A = A'D, B = B'D, C= CD
Le plus grand commun diviseur de A, B, C, s’ obtiendra en multipliant le facteur commun D, par le plus grand commun diviseur des quantités A', B’, C.
214. Cette dernière propriété fournit le moyen de simplifier la recherche du plus grand commun diviseur de deux polynômes entiers P, Q. A cet effet, on détermine d’abord le plus grand commun diviseur monome »des termes de P, et le plus grand commun diviseur monome C des termes de Q; on divise P par et et Q par C , ce qui fournit des quotiens exacts A , B; le plus grand commun diviseur de * et » est le plus grand commun diviseur monome M des polynômes proposés P, Q. Or on- sait trouver les plus grands communs diviseurs monomes «, £, M (n° 211). La question est donc réduite à calculer le plus grand commun diviseur D des polynômes entiers A , B , car le produit ’tl X D sera le plus grand commun diviseur de P et Q.
Exemple. Soient les deux' polynômes
P = — 12 oy/'lr5 + 12 y*x* — i2 y3x*
Q = 4 8^ x7 — 88 y x6 — 64 y xi — 8/ x1.
On trouve
«=12 y3x*, C=ti8yx* , * M = kyx' >
A = 4x* — iox3-{-x* — 1, B = 6x3 — ni1 — 8x — 1.
On verra (n°2i5) que le plus grand commun diviseur de A et B est x* — 2x — 1 ; celui de P et Q est donc
La recherche des plus grands communs diviseurs hionomcs
a, C, M, ne pouvant offrir aucune difficulté, nous supposerons toujours qu’on a supprimé ces plus grands communs diviseurs, comme il vient d’être indiqué ; de sorte qu’il ne s’agira plus que de déterminer le plus grand commun diviseur de deux polynômes entiers A, B, tels qu’ aucun monome ne peut diviser ni A ni B.
ai 5. Lorsque les polynômes proposés ne contiennent qu’une seule lettre x, il est facile de trouver leur plus grand commun diviseur.
Exemple. Soient les deux polynômes A=4x* — iox3-+-x* — i, B =6^ — i ix* — 8r — i.
Ils ne renferment aucun commun diviseur indépendant de x; car tout diviseur de cette espèce serait un nombre qui devrait diviser les coefliciens des diverses puissances de x (n° 27), ce qui est impossible, puisque ces coefliciens sont premiers entre eux.
Pour déterminer le plus grand commun diviseur de A et B, on dispose et on exécute le calcul de la manière suivante :
ire Division.
A= — io*J+ x* — .1 A x 3=im< — 3ox5+ 3x» — 3 — iax< -+-aax5 ■+• i6x» ■+■ ax
a« rertc.
B = 6x’ — ux» — 8x — 1
ax — 4
. ... r — — 8x3-f-igx*-(- 0x7- 3 rx 3 = — a{x3 + 5jx,+ 6x — g -f-a4x3 — 4ix* — 3ax — 4
/ — i3x» — a6x — i3 R = x* — ax — 1 =
s, -2e Division. '
B = 6x* — 1 ix» — 8x — 1 — 6x3 -+• 1 ax* 6x
x* — ax — 1 — x» 4- ax -f- 1
x» — ax — 1 = R
Rc*ie h.. o
Dans la première division , le diviseur B ne contenant aucun
