CHAPITRE VI

viseur littéral des monomes 9’obtient immédiatement, car il est en évidence.

Ainsi, pour déterminer le plus grand commun diviseur des monomes fôa?b3c*, i8aBbief‘, 1 Sa'bldd, on cherche d’abord le plus grand commun diviseur des coefficiens 48, 18 et |5, qui est 3; le plus grand commun diviseur des monomes algébriques aPWc*, a6é4d% a“i4csd, est a"i3 (n° 210); de sorte que le plus grand commun diviseur demandé est 3 a’63.

2i2. Occupons-nous maintenant de la recherche du plus grand commun diviseur entre des polynômes entiers.

Lorsqu’un polynôme divise' exactement un autre polynôme, il est évidemment le plus grand commun diviseur de ces deux polynômes.

Par conséquent , pour trouver le plus grand commun diviseur de deux polynômes entiers A, B, il est naturel de diviser ces polynômes l’un par l’autre; à cet effet, on les ordonne suivant les puissances décroissantes d’une même lettre x, et on divise A par B (on suppose que le plus fort exposant de x dans B n’est pas plus grand que dans A). Quand cette division conduit à un reste nul, B est le plus grand commun diviseur demandé. Quand on trouve un -quotient entier Q et un reste R, on a l’identité A = BQ-f-R; d’où R = A — BQ. <

Les polynômes A, B,Q, R, étant supposés entiers (*), la 2' identité fait voir que tout diviseur commun à A et B divise R,- et la première prouve que tout diviseur commun à B et R divise A; tous les facteurs communs à A et B, sont donc les mêmes que ceux de B et R; le produit de tous les faeteurs communs à A et B, étant le même que celui de tous les facteurs communs à B et R, le plus grand commun diviseur de A et B est le même que celui de B et R.

(*) Nous supposerons ici, que les divisions successives ne fournissent que des termes entiers au quotient: c’est-à-dire que le coefficient du premier terme de chaque dividende-partiel est exactement divisible par le coefficient du premier terme du diviseur. Nous verrons comment il faut opdter quand cette condition 11’est pas remplie.

ALGEBRE.

Cette propriété ayant lieu quel que soit le nombre des terme* obtenus au quotient , on pourra continuer la division des restes successifs par B , jusqu’à ce qu’on parvienne à un dernier reste moindre que le diviseur B.

Par conséquent : le plus grand commun diviseur de deux quantités , est le même que celui qui existe entre la plus petite de ces quantités et le reste de la division de la plus grande par la plus petite .

La question étant réduite à déterminer le plus grand commun diviseur de B et R, on divise B par R. Quand cette division conduit à un reste nul, R est le plus grand commun diviseur de B et R, et par suite de A et B. Lorsque B n’est pas exactement divisible par R, on parvient à un reste R' moindre (*) que R; le plus grand commun diviseur de R et R' est le même que celui de B et R, et que celui de A et B.

Si 1’ on continue à. diviser les restes successifs les uns par les autres, les exposans de x, dans ces restes, iront en diminuant, et comme ces exposans sont des nombres entiers positifs, on parviendra nécessairement à un dernier reste R indépendant de x.

Quand le reste K sera nul, le reste précédent, qui contient nécessairement x , sera le plus grand commun diviseur de A et B; car, il résulte des raisonnemens ppécédens que ce plus grand commun diviseur est le même que celui de deux restes consécutifs quelconques.

Lorsque de dernier reste K ne sera pas nul, les polynômes A, B, ne pourront admettre qu’un commun diviseur, indépendant de x\ car ce commun diviseur doit diviser le reste & qui ne renferme pas x- Ce plus grand commun diviseur devra donc diviser exactement les coefficiens des diverses puissances de x dans A et B (n° 27). De sorte que la question sera ainsi ra-

(♦) Il ne fapt pas perdre de me, que lorsqu’on dit qu’un polynôme es t moindre qu’un autre, on sous-entend que cet polynômes étant ordonnes par rapport à une lettre, le plus fort exposant de cette lettre est moindre dans le premier polynôme que dans le second (page g).

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