CHAPITRE VI

menée à déterminer le plus graud commun diviseur entre ces coefficiens; et la difficulté est diminuée , puisque ces coefficiens renferment une lettre de moins que les polynômes proposés.

i*r Exemple. Soient les deux polynômes

Pour trouyer leur plus grand commun diviseur, on dispose et on exécute le calcul de la manière suivante :

iFe Division.

i«r reste R

2* Division.

— x* 4- ax’ 4- x* — ix

Reste ax5 — 4** — 2x4-4

— 2x5 4- 4** 4-a* — 4 Reste o

La division de' A par B fournit le quotient + 1 et le reste R = x3 — 2X3 — x + 2. Ce reste étant moindre que le diviseur B, on divise B par R , ce qui donne le reste zéro, et le quotient exact x 4~ 2. •

Le reste R est le plus grand commun diviseur de A et B; car ce diviseur commun est le même que celui de B et R , et ce dernier est R, puisque R divise B.

Il est facile de s’assurer que R est effectivement le plus grand commun diviseur des polynômes A , B; car on peut mettre ces polynômes sous la forme

et l’on voit alors que leur plus grand commun diviseur est le produit x3 — ax“ — x+a des facteurs premiers x — i, x+i > x — 2, communs à A et B.

= xy — u 1 * — ar-f-a

a' Exemple. A^xf-f-x3 — ^x* — x-|-2, B=x‘< — 5x*+4-

Des calculs analogues aux précédens conduisant à un reste numérique + 8 , les polynômes proposés n’ont pas de commun diviseur; car s’ils en avaient un, ce commun diviseur devant diviser le reste 8 , serait indépendant de x , et par suite devrait diviser tous les coefficiens de x dans A et B ; ce qui est impossible, puisque ces coefficiens sont premiers entre eux.

En général , toutes Us fois que Us coefficiens des diverses puissances de x étant premiers entre eux , dans A et dans B on parvUnt à un reste indépendant de i, qui n’est pas nulj on est certain que A et B n’ont pas de plus grand commun diviseur.

2i 3. La théorie que nous venons d’exposer , suppose que toux Us quotUns sont entiers , ce qui exige que le coefficient du premier terme de chaque dividende partiel soit exactement divisible par le coefficient du premier terme du diviseur correspondant; quand cette condition n’est pas remplie, on ramène ce ças au précédent à l’aide de quelques principes que nous allons établir.

D’après la définition du plus grand commun diviseur algébrique :

i°r Le plus grand commun diviseur de deux quantités ne change pas , lorsqu’on multiplie ou qu’on divise l’une d’elles par une quantité qui n’a aucun facteur commun avec l‘ autre ; car ces opérations ue sauraient changer les facteurs communs aux deux quantités.

Ainsi, le plus grand commun diviseur de abc et abde , est le même que celui qui existe entre abcm et abd.

29. Lorsqu’on sait trouver U plus grand commun diviseur de deux quantités , on en déduit celui d’urt nombre quelconque de quantités . Par exemple, pour obtenir le plus grand diviseur commun à trois quantités représentées par A , B , G , on cherche le plus grand commun diviseur D de A et B, et le plus grand commun diviseur iy de D et C; D' exprime le plus grand commun divisenr demandé; car d’après la définition du plus grand commun diviseur, D exprime le produit des fac-

Digÿked by Googkj