CHAPITRE VI

Premier cas. A ou B contient la lettre x, P est numérique.

Soi* A = m*+ bx£ -f-etc. ;

a, b, etc. étant de» nombres entier*, ainsi quç '* , C, etc.

En multipliant A par B, on a

AB = Ber* 4* + etc.

Pour.que le produit AB fût divisible par le nombre P, il faudrait que les coefficient des diverses puissances de x , dans ce produit, fussent divisibles par P. D’après l'hypothèse , P est un nombre premier qui ne divise ni A ni Bj puisque ce nombre ne divise point A, il ne divise pas tous les coefficient a, b, etc. , de ce polynôme ; donc il*ne doit pas diviser tous les produits B a, BA, etc. j donc il ne divise point AB.

Second cas. A et B contiennent x , P est numérique.

Nommons A' l’ensemble de tous les termes de A dont les coefficient sont des multiples de P, et A" l’ensemble de tous les autres termes: on pourra écrire A = A' 4- Â".

Décomposons B de la même Manière, et soit B = Bw j on aura

. AB = (A' 4- A") (B' -f-B"}= A'B' -f- A'B" 4- A"B' 4- A*&".

Les trois premières parties dé ce produit sont divisibles par P; et pour démontrer que AB n’est pas divisible par P, il suffit de faire voir que la dernière partie A"B" ne l'est point.

Soient axA et bx^ les tcrmes:de A" et de B", dans lesquels la lettre x est au plus haut exposant, le terme abx fera partie du produit A"BW, et ne se réduira avec aucun autre. Pour que A"B" fût divisible par le nombre P, il faudrait que les coefficient de tous les termes de ce produit le fussent: donc ab devrait se diviser par P. Or, P est un nombre premier qui ne divise ancun des coefficiens de A" et de B"$ done il ne divise nt a ni b \ dont il ne divise pas ab j doûc if île divisepas A "B"; donc H ne divise pas le produit AB. Troisième cas. A ou B contient x, et P contient aussi x.

Supposons que ce soit le facteur A qui renferme x . Si la division de AB par P donnait un quotient entier Q, on aurait AB = PQ j et r en représen--. tant pac F, F', F"...., les facteurs premiers du nombre B, cette égalité pourrait s’écrire ainsi : * „