25)8, est (64),, que leur différence est (f2)g, queleur/>««/uj<est(i2i3)g, et que le quotient de (i2i3)g par (37)8 est (25)g. .

jLorsqu’un ripmbre est écrit dans la base b > pàur le multiplier par b* y c’est-à-dire par V Unité Suivie de n zéro j il suffit de mettre n zéro à sa droite ; car en plaçant ces zéro, chaque chiffre avançant de n rangs vers la gauche, exprime des unités qui sont b * fois plus grandes.

Ainsi, le produit de (352), par (iOo)7 est (35200),.

198. Problème. L’rt nombre entier N étant écrit dans la basé b j déterminer le reste de la division de N par le nombre entier dj sans effectuer la -division.

Si les chiffres de N sont c,. c, , c,, cj, etc. , on aura

CO N =n c 4 c,b 4 c%b <* 4 c3b3 4- etc. r-

r" Cas. Quand le diviseur d est moindre que la base A,, on a, r/==6 — <1, et l’on peut mettre N sous la forme

N = (A — i)cx + (b‘ — c. 4 etc. 4 (c + c,ï 4 ^ 4 etc.).

Chacun des binômes ( b — <l), (b' — i*) , etc., étant divisible par b — $ (n° 29) , c’est-à-dire par d, le nombre N est uft mulr tiple de d, augmenté de (c 4* c,é 4 c,/* 4- c3^3 4 etc.).

La formule du bino.me démontre la même propriété; car en remplaçant 6 par sa valeur d 4 l’expression (0 de N devient >

(2). . ♦ N =.c 4- ol (( d -f ï) + c%(d + iy+c3 -f ïy + etc.

3a4 ALGÈBRE.

Or, n désignant un nombre entier positif quelconque, on a

(d+ÿy—d" -j-ndn-'}+nin~l-dm-*ix+. . +ndP~‘+P.

Le nombre (d-j-tJ)" est donc un multiple-de d augmentédê S~n.

lien résulte que (d-f-J1), (d -f- ^)3,. (ci-f-d)3, etc., sont des multiples de d augmentés respectivement de ï, P, P, etc.; et que par conséquent , l’expression (2) de N est un multiple de d augmenté de c -J-.c,*!' cif‘- (- C3<fs + etc.

Le reste de la division de N par d sera donc le même <fue celni de la division du nombre (c + CjJ’ -j» + etc.) par d.

On en déduit cette règle générale : Pour trouver le reste de la division d’un nombre entier N j par un diviseur d moindre que la base b3 -prenez la différence S~ entre h et d ; multipliez le Ier chiffre à droite de N par J, te •P 'par le 3* par P j et ainsi de suite jusqu'au dernier chiffre ; calculez la somme N' de ces produits ; le reste de la ■ division de N par dj sera le meme que celui de N' par d. Opérant sur N', comme on a opéré sur W, et continuant le calcul jusqu’à ce qu’on obtienne une somme moindre que bj cette dernière somme , diminuée du plus graid multiple de d qu’elle pourra contenir j exprimera le reste demandé.

Exemple. Trouver le reste de la division de N par g., dans le système décimal. \

On a, b — 10, <è== l ; et N' devient la somme des chiffres de N; ce qui conduit à h règle, qui a été donnée ( Arith . n° 34, page 35).

2' Cas. lorsque le diviseur d est plus grand que la base b on- a d =p= b -J- S~, et l’on peut mettre N sous la forme

c,(i + —S') + cj(43 4- <f *) + etc. — f-(c— c,<H— c,f‘ — cji’-f- etc.)

Chacun des binômes , b -j- é , b% — P , 53-f- P, etc. , étant divisible par b -f S' (n° 29) , c’est-à-dire par d, le nombre N est un multiple de d augmenté de c — — cjd^+ete.

De sorte que m désignant un nombre entier positif, on a

(1). . . N = md + (c — — c^P -f- etc.).