CHAPITRE VI

par B' ; on obtient le quotient (y+0x + (y* — 2) , et le reste

r '= ( —y 3 — ty — y 4- a) * — (y 4 + 3y 3 4-y* — *y ) .

Le plus grand commun diviseur de B7 et r est le même que celui de A' et B7.

Avant de passer à la division suivante, il faut supprimer dans / les facteurs indépendans de ,x qui peuvent s’y trouver; ce qui se réduit à chercl»er le plus grand commun diviseur entre les coefficiens ,

— y3 — 3y* — y + 2> y4 + 3y3 -t-y* — iy.

Çe plus grand commun diviseur étant — y3 — 3ya— y-j-2, on divise r par — y3 — 3 ya — y -f 2, ce qui fournit le quotient exact x -f- y.

La question est ramenée à chercher le plus grand commun diviseur entre B' et x-\-y. La division de B' par x-}-y conduisant, au reste zéro, le plus grand commun diviseur de fy.' et B7 est X = x -f- y. . •

Multipliant X par Y, on voit que le plus grand commun- diviseur de A et B est

2' Exemple. Soient

A=x> — 3x3 — (5y* — y — 2) 1“ + 1 2yax -f- 4ya ( y1 — y — 2), B=x3— 3(y 4-i)xs— (y“— iqy — 2)x-f 3y(y'— y— 2)-.

Le? coefficiens de x dans A sont premiers entre eux, car le coefficient du premier terme est l’uuité. 11 en est de même des coefficiens de x dans B. Les polynômes A, B, n’oritdonc pas de commun diviseur indépendant de x.

Pour découvrir le plus grand commun diviseur dépendant de x, on divise A par B ; le premier terme du quotient est x, et le reste est

3yx’— (4 y + 9) yx‘— 3 (y5 — 5y — 2)yx -f 4ya (y1 — y — 2) .

Supprimant dans ce reste le facteur y qui est premier avec B, le plus grand commun diviseur n’est pas altéré; on divise

35a ' ALGÈBRE.

par B; ce qui donne le quotient 3 et le reste

, 5y x® — 1 5 yx-+- 5 y (y1 — y — a).

On supprime le facteur 5y commun à tous les termes de ce reste, et le calcul se réduit à diviser B par x® — 3x — (y— y— 2); le quotient est x — 3 y\ le reste correspondant étant nul, le plus grand commun diviseur demandé est x® — 3x — (y — y — a)- On peut s’en assurer; car

A = (x — y — l) (x + y — 2) (x — a,y) (x + ay) »

et le plus grand diviseur commun aux polynômes A, 6, est le produit x“— 3r — {y1 — y — a) de leurs facteurs communs x—y—i, x+j — 2.

On trouvera de cette panière le plus grand commun diviseur de deux polynomeï entiers quelconques contenant deux lettres, et le principe dû n° 2i3 (a°) fournira le moyen de déterminer le plus grand commun diviseur d’un nombre quelconque de polynômes de cette espèce.

317. Onen déduira lemoyen de calculer le plus grand commun diviseur de deux polynômes A, B, fonctions de trois lettres x,y,z; car en ordonnant ces polynômes suivant les puissances décroissait tesde x, les coefficièns des diverses puissances de xnecontenant

que deux lettres y , z , on saura trouver le plus gŸand commun diviseur a des coefficiens de x dans A, et le plusgrand commun diviseur C des coefficiens de x dans B; et en cherchant le plus grandcommun diviseur P de « et C , ce diviseur sera le produit de tous les facteurs premiers indépendans de X communs .à A et B.

Pour découvrir le plus’ grand commun diviseur dépendant de x, on divise A par « et B par £; les quotiens A', B', n’admettant aucun diviseur indépendant de x, on pourra effectuer sur A' et B' dés calculs analogues à ceux qui ont été indiqués (n° 216)., quand A' et B' ne contenaient que deux lettres, et ou parviendra nécessairement à un dernier reste R indépendant de x.