CHAPITRE VI

facteur indépendant de x, on n’altère pas le plus grand commun diviseur deraandéen multipliant le dividende par un nombre quelconque, car ce nombre est premier avec B. Ainsi, pour éviter les fractions j on pourrait multiplier le dividende par le coefficient 6 du premier terme du diviseur; mais il suffit ici de multiplier par 3, car le premier terme I2XJ du nouveau dividende Ax 3 est exactement divisible par le premier terme 6x3 du diviseur; et le plus grand commun diviseur de A X 3 et B est le même que celui de A et B , puisque 3 est premiet- avec B. On divise donc AX3 par B, ce qui doune le quotient 2x et le reste

r— — 8X3 -f- igt* + 2X — 3.

Le plus grand commun diviseur demandé étant le même que celui de B et.r (page 342), on est conduit à diviser' r par B; on rend la division possible, sans changer le plus grand commun diviseur cherché, en multipliant r par 3; la division de 3r par B- donne le quotient — 4 et le reste

r = l3x4 — 2ÔX — i3.

Le plus grand commun diviseur demandé est le même que celui de B et r ; et comme r renferme' le facteur. 1 3 qui est premier avec B, on peut supprimer ce facteur jsans changer le plus grand commun diviseur ; ce qui donne le quotient

'La question se trouve ainsi réduite à chercher le plus grand commun diviseur entre B et R; et comme R est moindre que B, on divise B par R; cette division se fait sans qu’il soit nécessaire d’introduire aucun facteur dans les dividendes partiels. On parvient à un reste nul, et l’on en conclut que r1-k2i — 1 est le plus grand commua diviseur cherché..

Si l’on divise A et B par x4 — 21 — 1 , on obtiendra des quotiens exacts

4xs — 2x -h 1 , 6x -f- i .

Ces quotiens sont premiers entré eux ; car en cherchant leur plus grand commun diviseur, on parvient à un reste indépendant de x.

On trouvera de cette manière le plus grand commun diviseur de deux polynômes quelconques contenant une seule lettre; et le principe du n° 2i3 (2°) fournira le moyen de déterminer le plus grand commun diviseur d’un nombre quelconque de polynômes qui contiennent une seule lettre.

216. La manière de déterminer le plus grand commun diviseur de deux polynômes entiers A, B qui contiennent deux lettres x, y, se déduit de ce qui précède. On ordonne ces polynômes par rapport aux puissances décroissantes de x, ce qui conduit à des résultats de la foréie

A == Pxm -f Qxm— -+-.. .. -f Sx -f- T ,

B = px" + qx*~ 1 -f- . . . . -j- SX + t.

On suppose toujours que P, Q. . . , S, T n’ont pas de commun diviseur monome, et qu’il en est de même d e p, q,...,s, t.

Pour trouver la partie du commun diviseur cherché qui ne renferme pas x, on observe que si A et B ont un commun diviseur indépendant de x, il devra diviser tous les coefficiens des diverses puissances de x dans A et B (nu 27). Ces coefficiens ne contenant que la seule lettre y, on sait trouver, le plus grand commun diviseur * des coefficiens P, Q,..., S, T, le plus grand commun diviseur £ des coefficiens p, q s, t , et le plus grand commun diviseur T de * et C. La quantité Y est le plus grand commun diviseur indépendant de x des polynômes A , B. . t ■

Pour trouver le plus grand commun diviseur dépendant de x , on divise A par a et B par C , ce qui s’exécute en divisant tous les. coefficiens de x dans A par » et ceux de x dans B par £ (n° 27). Désignant par A' et B' les quotiens de A par « et de B par If, on obtient des résultats de la forme

A' = Pxm + QV- + + S'x 4 T' ,

B' = p'x* + q'xn~' 4- -f- s'x 4- 1'.