CHAPITRE VI

Quand R sera nul , le reste précédent, que nous désignerons par X, sera le plus grand commun diviseur de A' et B'; de sorte que le plus grand commun diviseur de A et B sera PxX.

Lorsque R ne sera pas identiquement nul, A' et B' n’auront pas de plus grand commun diviseur et par conséquent le plus grand commun diviseur de A et B sera P.

On passera semblablement du cas où les polynômes renferment trois lettres, à celui ou ils sont fonction de quatre lettres. Et ainsi de suite.

On est donc en état de déterminer U plue grand commun diviseur d’un nombre quelconque de polynômes entiers.

Ce qui précède conduit à cette règle générale : Pour déterminer le plus grand commun diviseur D de deux polynômes entiers A, B, ordonnez-les par rapport aux puissances décroissantes d’une lettre x ; cherchez le plus grand commun diviseur mqnome ce des termes de A , et le plus grand ^commun diviseur monome G des termes de B; divisez A par a. et B par G ; vous obtiendrez des quutiens A', B'. Caldulez le plis grand commun diviseur a! des coefficient de x dans M J et le plus grand commun diviseur G' des coefficiens de x dans B'y divisez A par cl. et B' par G’, vous ■ obtiendrez des quotiens A", B* , déterminez le plus grand commun diviseur é" de A" et B* • calculez le plus grand commun diviseur 1 des monômes «, G, et le plus grand commun diviseur J' des polynômes G'. Le plus grand commun diviseur de A et B sera J'X if X

Exemple. Soit les deux polynômes ,

On trouve m=y3x, G = y5xa, S'=ysx\

^ — (y6 — y3)** — Cy6 — O*3-!- (.y3— i) . •

B'=ty4— y1)** — (y— i)x* + Cy*— ,), ,

*' = r3 — i » e.tfzjr* — i, r=y— A°=ySx°-(y^^+I , B“—y*xi — (y*+ i)x> + T ,

D = tyy = (ÿ-: I) I)y^ + (y

Die

Si l’on divise A et B par D , on obtiendra des quotiens qui «'auront plus de facteur commun.

Remarque. On peut simplifier le calcul du plus grand commun diviseur S" de A "et B", en cherchant d’abord si i" contient un facteur- X indépendant de y. A cet effet , on ordonne A" et B" par rapport à y, ce qui donne

On détermine le plus grand commun diviseur x* — i des coefficiens x“ — x3, x3 — i , et le plus grand commun diviseur x*i des coefficiens x‘ — x‘, x1— i ; le plus grand commun diviseur x — i , entre x’ — i et x* — i , exprime X.

On. divise A' par x3 — i , et B" par x‘— i ,.ce qui donne des quotiens exacts xPy3 — i , x%y‘ — i ; de sorte que

a"= (x3 - .) (xy — o, b'= (x* — o (xy- 0-

On cherche le plus grand commun diviseur entre' xPy3 — i eb x*y* — i, qui est xy — i -, et l’on voit que le plus grand commun diviseur de A" et B" est

= (-c — i) (x^ — i) = yx% — (y + i) x4-.«>

Remarque. Is» théorie que nous venons d’exposer, peut faire naître quelques doutes ; car il est naturel de se demander si l’o» parviendra toujours au même plus grand commun diviseur quelle que- soit la- lettre par rapport à laquelle on ordonne le » polynômes.

Popr lever cette difficulté , on regarde' comme évident qu’un polynôme nest dicomposable que d1 un* seule manière eu ses 4 facteurs premiers.

* ai8. 'Nous allons démontrer rigoureusement ce principe (*)•